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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen jeweils in [mm] \IZ_{5} [/mm] und [mm] \IZ_{11} [/mm] der folgenden Gleichungen:
a) 10x=5
b) [mm] x^{2}-8x-3=0 [/mm] |
Für a)
[mm] \IZ_{5}
[/mm]
10x=5 | :5
2x=1 | :2
x= ??
[mm] \IZ_{11}
[/mm]
10x=5 | :5
2x=1 | :2
x= ??
Da 0,5 in [mm] \IZ [/mm] nicht existiert, frage ich mich wie ich weiter rechnen soll.
b)
[mm] x^{2}-8x-3=0
[/mm]
[mm] \bruch{8}{2}\pm\wurzel{(\bruch{8}{2})^{2}+3}
[/mm]
Aber hier tauchen auch wieder nicht-ganze Zahlen auf.
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Weißt du, was [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] und [mm]\mathbb{Z}_{11}[/mm] bedeuten? Denn darauf nimmst du überhaupt keine Rücksicht. In [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] etwa sind 10 und 5 andere Schreibweisen für 0. Die erste Gleichung lautet daher
[mm]10x = 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ 0x = 0[/mm] (über [mm]\mathbb{Z}_5[/mm])
Und mit Formeln für reelle quadratische Gleichungen wie in b) kannst du schon gar nicht kommen. Es geht hier nicht um reelle Zahlen. Schon deine Überschrift ist verdächtig: "Verschiedene Stellenwertsysteme". Das ist hier nicht das Thema.
Vielleicht solltest du dich zuerst über Restklassenringe informieren, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
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> Weißt du, was [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] und [mm]\mathbb{Z}_{11}[/mm] bedeuten?
Ich weiß schon, was mit [mm] {Z}_5 [/mm] und [mm] {Z}_{11} [/mm] gemeint ist. Bei [mm] {Z}_5 [/mm] werden nur die Ziffern 1,2,3,4,5 benutzt und bei [mm] {Z}_{11} [/mm] nur 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.
Oder habe ich etwas falsch verstanden?
> Denn darauf nimmst du überhaupt keine Rücksicht. In
> [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] etwa sind 10 und 5 andere Schreibweisen für
> 0. Die erste Gleichung lautet daher
>
> [mm]10x = 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ 0x = 0[/mm] (über
> [mm]\mathbb{Z}_5[/mm])
>
> Und mit Formeln für reelle quadratische Gleichungen wie in
> b) kannst du schon gar nicht kommen. Es geht hier nicht um
Also kann man die Gleichung in b) in [mm] {Z}_5 [/mm] und [mm] {Z}_{11} [/mm] nicht lösen?
> reelle Zahlen. Schon deine Überschrift ist verdächtig:
> "Verschiedene Stellenwertsysteme". Das ist hier nicht das
> Thema.
> Vielleicht solltest du dich zuerst über Restklassenringe
> informieren, z.B.
> hier.
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> > Weißt du, was [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] und [mm]%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B11%7D[/mm] bedeuten?
>
> Ich weiß schon, was mit [mm]{Z}_5[/mm] und [mm]{Z}_{11}[/mm] gemeint ist.
> Bei [mm]{Z}_5[/mm] werden nur die Ziffern 1,2,3,4,5 benutzt und bei
Hallo normalerweise verwendet man 0, 1, 2, 3, 4,
und zwar mit einer speziellen Addition und Multiplikation.
So ist z.B. 3+4=2 und 3*3=4.
Jedes der 5 Elemente hat ein Inverses bzgl +, und
da 5 eine Primzahl ist, gibt es auch zu jedem Element ein Inverses bzgl. *.
Wenn bei Euch nicht völlig anderes getan wird als andernorts, dann hast Du jedoch weder Brüche noch Wurzeln.
Konntest Du a) denn jetzt lösen?
> [mm]{Z}_{11}[/mm] nur 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.
> Oder habe ich etwas falsch verstanden?
