Verständnisfrage Dimension < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe mal eine Reihe von Verständisfrage zum Thema Dimension des Lösungsraumes und des Bildraumes und hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe viel gelesen hier im Forum, bekomme aber den Knoten nicht aus dem Kopf. Wenn ich die Dimension des Lösungsraumes bestimmen soll, wie gehe ich genau vor? Da nehme ich doch die Dimensionsformel:
[mm] \dim [/mm] V = [mm] \dim{ker}(f) [/mm] + [mm] \dim{im}(f) [/mm] ?
Also wenn ich eine nxn Matrix A habe überführe ich diese in die ZSF und lese den Rang ab, dann rechne ich n - rg(A) und habe die Dimension, oder?
Jetzt verstehe ich allerding nicht, wie ich die Dimension des Bildraumes bestimme. Ist dies nur [mm] rg(A) [/mm]?
Und die letzte Frage, wie weit hat die Dimension nun mit einem gegeben b zu tun, ist davon abhängig? Also was ist, wenn [mm] rg(A) \not= rg(A|b) [/mm]? Ist dann b nicht aus der Lösungmenge von A?
Ich hoffe auf Eure Hilfe. Vielen Dank schonmal.
ghostdog
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Hallo,
erstmal machen wir ein bißchen klarer, worüber wir reden.
Wir haben eine Matrix A.
Das Bild von A ist die Menge aller Vektoren, die man erhält, wenn man A mit sämtlichen (passenden) Vektoren x multipliziert.
Der Kern von A ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems Ax=0.
Dann interessierst Du Dich noch für den Lösungsraum des inhomogenen LGSs Ax=b.
> [mm]\dim[/mm] V = [mm]\dim{ker}(f)[/mm] + [mm]\dim{im}(f)[/mm] ?
>
> Also wenn ich eine nxn Matrix A habe überführe ich diese
> in die ZSF und lese den Rang ab, dann rechne ich n - rg(A)
> und habe die Dimension, oder?
Ja. damit hast Du die Dimension von Kern(A).
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> Jetzt verstehe ich allerding nicht, wie ich die Dimension
> des Bildraumes bestimme. Ist dies nur [mm]rg(A) [/mm]?
Ja. Der Rang der Matrix ist die Dimension des Bildraumes.
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> Und die letzte Frage, wie weit hat die Dimension nun mit
> einem gegeben b zu tun, ist davon abhängig? Also was ist,
> wenn [mm]rg(A) \not= rg(A|b) [/mm]? Ist dann b nicht aus der
> Lösungmenge von A?
Es ist in diesem Fall b nicht im Bild von A, dh. es gibt kein x mit Ax=b, und damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar.
Gruß v. Angela
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vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen :)
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