Verständnis Aufgabenstellung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mo 05.12.2005 | | Autor: | bravo |
Hey,
habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir die Aufgabenstellung noch nicht so klar ist.
Aufgabe: Für die Projektion [mm] \pi_{i} [/mm] : X -> X , 1 <= i <=r gelte: [mm] \summe_{i=1}^{r} \pi_{i} [/mm] = [mm] id_x [/mm] , [mm] \pi_{i} \circ \pi_{j} [/mm] =0 für i [mm] \not= [/mm] j .
Man zeige: X = [mm] \oplus_{i=1}^{r} [/mm] Bild [mm] \pi_{i}.
[/mm]
Zum Verständnis der Aufgabenstellung: Soll das heißen, dass ein Element [mm] x_{1} [/mm] durch die Projektion [mm] \pi_{1} [/mm] auf das element [mm] \pi_{1}(x_{1}) [/mm] abgebildet wird...bis ein Element [mm] x_{r} [/mm] durch die Projektion [mm] \pi_{r} [/mm] auf das element [mm] \pi_{r}(x_{r}) [/mm] abgebildet wird, so dass die Summe davon den Vektorraum X erzeugt?
oder heißt es: Ein Element x wird mit [mm] \pi_{1} [/mm] auf [mm] \pi_{1}(x) [/mm] abgebildet, das wiederum auf das element [mm] \pi_{2}( \pi_{1} [/mm] auf [mm] \pi_{1}(x) [/mm] ) ... bis man die projektion [mm] \pi_{r} [/mm] anwendet und dann wieder x bekommt?
oder soll es heißen: Man wende [mm] \pi_{1} [/mm] auf ein beliebiges x an, addiere dazu [mm] \pi_{2} [/mm] angewandt auf dass gleiche x, ... , addiere [mm] \pi_{r} [/mm] auf das gleiche x angewandt und erhält mit dieser Summe das ursprünliche x?
Bisher glaube ich eher, dass die dritte Vorstellung am ehesten zutrifft...
Bin dankbar für die korekte Übersetzung der Aufgabenstellung (auch für Tipps zur Angehensweise der Aufgabe wenn möglich).
Wünsche ansonsten noch einen angenehmen Abend.
ps.: bin mir nicht ganz sicher ob es bei [mm] "id_{x}" [/mm] eigentlich [mm] id_{X} [/mm] heißen soll.
Grüße, Sebastian Bravo Lutz
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> Hey,
> habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir die
> Aufgabenstellung noch nicht so klar ist.
> Aufgabe: Für die Projektion [mm]\pi_{i}[/mm] : X -> X , 1 <= i <=r
> gelte: [mm]\summe_{i=1}^{r} \pi_{i}[/mm] = [mm]id_x[/mm] , [mm]\pi_{i} \circ \pi_{j}[/mm]
> =0 für i [mm]\not=[/mm] j .
> Man zeige: X = [mm]\oplus_{i=1}^{r}[/mm] Bild [mm]\pi_{i}.[/mm]
> Bin dankbar für die korekte Übersetzung der
> Aufgabenstellung (auch für Tipps zur Angehensweise der
> Aufgabe wenn möglich).
Hallo,
Gegeben hast Du einen ganzen Schwung von Abbildungen [mm] \pi_1,\pi_2, \pi_3,...,\pi_r [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] 1)\pi_1+\pi_2+ \pi_3+...+\pi_r=id_X, [/mm] d.h.
für alle x [mm] \in [/mm] X gilt [mm] (\pi_1+\pi_2+ \pi_3+...+\pi_r)(x)= \pi_1(x)+...+\pi_r(x)=x
[/mm]
und
2) die Verkettung zwei verschiedener dieser Abbildungen bildet auf die Null ab, für [mm] i\not=j [/mm] ist [mm] \pi_i \circ \pi_j=0 [/mm] , d.h. für alle x [mm] \in [/mm] X ist [mm] \pi_i(\pi_j(x))=0 [/mm] falls [mm] i\not=j.
[/mm]
Zeigen soll man nun:
X ist die direkte Summe der Bildräume.
Dies beinhaltet zweierlei:
X ist die Summe der Bildräume, d.h. jedes x [mm] \in [/mm] X kann man als Summe von Elementen der Bildräume schreiben.
Und: Der Schnitt von je zwei dieser Bildräume ist {0}, also für i [mm] \not=j [/mm] ist [mm] bild\pi_i \cap [/mm] bild [mm] \pi_j={0}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mo 05.12.2005 | | Autor: | bravo |
Hey angela,
vielen dank für deine antwort. Habe sie mir eben durchgelesen und denke, dass ich so mit der aufgabe weiter kommen sollte. Für heute bin ich allerdings erstmal fertig mit mathe, so dass ich wohl morgen erst wieder schreiben werde.
Wünsche dir einen noch angenehmen abend.
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