>
> > Denn darauf nimmst du überhaupt keine Rücksicht. In
> > [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] etwa sind 10 und 5 andere Schreibweisen für
> > 0. Die erste Gleichung lautet daher
> >
> > [mm]10x = 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ 0x = 0[/mm] (über
> > [mm]%5Cmathbb%7BZ%7D_5[/mm])
> >
> > Und mit Formeln für reelle quadratische Gleichungen wie in
> > b) kannst du schon gar nicht kommen. Es geht hier nicht um
>
> Also kann man die Gleichung in b) in [mm]{Z}_5[/mm] und [mm]{Z}_{11}[/mm]
> nicht lösen?
Ich hab's noch nicht versucht.
Du könntest die Antwort auf Deine Frage z.B. durch Ausprobieren finden, die beiden Restklassenringe sind ja recht übersichtlich.
LG Angela
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> > > Weißt du, was [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] und [mm]%5Cmathbb%7BZ%7D_%7B11%7D[/mm]
> bedeuten?
> >
> > Ich weiß schon, was mit [mm]{Z}_5[/mm] und [mm]{Z}_{11}[/mm] gemeint
> ist.
> > Bei [mm]{Z}_5[/mm] werden nur die Ziffern 1,2,3,4,5 benutzt und
> bei
>
> Hallo normalerweise verwendet man 0, 1, 2, 3, 4,
> und zwar mit einer speziellen Addition und
> Multiplikation.
>
> So ist z.B. 3+4=2 und 3*3=4.
>
> Jedes der 5 Elemente hat ein Inverses bzgl +, und
> da 5 eine Primzahl ist, gibt es auch zu jedem Element ein
> Inverses bzgl. *.
>
> Wenn bei Euch nicht völlig anderes getan wird als
> andernorts, dann hast Du jedoch weder Brüche noch
> Wurzeln.
>
> Konntest Du a) denn jetzt lösen?
Ich versuche es:
Für [mm] Z_{5}:
[/mm]
10x=5 | :5
2x=1 | :2
x=3
Für [mm] Z_{11}
[/mm]
10x=5 | :10
x=6
>
>
> > [mm]{Z}_{11}[/mm] nur 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.
>
> > Oder habe ich etwas falsch verstanden?
> >
> > > Denn darauf nimmst du überhaupt keine Rücksicht. In
> > > [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] etwa sind 10 und 5 andere Schreibweisen
> für
> > > 0. Die erste Gleichung lautet daher
> > >
> > > [mm]10x = 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ 0x = 0[/mm] (über
> > > [mm]%5Cmathbb%7BZ%7D_5[/mm])
> > >
> > > Und mit Formeln für reelle quadratische Gleichungen
> wie in
> > > b) kannst du schon gar nicht kommen. Es geht hier
> nicht um
> >
> > Also kann man die Gleichung in b) in [mm]{Z}_5[/mm] und [mm]{Z}_{11}[/mm]
> > nicht lösen?
>
> Ich hab's noch nicht versucht.
> Du könntest die Antwort auf Deine Frage z.B. durch
> Ausprobieren finden, die beiden Restklassenringe sind ja
> recht übersichtlich.
>
> LG Angela
>
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> > > > Weißt du, was [mm]%5Cmathbb%7BZ%7D_5[/mm] und [mm]%255Cmathbb%257BZ%257D_%257B11%257D[/mm]
> > bedeuten?
> > >
> > > Ich weiß schon, was mit [mm]{Z}_5[/mm] und [mm]{Z}_{11}[/mm] gemeint
> > ist.
> > > Bei [mm]{Z}_5[/mm] werden nur die Ziffern 1,2,3,4,5 benutzt
> und
> > bei
> >
> > Hallo normalerweise verwendet man 0, 1, 2, 3, 4,
> > und zwar mit einer speziellen Addition und
> > Multiplikation.
> >
> > So ist z.B. 3+4=2 und 3*3=4.
> >
> > Jedes der 5 Elemente hat ein Inverses bzgl +, und
> > da 5 eine Primzahl ist, gibt es auch zu jedem Element
> ein
> > Inverses bzgl. *.
> >
> > Wenn bei Euch nicht völlig anderes getan wird als
> > andernorts, dann hast Du jedoch weder Brüche noch
> > Wurzeln.
> >
> > Konntest Du a) denn jetzt lösen?
>
> Ich versuche es:
>
> Für [mm]Z_{5}:[/mm]
> 10x=5 | :5
Hallo,
was meinst Du mit "dividieren"?
