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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Sir_Knum |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] (x^2-1)*e^{-x} [/mm] .
e) Die Gerade x = a mit a > -0,62 schneidet die Graphen f und f' in den Punkten P und Q. Bestimme a so, dass die Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] maximal ist. |
Hallo,
leider kann ich mit der Aufgabenstellung an sich nichts anfangen, obwohl ich eine Lösung habe. Deshalb wäre ich über Hilfe sehr froh.
Die Lösung: g(a) = f'(x) - f(x)
g'(x) = 0 für a = 0 oder a = 3
g(0) = 2 g(3) = -0,49
[mm] \Rightarrow [/mm] Für a = 0 wird | [mm] \overline{PQ} [/mm] | maximal.
Wie man die Rechnungen durchführt weiß ich. Nur weiß ich nicht wieso. Und wie soll x = a eine Gerade sein?
Mit freundlichen Grüßen
Knum
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Hallo
> Und wie soll x = a eine Gerade sein?
X = a ist eine sekrechte Gerade, die die x-Achse an der Stelle a schneidet. wenn a = 0, dann ist die y-Achse die Gerad x = 0.
So viel zum ersten Verständnis. Zu mehr habe ich jetzt leider keine Zeit, aber ich denke du wirst bald eine Antwort erhalten.
Gruß Patrick
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Hallo Knum,
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm](x^2-1)*e^{-x}[/mm] .
> e) Die Gerade x = a mit a > -0,62 schneidet die Graphen f
> und f' in den Punkten P und Q. Bestimme a so, dass die
> Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] maximal ist.
> Hallo,
> leider kann ich mit der Aufgabenstellung an sich nichts
> anfangen, obwohl ich eine Lösung habe. Deshalb wäre ich
> über Hilfe sehr froh.
> wie soll x = a eine Gerade sein?
Betrachten wir mal die Menge aller Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem: [mm]\mathbb{R}^2[/mm].
Und nun betrachten wir folgende Teilmenge davon:
[mm]\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:\textcolor{red}{x=a} \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{R}^2[/mm],
wobei [mm]a[/mm] eine reelle Konstante sein soll. Graphisch gesehen wäre diese Teilmenge eine zur x-Achse vertikale Gerade. Und die Menge, die ich angegeben habe, beschreibt jeden Punkt auf dieser Gerade (ist also quasi "die Gerade selbst"). Z.B. wären [mm](a,0), (a,\pi), (a,33434)[/mm] alles Punkte auf dieser Geraden und Elemente der obigen Menge. $x=a$ dient einem nur als abkürzende Schreibweise für diese Teilmenge. (Hmm, eine suggestivere Schreibweise wäre vielleicht [mm]\{x=a\}[/mm]... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") )
Du hast zwei Funktionen [mm]f'(x)[/mm] und [mm]f(x)[/mm] gegeben. Seien nun [mm]P := \left(p_1,p_2\right)[/mm] und [mm]Q := \left(q_1,q_2\right)[/mm] die gegebenen Punkte. Jetzt weißt du, daß diese Punkte auf den beiden Graphen und gleichzeitig auf [mm]x=a[/mm] liegen müssen. So ist die Aufgabenstellung. Da du dich für die vertikale Entfernung zwischen Q und P interessiert, mußt du hier den Absolutbetrag der vertikalen Koordinaten dieser beiden Punkte betrachten:
[mm]\left|p_2-q_2\right| = \left|f\left(p_1\right) - f'\left(q_1\right)\right|[/mm]
Allerdings willst du diesen Abstand ja maximal kriegen. Als definierst du hier eine Abstandsfunktion
> Die Lösung: g(x) = f'(x) - f(x)
Diese liefert dir die Entfernung zwischen zwei auf den beiden Graphen liegenden Punkten, welche gleichzeitig auf der Geraden [mm]x = a[/mm] liegen. Und jetzt mußt du nur noch eine Extremwertbetrachtung durchführen:
> g'(x) = 0 für a = 0 oder a = 3
> g(0) = 2
> g(3) = -0,49
> [mm]\Rightarrow[/mm] Für a = 0 wird | [mm]\overline{PQ}[/mm] |
> maximal.
Für a = 0 kriegen wir somit den größten Abstand zwischen den Funktionsgraphen: 2 > 0.49.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Do 23.03.2006 | | Autor: | Sir_Knum |
Okay, vielen Dank für die Antworten. Wäre ohne Hilfe wohl nicht auf die Lösung gekommen.
Mit freundlichen Grüßen
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