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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Di 10.11.2009 | | Autor: | horus00 |
| Aufgabe | Geg.: Matrix A : = [mm] \pmat{ 2/3 & -2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3 }
[/mm]
Sind die Spalten von A linear unabhängig? |
Hierfür betrachte ich die Spalten als Vektoren des [mm] \IR^{3} [/mm] und prüfe auf lineare Unabhängigkeit. Ist das richtig?
wurde in keinem anderem Forum gepostet.
Vielen Dank für Hinweise.
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> Geg.: Matrix A : = [mm]\pmat{ 2/3 & -2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3 }[/mm]
>
> Sind die Spalten von A linear unabhängig?
> Hierfür betrachte ich die Spalten als Vektoren des
> [mm]\IR^{3}[/mm] und prüfe auf lineare Unabhängigkeit. Ist das
> richtig?
Hallo,
ja, und diese Prüfung führst Du am besten durch, indem Du den Rang der Matrix bestimmst, denn der Rang sagt Dir ja, welche Dimension der von den drei vektoren aufgespannte Raum hat.
Ist der Rang=3, so sind Deine vektoren linear unabhängig, sonst nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo ich beschäftige mich mit der gleichen Frage und hab die mtrix jetzt mit Hilfe des Eliminationsverfahren umgeformt.
Wollte ma fragen ob mir jmd bestätigen kann ob das Ergebnis stimmt:
[mm] \begin{bmatrix}
2/3 &-2/3 & 1/3 \\
0 & 1/3 & 18/36 \\
0 & 1 &1
\end{bmatrix} [/mm]
so sieht also meine umgeformte Matrix aus.
Wenn ich mir doch jetzt die Diagonale anschaue kann ich doch somit drauf schließen das der Rang=3 ist und somit die Spalten der Matrix linear unabhägig sind oder?
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> Hallo ich beschäftige mich mit der gleichen Frage und hab
> die mtrix jetzt mit Hilfe des Eliminationsverfahren
> umgeformt.
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> Wollte ma fragen ob mir jmd bestätigen kann ob das
> Ergebnis stimmt:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
2/3 &-2/3 & 1/3 \\
0 & 1/3 & 18/36 \\
0 & 1 &1
\end{bmatrix}[/mm]
>
>
> so sieht also meine umgeformte Matrix aus.
>
> Wenn ich mir doch jetzt die Diagonale anschaue kann ich
> doch somit drauf schließen das der Rang=3 ist und somit
> die Spalten der Matrix linear unabhägig sind oder?
Hi,
Ein weiterer Umformungsschritt wäre noch erfor-
derlich (Ziel: unter der Diagonale nur Nullen !).
Und schau dir meine andere Mitteilung an !
LG
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> Geg.: Matrix A : = [mm]\pmat{ 2/3 & -2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3 }[/mm]
>
> Sind die Spalten von A linear unabhängig?
> Hierfür betrachte ich die Spalten als Vektoren des
> [mm]\IR^{3}[/mm] und prüfe auf lineare Unabhängigkeit. Ist das
> richtig?
Wenn es hier nur um lineare Abhängigkeit oder
aber Unabhängigkeit geht, sollte man doch
unbedingt auf all die Nenner 3 verzichten,
anstatt sich mit den Brüchen herumzuplagen !
LG
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Hallo danke für deine Antwort,
ich versteh aber jetzt nicht ganz was du damit meinst soll ich jetzt einfach die Nenner weglassen und mit den Zählern weiterrechnen oder wie:)?
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> Hallo danke für deine Antwort,
> ich versteh aber jetzt nicht ganz was du damit meinst soll
> ich jetzt einfach die Nenner weglassen und mit den Zählern
> weiterrechnen oder wie:)?
Ja. Denn die Nenner sind ja hier alle gleich,
und wenn wir die gesamte Matrix mit 3
multiplizieren, hat sie nachher genau den
gleichen Rang wie vorher. Schliesslich
sind wir hier in der linearen Algebra.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Aoide |
Ich sitze auch an dieser Aufgabe und komme aber irgendwie nicht auf die gleiche Matrix wie "Schlumpfine". Vielleicht könnt ihr mir sagen, was ich falsch mache:
[mm] \vmat{2/3 & -2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3} [/mm] mal 3 macht [mm] \vmat{2&-2&1\\1&2&2\\2&1&-2}
[/mm]
Dann tausche ich Zeilen, um die Zeile mit dem kleinsten Kopf nach oben zu holen = [mm] \vmat{1&2&2\\2&-2&1\\2&1&-2} [/mm] und Eliminiere mit 2x der ersten Zeile = [mm] \vmat{1&2&2\\0&-6&-3\\0&-3&-6}
[/mm]
An dieser Stelle ist das ja schon mal nicht die gleiche Matrix.
Nun muss ich ja noch eine weitere 0 schaffen, deshalb würde ich mit 2x der zweiten Zeile eliminieren. Allerdings bin ich mir da nicht sicher, ob ich dann [mm] \vmat{0&-6&-12} [/mm] auch von der ersten Zeile abziehen muss oder nur die dritte Zeile beachte. Da kommt ja dann entweder [mm] \vmat{1&-4&-10\\0&-3&-6\\0&0&9} [/mm] oder [mm] \vmat{1&2&2\\0&-3&-6\\0&0&9} [/mm] raus.
Das richtige Ergebnis würde ich dann in ein Gleichungssystem schreiben und sehen, dass es nur die Lösung 0 für alle Koeffizienten gibt.
Wofür brauche ich denn da den Rang der Matrix?
Dankeschön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Aoide |
D.h., eine Matrix des Rang 3 hat immer nur eine Lösung? Also wenn der Nullvektor rauskommen soll immer nur 0 für die Koeffizienten?
Aber das sehe ich doch auch so, wenn ich das Gleichungssystem löse?
Ne, das Konzept des Rangs habe ich nicht verstanden :(
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> D.h., eine Matrix des Rang 3 hat immer nur eine Lösung?
Hallo,
Matrizen haben gar keine Lösung.
Aber wenn die Koeffizientenmatrix eines eines homogenen linearen Gleichungssystems den rang 3 hat, weiß man, daß das System eindeutig zu lösen ist.
(Für ide Lösung braucht man dann nichts weiter mehr zu rechnen - denn eine Lösung, die ein homogenes LGS immer hat, kennt man ja.)
> Also wenn der Nullvektor rauskommen soll immer nur 0 für
> die Koeffizienten?
Dann sind alle Variablen =0.
> Aber das sehe ich doch auch so, wenn ich das
> Gleichungssystem löse?
> Ne, das Konzept des Rangs habe ich nicht verstanden :(
Wenn Du Dein GS systematisch löst, kommst Du im "Vorübergehen", also ohne irgendwas Zusätzliches zu tun, beim Rang vorbei.
Du kannst so die Frage nach einer eindeutigen Lösung beantworten ohne weiter zu rechnen.
Später, bei inhomogenen GS siehst Du anhand von Rangbetrachtungen dem System an, ob es überhaupt lösbar ist oder nicht.
Wenn Deine Künste weiter gediehen sind, kann Dir der Rang von Matrizen Auskunft geben über Eigenschaften zughöriger Funktionen.
Du solltest ihn also in Dein Repertoire aufnehmen.
Gruß v. Angela
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
deine Matrix stimmt aber soweit.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
ja
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia: Lineares Gleichungssystem