Wohl "multiplizieren mit dem Inversen".
Was ist denn das Inverse von 5 (bzgl. der Mult.) in [mm] \IZ_5?
[/mm]
Es hatte Leopold Gast Dir doch auch schon gesagt, daß 10x=5 dasselbe ist wie 0x=0.
(Verstehst Du das?)
> 2x=1 | :2
> x=3
>
> Für [mm]Z_{11}[/mm]
> 10x=5 | :10
> x=6
Was auch immer Du mit ":10" meinst, das Ergebnis stimmt.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mo 22.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
> > > > > Weißt du, was [mm]%5Cmathbb%7BZ%7D_5[/mm] und
> [mm]%255Cmathbb%257BZ%257D_%257B11%257D[/mm]
> > > bedeuten?
> > > >
> > > > Ich weiß schon, was mit [mm]{Z}_5[/mm] und [mm]{Z}_{11}[/mm] gemeint
> > > ist.
> > > > Bei [mm]{Z}_5[/mm] werden nur die Ziffern 1,2,3,4,5 benutzt
> > und
> > > bei
> > >
> > > Hallo normalerweise verwendet man 0, 1, 2, 3, 4,
> > > und zwar mit einer speziellen Addition und
> > > Multiplikation.
> > >
> > > So ist z.B. 3+4=2 und 3*3=4.
> > >
> > > Jedes der 5 Elemente hat ein Inverses bzgl +, und
> > > da 5 eine Primzahl ist, gibt es auch zu jedem Element
> > ein
> > > Inverses bzgl. *.
> > >
> > > Wenn bei Euch nicht völlig anderes getan wird als
> > > andernorts, dann hast Du jedoch weder Brüche noch
> > > Wurzeln.
> > >
> > > Konntest Du a) denn jetzt lösen?
> >
> > Ich versuche es:
> >
> > Für [mm]Z_{5}:[/mm]
> > 10x=5 | :5
>
> Hallo,
>
> was meinst Du mit "dividieren"?
> Wohl "multiplizieren mit dem Inversen".
> Was ist denn das Inverse von 5 (bzgl. der Mult.) in
> [mm]\IZ_5?[/mm]
>
> Es hatte Leopold Gast Dir doch auch schon gesagt, daß
> 10x=5 dasselbe ist wie 0x=0.
> (Verstehst Du das?)
>
>
>
> > 2x=1 | :2
> > x=3
> >
> > Für [mm]Z_{11}[/mm]
> > 10x=5 | :10
> > x=6
>
> Was auch immer Du mit ":10" meinst, das Ergebnis stimmt.
>
> LG Angela
Ich habe mir gedacht, welche Zahl mal 10 ergibt 5. Nach ausprobieren bin ich auf 6 gekommen: 6*10=5 (also nach 54 wird wieder bei 0 angefangen und das ergibt 5)
Also muss das Ergebnis 6 sein.
Gibt es auch einen einfacheren Rechenweg?
Und ist x=3 bei a) falsch?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Mo 22.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo MatheDell,
zu b)
Du machst es Dir einfacher, wenn Du [mm] $x^2-8\cdot [/mm] x-3$
für [mm] $\mathbb{Z}_5$ [/mm] umschreibst in [mm] $x^2+2\cdot [/mm] x+2$.
Für [mm] $\mathbb{Z}_{11}$ [/mm] wird daraus dann [mm] $x^2+3\cdot [/mm] x+8$.
Gruß
Kai
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> Hallo MatheDell,
>
> zu b)
>
> Du machst es Dir einfacher, wenn Du [mm]x^2-8\cdot x-3[/mm]
> für [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] umschreibst in [mm]x^2+2\cdot x+2[/mm].
>
> Für [mm]\mathbb{Z}_{11}[/mm] wird daraus dann [mm]x^2+3\cdot x+8[/mm].
>
> Gruß
Wie hast du denn die Gleichung umgeformt. Sind das nicht völlig andere Gleichungen?
Ich habe es übrigens mit Einsetzen versucht und die Gleichung lässt sich für -11.-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
nicht lösen.
> Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mo 22.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo MatheDell,
> > Hallo MatheDell,
> >
> > zu b)
> >
> > Du machst es Dir einfacher, wenn Du [mm]x^2-8\cdot x-3[/mm]
> > für [mm]\mathbb{Z}_5[/mm] umschreibst in [mm]x^2+2\cdot x+2[/mm].
> >
> > Für [mm]\mathbb{Z}_{11}[/mm] wird daraus dann [mm]x^2+3\cdot x+8[/mm].
> >
> > Gruß
>
> Wie hast du denn die Gleichung umgeformt. Sind das nicht
> völlig andere Gleichungen?
In den ganzen Zahlen ja. Aber im [mm] $\mathbb{Z}_5$ [/mm] nicht. Im [mm] $\mathbb{Z}_5$ [/mm] gilt
[mm] $-8=-8+2\cdot [/mm] 5=2$ und $-3=-3+5=2$.
Allgemein ist $a$ kongruent zu [mm] $a+5\cdot [/mm] k$
>
> Ich habe es übrigens mit Einsetzen versucht und die
> Gleichung lässt sich für
> -11.-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
> nicht lösen.
>
Da gebe ich Dir recht.
Probier es mal für die Gleichung mit [mm] $\mathbb{Z}_5$!
[/mm]
> > Kai
>
>
>
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mo 22.04.2013 | | Autor: | davux |
Am Besten du denkst erstmal an eine Uhr, eine runde mit Zahlen ringsherum und einem Zeiger. Du siehst die Zahlen von 1 bis 12. Dabei ist 12 gleichbedeutend mit 12 Uhr, 0 Uhr und bei uns auch 24 Uhr. Wenn wir gerade 9 Uhr haben, und du möchtest dich mit einem Kommolitonen morgen um die gleiche Zeit verabreden, dann kannst du mit ihm ausmachen, ihr trefft euch in 24 Stunden, dann ist es wieder 9 Uhr. Im Grunde ist das eine einfache Operation in diesem Ring [mm] $\IZ/12\IZ=\IZ_{12}$, [/mm] wobei ich die erste Schreibweise bevorzuge. In dem gilt nämlich:
$9 + 24 = 9$
Solche Ringe [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] bedeuten im Grunde, du betrachtest nur die Reste, die entstehen können, wenn du eine ganze Zahl durch $n$ teilst. Nehmen wir zum Beispiel den kleinsten Körper [mm] $\IZ/2\IZ$. [/mm] Dieser hat demnach genau zwei Elemente 0 und 1. [mm] $n\IZ$ [/mm] für sich genommen, das sind alle Vielfachen von $n$ in den ganzen Zahlen. Im Falle von $n=2$ sind das entsprechend {...,-4,-2,0,2,4,...}.
Dein erster Schritt sollte nun sein, dass du erstmal die Zahlen in den Gleichungen betrachtest und den Rest bei Division durch n in Restklassenschreibweise übersetzt. Dann suchst du nach den Lösungen bzw. löst die Gleichungen. Für den Aufgabenteil a) in [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] ist es offensichtlich und hier auch schon erwähnt. Was kannst du denn für [mm] $x\in\IZ/5\IZ$ [/mm] in die Gleichung einsetzen, damit sie gilt?
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> Am Besten du denkst erstmal an eine Uhr, eine runde mit
> Zahlen ringsherum und einem Zeiger. Du siehst die Zahlen
> von 1 bis 12. Dabei ist 12 gleichbedeutend mit 12 Uhr, 0
> Uhr und bei uns auch 24 Uhr. Wenn wir gerade 9 Uhr haben,
> und du möchtest dich mit einem Kommolitonen morgen um die
> gleiche Zeit verabreden, dann kannst du mit ihm ausmachen,
> ihr trefft euch in 24 Stunden, dann ist es wieder 9 Uhr. Im
> Grunde ist das eine einfache Operation in diesem Ring
> [mm]\IZ/12\IZ=\IZ_{12}[/mm], wobei ich die erste Schreibweise
> bevorzuge. In dem gilt nämlich:
>
> [mm]9 + 24 = 9[/mm]
>
> Solche Ringe [mm]\IZ/n\IZ[/mm] bedeuten im Grunde, du betrachtest
> nur die Reste, die entstehen können, wenn du eine ganze
> Zahl durch [mm]n[/mm] teilst. Nehmen wir zum Beispiel den kleinsten
> Körper [mm]\IZ/2\IZ[/mm]. Dieser hat demnach genau zwei Elemente 0
> und 1. [mm]n\IZ[/mm] für sich genommen, das sind alle Vielfachen
> von [mm]n[/mm] in den ganzen Zahlen. Im Falle von [mm]n=2[/mm] sind das
> entsprechend {...,-4,-2,0,2,4,...}.
