Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Fr 03.10.2014 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | [mm] y_k=K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0
[/mm]
minus
[mm] y_{k-1}=K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=1}^{k-2}e_mT_0
[/mm]
gleich
[mm] y_k-y_{k-1}=K_pe_k-K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}e_{k-1}T_0 [/mm] |
Hallo, ich lerne gerade die Diskretisierung von Reglern und dem Stellungsalgorithmus. Es werden zwei Gleichungen mit Summen subtrahiert. Das Ergebnis mit den Summen ist für mich leider nicht nachvollziehbar.
Wenn ich mir das aufmale:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In Zahlen sieht das für mich so aus:
[mm] \summe_{m=0}^{k-1}e_m=e_0+e_{k-1} [/mm] und [mm] \summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_0+e_{k-1}+e_{k-2}
[/mm]
Wieso ist dann [mm] \summe_{m=0}^{k-1}e_m-\summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_{k-1}? [/mm] Ich würde da [mm] e_{k-2} [/mm] erhalten: [mm] e_0+e_{k-1}-e_0-e_{k-1}-e_{k-2}=-e_{k-2}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Fr 03.10.2014 | | Autor: | hippias |
Nach dem Ergebnis zu urteilen hast Du bei der zweiten Summe den Startindex faelschlicherweise als $1$ statt $0$ gesetzt. Ich rechne im weiteren mit dem Startindex $0$.
Ich denke, man versteht es am besten anhand eines Beispiels, zu welchem Behufe ich einfach einmal $k=4$ waehle. Dann ist [mm] $\sum_{i=0}^{k-1} e_{i}= \sum_{i=0}^{3} e_{i}= e_{0}+ e_{1}+e_{2}+e_{3}$, [/mm] waehrend [mm] $\sum_{i=0}^{k-2} e_{i}= \sum_{i=0}^{2} e_{i}= e_{0}+ e_{1}+e_{2}$ [/mm] ist. Dies folgt direkt aus der Definition des Symbols [mm] $\sum$ [/mm] als Kurzschreibweise fuer Summen.
Subtrahierst Du also [mm] $\sum_{i=0}^{k-1} e_{i}- \sum_{i=0}^{k-2} e_{i}$, [/mm] so heben sich alle Glieder bis auf das mit dem hoechsten Index $3$ auf. Dies gilt entsprechend fuer beliebiges $k$, in dem Sinne, dass [mm] $e_{k-1}$ [/mm] uebrig bleibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Fr 03.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]y_k=K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0[/mm]
>
> minus
>
> [mm]y_{k-1}=K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=1}^{k-2}e_mT_0[/mm]
>
> gleich
>
> [mm]y_k-y_{k-1}=K_pe_k-K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}e_{k-1}T_0[/mm]
>
>
> Hallo, ich lerne gerade die Diskretisierung von Reglern und
> dem Stellungsalgorithmus. Es werden zwei Gleichungen mit
> Summen subtrahiert. Das Ergebnis mit den Summen ist für
> mich leider nicht nachvollziehbar.
>
> Wenn ich mir das aufmale:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> In Zahlen sieht das für mich so aus:
> [mm]\summe_{m=0}^{k-1}e_m=e_0+e_{k-1}[/mm] und
> [mm]\summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_0+e_{k-1}+e_{k-2}[/mm]
>
> Wieso ist dann
> [mm]\summe_{m=0}^{k-1}e_m-\summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_{k-1}?[/mm] Ich
> würde da [mm]e_{k-2}[/mm] erhalten:
> [mm]e_0+e_{k-1}-e_0-e_{k-1}-e_{k-2}=-e_{k-2}[/mm]
was rechnest Du denn da?
[mm] ($\*$) $\sum_{m=0}^{k-1}e_m-\sum_{m=0}^{k-2}e_m=(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2}+e_{k-1})-(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2})$
[/mm]
[mm] $=e_{k-1}+(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2})-(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2})=e_{k-1}\,.$
[/mm]
Ansonsten: das, was hippias gesagt hat, schreibe ich Dir gerne auch mal
formal hin, verbraten in obigen Formeln:
[mm] $y_k-y_{k-1}=K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0-\left(K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=\red{0}}^{k-2}e_mT_0\right)$
[/mm]
[mm] $=K_pe_k-K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0\;\;-\;\;\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=1}^{k-2}e_mT_0$
[/mm]
[mm] $=\bruch{K_p}{T_n}*\left(\left\{\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0\right\}-\summe_{m=0}^{k-2}e_mT_0\right)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{K_p}{T_n}*\left(\left\{\left(\blue{\summe_{m=0}^{\red{k-2}}e_mT_0}\right)\,+\,e_{k-1}T_0\right\}-\blue{\summe_{m=0}^{k-2}e_mT_0}\right)$
[/mm]
Das einzige, was ich da benutzt habe, ist (beachte $k-2=(k-1)-1$)
[mm] $\sum_{m=0}^{k-1} a_m=\left(\sum_{m=0}^{(k-1)-1}a_m\right)+a_{k-1}$
[/mm]
(Damit kann man [mm] ($\*$) [/mm] schnell folgern, ohne die ...-Notation zu gebrauchen:
[mm] $\sum_{m=0}^{k-1}e_m-\sum_{m=0}^{k-2}e_m=\left\{\red{\sum_{m=0}^{k-2}e_m}\right\}+e_{k-1}\,\red{-\sum_{m=0}^{k-2}e_m}=e_{k-1}$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Fr 03.10.2014 | | Autor: | Hing |
Vielen Dank für eure schönen Erklärungen, insbesondere die schöne Rechnung.
Jetzt habe ich mein Problem verstanden: Ich hatte die Indexe von der falschen Seite angegangen.
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