Verständnisproblem zu Beweis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Proposition If f,g [mm] \in L^2(T), [/mm] then f*g [mm] \in [/mm] C(T).
If f,g [mm] \in L^2(T), [/mm] then there are sequences [mm] (f_k) [/mm] and [mm] (g_k) [/mm] of continuos functions such that [mm] \parallel [/mm] f [mm] -f_k \parallel [/mm] -> 0 and [mm] \parallel [/mm] g- [mm] g_k \parallel [/mm] -> 0 as k -> [mm] \infty. [/mm] The convolutions [mm] f_k [/mm] * [mm] g_k [/mm] are continuous functions. Moreover, they form a Cauchy sequence with respect to the sup-norm.
[mm] \parallel f_j [/mm] * [mm] g_j [/mm] - [mm] f_k [/mm] * [mm] g_k \parallel_\infty \le \parallel(f_j-f_k) [/mm] * [mm] g_j \parallel_\infty [/mm] + [mm] \parallel f_k [/mm] * [mm] (g_j -g_k) \parallel_\infty
[/mm]
[mm] \le \parallel f_j [/mm] - [mm] f_k \parallel_2 \parallel g_j \parallel_2 [/mm] + [mm] \parallel f_k \parallel_2 \parallel g_j [/mm] - [mm] g_k \parallel_2 [/mm]
[mm] \le M(\parallel f_j [/mm] - [mm] f_k \parallel_2 [/mm] + [mm] \parallel g_j [/mm] - [mm] g_k \parallel_2)
[/mm]
Here we use the fact that [mm] \parallel f_j \parallel_2 \le [/mm] M and [mm] \parallel g_k \parallel_2 \le [/mm] M for some constant M because the sequences converge in [mm] L^2(T). [/mm] By the completeness of C(T), the sequence [mm] (f_k [/mm] * [mm] g_k) [/mm] converges uniformly to a continuous function f*g. This limit is independent of the sequences used to approximate f and g. |
Guten Abend,
ich muss eine Ausarbeitung anfertigen und kann einen Beweis nicht nachvollziehen. Zu zeigen ist ja, dass die Faltung zweier [mm] L^2(T) [/mm] Funktionen, wobei T ein Intervall der Länge [mm] 2\pi [/mm] sein soll, Element des Raumes der stetigen Funktionen C(T) ist. Mir ist nun schleierhaft was dieses M sein soll. In dem Text steht, dass [mm] \parallel f_j \parallel_2 \le [/mm] M gilt, aber müsste das nicht [mm] \parallel g_j \parallel_2 \le [/mm] M sein, bzw. analog für [mm] \parallel f_k \parallel_2 \le [/mm] M. Was ich ebenfalls nicht verstehe ist, wie man aus dem ganzen dann darauf kommt dass f*g in C(T) liegt.
Ich hoffe ihr könnte mir ein paar Denkanstöße geben!
Vielen Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Proposition If f,g [mm]\in L^2(T),[/mm] then f*g [mm]\in[/mm] C(T).
>
> If f,g [mm]\in L^2(T),[/mm] then there are sequences [mm](f_k)[/mm] and [mm](g_k)[/mm]
> of continuos functions such that [mm]\parallel[/mm] f [mm]-f_k \parallel[/mm]
> -> 0 and [mm]\parallel[/mm] g- [mm]g_k \parallel[/mm] -> 0 as k -> [mm]\infty.[/mm]
> The convolutions [mm]f_k[/mm] * [mm]g_k[/mm] are continuous functions.
> Moreover, they form a Cauchy sequence with respect to the
> sup-norm.
>
> [mm]\parallel f_j[/mm] * [mm]g_j[/mm] - [mm]f_k[/mm] * [mm]g_k \parallel_\infty \le \parallel(f_j-f_k)[/mm]
> * [mm]g_j \parallel_\infty[/mm] + [mm]\parallel f_k[/mm] * [mm](g_j -g_k) \parallel_\infty[/mm]
>
> [mm]\le \parallel f_j[/mm] - [mm]f_k \parallel_2 \parallel g_j \parallel_2[/mm]
> + [mm]\parallel f_k \parallel_2 \parallel g_j[/mm] - [mm]g_k \parallel_2[/mm]
>
> [mm]\le M(\parallel f_j[/mm] - [mm]f_k \parallel_2[/mm] + [mm]\parallel g_j[/mm] - [mm]g_k \parallel_2)[/mm]
>
> Here we use the fact that [mm]\parallel f_j \parallel_2 \le[/mm] M
> and [mm]\parallel g_k \parallel_2 \le[/mm] M for some constant M
> because the sequences converge in [mm]L^2(T).[/mm] By the
> completeness of C(T), the sequence [mm](f_k[/mm] * [mm]g_k)[/mm] converges
> uniformly to a continuous function f*g. This limit is
> independent of the sequences used to approximate f and g.
>
> Guten Abend,
> ich muss eine Ausarbeitung anfertigen und kann einen
> Beweis nicht nachvollziehen. Zu zeigen ist ja, dass die
> Faltung zweier [mm]L^2(T)[/mm] Funktionen, wobei T ein Intervall der
> Länge [mm]2\pi[/mm] sein soll, Element des Raumes der stetigen
> Funktionen C(T) ist. Mir ist nun schleierhaft was dieses M
> sein soll. In dem Text steht, dass [mm]\parallel f_j \parallel_2 \le[/mm]
> M gilt, aber müsste das nicht [mm]\parallel g_j \parallel_2 \le[/mm]
> M sein, bzw. analog für [mm]\parallel f_k \parallel_2 \le[/mm] M.
Die Folgen [mm] (f_k) [/mm] und [mm] (g_k) [/mm] sind konvergente Folgen bezügl. der Norm $|| [mm] \star ||_2$
[/mm]
Also sind sie bezgl. dieser Norm beschränkt, es gibt also [mm] M_1, M_2 \ge [/mm] 0 mit:
[mm] ||f_k|_2 \le M_1 [/mm] und [mm] ||g_k|_2 \le M_2 [/mm] für alle k.
Setze M:= max [mm] \{M_1,M_2\}
[/mm]
> Was ich ebenfalls nicht verstehe ist, wie man aus dem
> ganzen dann darauf kommt dass f*g in C(T) liegt.
Der gleichmäßige Grenzwert eier Folge stetiger Funktionen ist stetig. (Das ist Analysis I !!!)
FRED
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> Ich hoffe ihr könnte mir ein paar Denkanstöße geben!
> Vielen Dank im Vorraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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