> Dein erster Schritt sollte nun sein, dass du erstmal die
> Zahlen in den Gleichungen betrachtest und den Rest bei
> Division durch n in Restklassenschreibweise übersetzt.
> Dann suchst du nach den Lösungen bzw. löst die
> Gleichungen. Für den Aufgabenteil a) in [mm]\IZ/5\IZ[/mm] ist es
> offensichtlich und hier auch schon erwähnt. Was kannst du
> denn für [mm]x\in\IZ/5\IZ[/mm] in die Gleichung einsetzen, damit
> sie gilt?
Für [mm] x\in\IZ/5\IZ [/mm] kann man 1,2,3,4,5 einsetzten, aber keiner dieser Zahlen löst die Gleichung in b).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 22.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo MatheDell,
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> Für [mm]x\in\IZ/5\IZ[/mm] kann man 1,2,3,4,5 einsetzten, aber
> keiner dieser Zahlen löst die Gleichung in b).
>
Für [mm]x\in\IZ/5\IZ[/mm] kann man 0,1,2,3,4 einsetzen.
Löst eine oder mehrere Zahlen die Gleichung in b) ?
Sei $x:=1 [mm] \quad\Rightarrow\quad x^2-8\cdot [/mm] x-3=-10$
Was sagt uns das?
Gibt es noch eine weitere Lösung für b) ?
Gruß
Kai
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> Hallo MatheDell,
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> >
> > Für [mm]x\in\IZ/5\IZ[/mm] kann man 1,2,3,4,5 einsetzten, aber
> > keiner dieser Zahlen löst die Gleichung in b).
> >
>
> Für [mm]x\in\IZ/5\IZ[/mm] kann man 0,1,2,3,4 einsetzen.
> Löst eine oder mehrere Zahlen die Gleichung in b) ?
>
> Sei [mm]x:=1 \quad\Rightarrow\quad x^2-8\cdot x-3=-10[/mm]
> Was sagt
> uns das?
>
> Gibt es noch eine weitere Lösung für b) ?
>
> Gruß
> Kai
Ich habe jetzt alle Zahlen von 0 bis 11 eingesetzt in [mm] x^{2}-8x-3
[/mm]
x y
0 -3
1 -10
2 -15
3 -18
4 -19
5 -18
6 -15
7 -10
8 -3
9 16
10 17
11 30
Lösen würden die Gleichung für [mm] Z_{5}: [/mm] x= 1,2 und für [mm] Z_{11}:keine
[/mm]
Falls die 8x in [mm] Z_{5} [/mm] nicht existiert bzw. ein Rest gebildet werden muss, dann ist für [mm] x^{2}-3x-3
[/mm]
x y
0 -3
1 -5
2 -5
3 -3
4 1
5 7
Und hier ist auch [mm] \IL [/mm] ={ [mm] x\varepsilon\IZ_{5}|x=1,2 [/mm] }
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mo 22.04.2013 | | Autor: | davux |
Dass mit der Uhr zurückdrehen hast du mit dem Subtrahieren noch nicht nahe genug zusammengebracht. Du müsstest das, was du y nennst noch in [mm] \IZ_5 [/mm] ausdrücken, dann siehst du es vielleicht ein. Denk daran, dass [mm] $\IZ_5=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}$ [/mm] ist. Entsprechend ist [mm] $\IZ_{11}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{10}\}. [/mm] Du brauchst also "nur" [mm] $\overline{0},...,\overline{4}$ [/mm] bzw. [mm] $\overline{0},...,\overline{10}$ [/mm] einsetzen.
Probieren wir also einmal [mm] x=\overline{0}\in\IZ_{11} [/mm] und versuchen damit die Gleichung in [mm] \IZ_{11} [/mm] zu lösen:
[mm] \overline{0}^2-8\cdot \overline{0}-3=-\overflow{3}=\overline{8}.
