Verständnisfrage < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Liebe Leute,
ich habe seit einiger Zeit das Thema Differentialgleichungen.
Kann mir einer in möglichst einfachen Worten erklären, was genau der Unterschied zwischen einer Differentialgleichung und einer gewöhnlichen Ableitung ist?
Ich habe das bisher so verstanden, dass eine Differentialgleichung eine Funktion aus lauter Ableitungen ist.
Hier an der Uni heißt es dann immer sehr verständnislos: Häh, benutz doch einfach die Formeln, dann klappt das schon.
Ich würde aber gerne wissen, was ich da eigentlich tue.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Dgl gibt den Zusmmenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen .
eine gewöhnliche Ableitung von eindimensionalen Funktionen beschreibt die Steigung des Graphe, bzw die "momentane Anderung des Funktionswertes, ist also keine Gleichung.
wenn du dagegen erst mal die einfache Gleichung f'(x)=f(x) hast
weisst du nur, dass du eine Funktion suchst, deren Ableitung an jeder Stelle genausogroß ist wie die Funktion.
also du weisst: WENN f(1)= 1 ist, dann hat die Funktion bei x=1 die Steigung 1. .
Damit weist du aber noch nicht viel über die fkt.
alledings weisst du noch , dass f''=f'=f usw also falls die fkt beliebig oft differenzierbar ist, dann kennst du mit einem funktionswert auch alle Ableitungen.
Wenn du Taylorreihen kennst kannst du also jetzt z.B für f(0)=1 die Taylorentwicklung der fkt hinschreiben.
du kannst aber auch in dem Vorrat deiner dir bekannten Funktionen suchen, ob du eine kennst, die obige Eigenschaft f'=f hat und wenn du clever bist siehst du , dass [mm] (A*e^x))'=A*e^x [/mm] ist, du kennst also eine Lösung.
wenn die Dgl jetzt komplizierter wird, kann man die Lösungen nicht mehr so leicht raten, .
Genau wie du früher mal erst nur lineare Gl kanntest, und erst die Methode quadratisch Ergänzung lernen mußtest um quadratische Gl. zu lösen, gibt es ne Menge einfacher und auch kompliziertere Methoden um Dgl ui lpsen. Das Prinzip ist aber immer dass man eben eine fkt sucht, die die Gl. erfüllt. Einige der "Tricks lernt man, weil solche Dgl in der Anwendung öfter vorkommen, In der wahren Praxis kann man viele nur numerisch lösen.
Gruß leduart
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