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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Mi 05.10.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo, musste grade leider festsetllen, dass ich eine ganz Grundlegende Aufgabe nicht verstehe.
Also:
Aus 10 Bildern soll ein Plakat hergestellt werden. Allerdings ist der Platz des Plakates begrenzt, da es nur Platz für 6 Bilder hat. Wieviele Plakatkombinationen sind denkbar, wenn jedes der 10 Bilder beliebig oft kopiert werden kann (mit zurücklegen, Reihenfolge der Bilder ist unwichtig)?
Hier betrachtet man eineGesamtmenge N (10 Bilder) aus denen k Bilder (6 Bilder) angeordnet werden sollen. Also gibt es "15 über 6" Möglichkeiten.
Diese Aufgabe ist mir klar, jedoch schaffe ich es nicht dieses Prinzip auf folgende Aufgabe zu übertragen:
In einer Urne befinden sich 7 verschiedene Kugeln. Es werden 20 Kugeln mit zurücklegen entnommen. Wieviele Kombinationen sind denkbar?
Was ist hier die Gesamtmenge? Müssten ja wohl die 7 Kugeln sein. Nur wenn ich das dann ausrechne mit N = 7 und k = 20 komme ich auf kein vernünftiges Ergebnis.
Könnte mir einer erklären, wie solche Aufgabentypen funktionieren?
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Hi, svenchen,
> Aus 10 Bildern soll ein Plakat hergestellt werden.
> Allerdings ist der Platz des Plakates begrenzt, da es nur
> Platz für 6 Bilder hat. Wieviele Plakatkombinationen sind
> denkbar, wenn jedes der 10 Bilder beliebig oft kopiert
> werden kann (mit zurücklegen, Reihenfolge der Bilder ist
> unwichtig)?
>
> Hier betrachtet man eineGesamtmenge N (10 Bilder) aus denen
> k Bilder (6 Bilder) angeordnet werden sollen. Also gibt es
> "15 über 6" Möglichkeiten.
Wenn mit der Aufgabe gemeint ist, dass auf dem Plakat ein- und dasselbe Bild auch mehrfach auftreten darf, dann hast Du Recht!
>
> Diese Aufgabe ist mir klar, jedoch schaffe ich es nicht
> dieses Prinzip auf folgende Aufgabe zu übertragen:
>
> In einer Urne befinden sich 7 verschiedene Kugeln. Es
> werden 20 Kugeln mit zurücklegen entnommen. Wieviele
> Kombinationen sind denkbar?
>
> Was ist hier die Gesamtmenge? Müssten ja wohl die 7 Kugeln
> sein. Nur wenn ich das dann ausrechne mit N = 7 und k = 20
> komme ich auf kein vernünftiges Ergebnis.
Mit "Kombinationen" ist ja gemeint, dass auch hier die Reihenfolge der gezogenen Kugeln keine Rolle spielen soll.
Hier gilt dann die Formel, die Du auch bei Deiner ersten Aufgabe verwendet hast: [mm] \vektor{N+k-1 \\ k},
[/mm]
wobei N die Anzahl der verschiedenen Kugeln in der Urne und k die Anzahl der Elemente in den Kombinationen darstellt. Dabei komme ich auf 230230 Möglichkeiten.
Zu Deiner Frage, "wie solche Aufgabentypen funktionieren" ist zu sagen, dass es gerade in der Kombinatorik oft nicht ganz leicht ist, die richtige Formel zu erwischen.
Wichtig ist zunächst:
1. Kommt's auf die Reihenfolge der Elemente an oder nicht?
Wenn nicht, handelt sich's um Kombinationen und bei diesen ist irgendwie die Formel "n über k" im Spiel.
Wenn ja, sind's Variationen.
2. Können sich die Elemente wiederholen (Ziehen mit Zurücklegen) oder nicht (Ziehen ohne Z.)
Bei Variationen ergeben sich daraus die Formeln
[mm] n^{k} [/mm] (Ziehen mit Z.)
bzw.
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] (Ziehen ohne Z.)
mfG!
Zwerglein
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