[/mm]
Nächste:
[mm] $\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{3}-3=\overline{0}$.
[/mm]
Hier sollte stehen: [mm] $\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}$
[/mm]
Und siehe da. Was habe ich gemacht?
Es geht sogar noch etwas einfacher, aber richtiges Einsetzen reicht erstmal.
#Edit: Ich habe sicher in diesem Thread an einigen Stellen den Hinweis auf Restklassen vernachlässigt und werden es nicht an allen Stellen reineditieren. Wenn man einmal damit anfängt, sollte man es aber auch durchsetzen, zumindest für sich.
2#Edit: Eine Stelle war mir hier noch so wichtig, dass ich sie ausgebessert habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mo 22.04.2013 | | Autor: | davux |
Na ja, nach Überprüfung habe ich festgestellt, dass es doch nicht so einfach ist, wie ich da bei [mm] \overline{1} [/mm] vorrechnen wollte. Tatsächlich gibt es in [mm] \IZ_{11} [/mm] keine Lösung für die Gleichung. Du hast also recht gehabt.
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> Dass mit der Uhr zurückdrehen hast du mit dem Subtrahieren
> noch nicht nahe genug zusammengebracht. Du müsstest das,
> was du y nennst noch in [mm]\IZ_5[/mm] ausdrücken, dann siehst du
> es vielleicht ein. Denk daran, dass
> [mm]$\IZ_5=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}$[/mm]
> ist. Entsprechend ist
> [mm]$\IZ_{11}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{10}\}.[/mm]
> Du brauchst also "nur" [mm]$\overline{0},...,\overline{4}$[/mm] bzw.
> [mm]$\overline{0},...,\overline{10}$[/mm] einsetzen.
> Probieren wir also einmal [mm]x=\overline{0}\in\IZ_{11}[/mm] und
> versuchen damit die Gleichung in [mm]\IZ_{11}[/mm] zu lösen:
>
> [mm]\overline{0}^2-8\cdot \overline{0}-3=-\overflow{3}=\overline{8}.[/mm]
>
> Nächste:
> [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{3}-3=\overline{0}[/mm].
>
> Hier sollte stehen: [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
>
> Und siehe da. Was habe ich gemacht?
> Es geht sogar noch etwas einfacher, aber richtiges
> Einsetzen reicht erstmal.
>
> #Edit: Ich habe sicher in diesem Thread an einigen Stellen
> den Hinweis auf Restklassen vernachlässigt und werden es
> nicht an allen Stellen reineditieren. Wenn man einmal damit
> anfängt, sollte man es aber auch durchsetzen, zumindest
> für sich.
> 2#Edit: Eine Stelle war mir hier noch so wichtig, dass ich
> sie ausgebessert habe.
Wenn das der Fall ist, dann ist ja die einzige Lösung in [mm] Z_{5} [/mm] x=2 da 1 ja kein vielfaches von 5 ist.
Aber wenn man so rechnet [mm] 1^{2}-8*1-3= [/mm] -10,
ist es ein vielfaches von 5
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Hallo MatheDell,
> > Dass mit der Uhr zurückdrehen hast du mit dem Subtrahieren
> > noch nicht nahe genug zusammengebracht. Du müsstest das,
> > was du y nennst noch in [mm]\IZ_5[/mm] ausdrücken, dann siehst du
> > es vielleicht ein. Denk daran, dass
> >
> [mm]\IZ_5=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}[/mm]
> > ist. Entsprechend ist
> >
> [mm]%5CIZ_%7B11%7D%3D%5C%7B%5Coverline%7B0%7D%2C%5Coverline%7B1%7D%2C%5Coverline%7B2%7D%2C...%2C%5Coverline%7B10%7D%5C%7D.[/mm]
> > Du brauchst also "nur" [mm]\overline{0},...,\overline{4}[/mm] bzw.
> > [mm]%5Coverline%7B0%7D%2C...%2C%5Coverline%7B10%7D[/mm] einsetzen.
