Verständnisfragen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Fr 19.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Wir nehmen grade die vollständige Induktion durch und ich habe noch ein paar Fragen dazu.
1. Wir haben einfach irgend eine Formel (woher die auch immer kommt) und mit der Induktion beweisen wir einfach, dass diese Formel gilt, richtig?
2. Wir sollten folgenden Beweis liefern:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k [mm] =\bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Dann erstmal aufgeschrieben für n=1, daraus den Schluss gezogen, dass die Formel auf für n+1 gelten muss. Dann halt weiter gemacht und die Formel bewiesen. Soweit alles ok.
Dann ein neues Beispiel: [mm] 2^n>n^2
[/mm]
Für n=0 gilt die Formel
für n=1 ebenso
dann haben wir aber weitergemacht
für n=2 gilt sie nicht, für n=3 bis 4 auch nicht, erst wieder ab n=5 und aufwärts.
Am Ende sind wir zu dem Ergebnis gekommen, dass die Formel gilt für [mm] n\ge [/mm] 5.
Das Verständnisproblem liegt darin, dass wir beim ersten Beispiel sagen, wenn die Formel für n=1 gilt gilt sie auch für 2,3,4 usw.
Gehen wir im zweiten Beispiel genauso vor, sieht man dass die Formel für n=1 gilt, analog zum ersten Beispiel könnt ich nun auch darauf schließen, dass es für alle natürlichen Zahlen größer gleich 1 gilt.
Bei dem Beispiel sieht man, dass umso größer die Zahl wird, desto schneller steigt die linke Seite an.
Wen ich aber kompliziertere Formeln habe und weiß dass das ganze für n=1 gilt, woher weiß ich dann, dass die Formel für n=63 oder so nicht gilt.
Ich hoffe ihr versteht was ich meine.
Danke!
Gruß ONeill
|
|
| |
|
> 1. Wir haben einfach irgend eine Formel (woher die auch
> immer kommt) und mit der Induktion beweisen wir einfach,
> dass diese Formel gilt, richtig?
Hallo,
ja, so ist es.
> 2. Wir sollten folgenden Beweis liefern:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k [mm]=\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> Dann erstmal aufgeschrieben
Gültigkeit gezeigt
> für n=1,
vorausgesetzt, daß sie für n gilt und
> daraus den Schluss
> gezogen, dass die Formel auf für n+1 gelten muss.
> Dann ein neues Beispiel: [mm]2^n>n^2[/mm]
> Für n=0 gilt die Formel
> für n=1 ebenso
> dann haben wir aber weitergemacht
> für n=2 gilt sie nicht, für n=3 bis 4 auch nicht, erst
> wieder ab n=5 und aufwärts.
> Am Ende sind wir zu dem Ergebnis gekommen, dass die Formel
> gilt für [mm]n\ge[/mm] 5.
> Das Verständnisproblem liegt darin, dass wir beim ersten
> Beispiel sagen, wenn die Formel für n=1 gilt gilt sie auch
> für 2,3,4 usw.
> Gehen wir im zweiten Beispiel genauso vor, sieht man dass
> die Formel für n=1 gilt, analog zum ersten Beispiel könnt
> ich nun auch darauf schließen, dass es für alle natürlichen
> Zahlen größer gleich 1 gilt.
Tja.
Du kannst natürlich nur beweisen, was stimmt.
Im ersten Beispiel ist es so, daß die Formel für alle n stimmt.
Wir können unseren "Anker" bei n=1 werfen, und die Induktion läuft dann glatt durch.
Im zweiten Beispiel ist es eben so, daß die Formel für 2,3,4 nicht gilt.
Machst Du nun einen Induktionsanfang mit n=1 und versuchst fröhlich eine vollständige Induktion, wirst Du daran verzweifeln, wenn Dir nicht einfällt zu hinterfragen, ob die Aussage, die Du beweisen möchtest, überhaupt stimmt. Und [mm] 2^n>n^2 [/mm] stimmt eben nicht für alle n, und deshalb kannst Du es nicht für alle n beweisen.
Sie stimmt aber glücklicherweise für [mm] n\ge [/mm] 5. Sonst hättest Du sie nicht zeigen können.
> Wen ich aber kompliziertere Formeln habe und weiß dass das
> ganze für n=1 gilt, woher weiß ich dann, dass die Formel
> für n=63 oder so nicht gilt.
So lange nichts bewiesen ist, weißt Du nichts.
Wenn Du den Induktionsanfang n=1 hast, und Du mit Deiner Induktion ins Stocken gerätst, wirst Du ins Grübeln geraten.
Vielleicht fängst Du an, mal ein paar Werte zu testen, und stellst fest: Das kann ja nicht klappen, weil's für 63 nicht stimmt.
Damit hast Du dann die Gültigkeit für alle n widerlegt.
Könntest natürlich nun einen Induktionsanfang bei n=64 machen und versuchen zu zeigen, daß es ab dort gilt.
(Leider fallen mir keine solche Beispiele ein. [mm] 2^n>n^2 [/mm] ist recht bekannt, und ich weiß, daß sich in den Tiefen meines Hirns noch 2 Beispiele finden - aber ich komme im Moment nicht dran...)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 24.10.2007 | | Autor: | ONeill |
Nabend!
Danke für deine Antwort.
Gruß ONeill
|
|
|
|