> > Probieren wir also einmal [mm]x=\overline{0}\in\IZ_{11}[/mm] und
> > versuchen damit die Gleichung in [mm]\IZ_{11}[/mm] zu lösen:
> >
> > [mm]\overline{0}^2-8\cdot \overline{0}-3=-\overflow{3}=\overline{8}.[/mm]
>
> >
> > Nächste:
> > [mm]%5Coverline%7B1%7D%5E2-8%5Ccdot%20%5Coverline%7B1%7D-3%3D%5Coverline%7B3%7D-3%3D%5Coverline%7B0%7D[/mm].
>
> >
> > Hier sollte stehen: [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
>
> >
> > Und siehe da. Was habe ich gemacht?
> > Es geht sogar noch etwas einfacher, aber richtiges
> > Einsetzen reicht erstmal.
> >
> > #Edit: Ich habe sicher in diesem Thread an einigen Stellen
> > den Hinweis auf Restklassen vernachlässigt und werden es
> > nicht an allen Stellen reineditieren. Wenn man einmal damit
> > anfängt, sollte man es aber auch durchsetzen, zumindest
> > für sich.
> > 2#Edit: Eine Stelle war mir hier noch so wichtig, dass
> ich
> > sie ausgebessert habe.
>
> Wenn das der Fall ist,
Wenn was der Fall ist?
> dann ist ja die einzige Lösung in
> [mm]Z_{5}[/mm] x=2 da 1 ja kein vielfaches von 5 ist.
Bahnhof? 2 ist auch kein Vielfaches von 5. Darum geht es hier doch auch überhaupt nicht!
> Aber wenn man so rechnet [mm]1^{2}-8*1-3=[/mm] -10,
> ist es ein vielfaches von 5
Schon besser. [mm] x=\overline{1} [/mm] erfüllt also in [mm] \IZ_5 [/mm] die Gleichung.
Grüße
reverend
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> Hallo MatheDell,
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> > > Dass mit der Uhr zurückdrehen hast du mit dem
> Subtrahieren
> > > noch nicht nahe genug zusammengebracht. Du müsstest
> das,
> > > was du y nennst noch in [mm]\IZ_5[/mm] ausdrücken, dann siehst
> du
> > > es vielleicht ein. Denk daran, dass
> > >
> >
> [mm]\IZ_5=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}[/mm]
> > > ist. Entsprechend ist
> > >
> >
> [mm]%5CIZ_%7B11%7D%3D%5C%7B%5Coverline%7B0%7D%2C%5Coverline%7B1%7D%2C%5Coverline%7B2%7D%2C...%2C%5Coverline%7B10%7D%5C%7D.[/mm]
> > > Du brauchst also "nur" [mm]\overline{0},...,\overline{4}[/mm]
> bzw.
> > > [mm]%5Coverline%7B0%7D%2C...%2C%5Coverline%7B10%7D[/mm]
> einsetzen.
> > > Probieren wir also einmal [mm]x=\overline{0}\in\IZ_{11}[/mm]
> und
> > > versuchen damit die Gleichung in [mm]\IZ_{11}[/mm] zu lösen:
> > >
> > > [mm]\overline{0}^2-8\cdot \overline{0}-3=-\overflow{3}=\overline{8}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nächste:
> > >
> [mm]%5Coverline%7B1%7D%5E2-8%5Ccdot%20%5Coverline%7B1%7D-3%3D%5Coverline%7B3%7D-3%3D%5Coverline%7B0%7D[/mm].
> >
> > >
> > > Hier sollte stehen: [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und siehe da. Was habe ich gemacht?
> > > Es geht sogar noch etwas einfacher, aber richtiges
> > > Einsetzen reicht erstmal.
> > >
> > > #Edit: Ich habe sicher in diesem Thread an einigen
> Stellen
> > > den Hinweis auf Restklassen vernachlässigt und werden
> es
> > > nicht an allen Stellen reineditieren. Wenn man einmal
> damit
> > > anfängt, sollte man es aber auch durchsetzen,
> zumindest
> > > für sich.
> > > 2#Edit: Eine Stelle war mir hier noch so wichtig,
> dass
> > ich
> > > sie ausgebessert habe.
> >
> > Wenn das der Fall ist,
>
> Wenn was der Fall ist?
>
> > dann ist ja die einzige Lösung in
> > [mm]Z_{5}[/mm] x=2 da 1 ja kein vielfaches von 5 ist.
>
> Bahnhof? 2 ist auch kein Vielfaches von 5. Darum geht es
> hier doch auch überhaupt nicht!
>
> > Aber wenn man so rechnet [mm]1^{2}-8*1-3=[/mm] -10,
> > ist es ein vielfaches von 5
>
> Schon besser. [mm]x=\overline{1}[/mm] erfüllt also in [mm]\IZ_5[/mm] die
> Gleichung.
>
> Grüße
> reverend
Aber schau dir mal die Gleichung [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm] . Das steht doch im Widerspruch zu [mm] x^{2}-8x-3=0 [/mm]
oder nicht?
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Hallo nochmal,
du wirfst da etwas durcheinander.
[...]
> > > Aber wenn man so rechnet [mm]1^{2}-8*1-3=[/mm] -10,
> > > ist es ein vielfaches von 5
> >
> > Schon besser. [mm]x=\overline{1}[/mm] erfüllt also in [mm]\IZ_5[/mm] die
> > Gleichung.
Das alles war in [mm] \IZ_5.
[/mm]
> Aber schau dir mal die Gleichung [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
> . Das steht doch im Widerspruch zu [mm]x^{2}-8x-3=0[/mm]
>
> oder nicht?
Nein, überhaupt nicht. Es ist halt nur in [mm] \IZ_{11} [/mm] gerechnet. Das ist etwas völlig anderes.
Grüße
reverend
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> Hallo nochmal,
>
> du wirfst da etwas durcheinander.
>
> [...]
>
> > > > Aber wenn man so rechnet [mm]1^{2}-8*1-3=[/mm] -10,
> > > > ist es ein vielfaches von 5
> > >
> > > Schon besser. [mm]x=\overline{1}[/mm] erfüllt also in [mm]\IZ_5[/mm]
> die
> > > Gleichung.
>
> Das alles war in [mm]\IZ_5.[/mm]
>
> > Aber schau dir mal die Gleichung [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
>
> > . Das steht doch im Widerspruch zu [mm]x^{2}-8x-3=0[/mm]
> >
> > oder nicht?
>
> Nein, überhaupt nicht. Es ist halt nur in [mm]\IZ_{11}[/mm]
> gerechnet. Das ist etwas völlig anderes.
>
> Grüße
> reverend
Noch eine Frage: Wenn man in [mm] Z_{5} [/mm] rechnet, kann man dann mit [mm] x^{2}-8x-3=0 [/mm] rechnen oder muss man die Gleichung so umformen, dass keine grösseren Zahlen als 4 vorkommen, also [mm] x^{2}-3x-3=0 [/mm] ?
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Hallo,
> > du wirfst da etwas durcheinander.
> >
> > [...]
> >
> > > > > Aber wenn man so rechnet [mm]1^{2}-8*1-3=[/mm] -10,
> > > > > ist es ein vielfaches von 5
> > > >
> > > > Schon besser. [mm]x=\overline{1}[/mm] erfüllt also in [mm]\IZ_5[/mm]
> > die
> > > > Gleichung.
> >
> > Das alles war in [mm]\IZ_5.[/mm]
> >
> > > Aber schau dir mal die Gleichung [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
>
> >
> > > . Das steht doch im Widerspruch zu [mm]x^{2}-8x-3=0[/mm]
> > >
> > > oder nicht?
> >
> > Nein, überhaupt nicht. Es ist halt nur in [mm]\IZ_{11}[/mm]
> > gerechnet. Das ist etwas völlig anderes.
Noch ein PS: Für x=1 ist die Gleichung in [mm] \IZ_{11} [/mm] nicht erfüllt. Meintest Du das?
> Noch eine Frage: Wenn man in [mm]Z_{5}[/mm] rechnet, kann man dann
> mit [mm]x^{2}-8x-3=0[/mm] rechnen oder muss man die Gleichung so
> umformen, dass keine grösseren Zahlen als 4 vorkommen,
> also [mm]x^{2}-3x-3=0[/mm] ?
Man muss nicht umformen, aber man kann. Die beiden Gleichungen sind in [mm] \IZ_5 [/mm] absolut identisch!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:02 Di 23.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
> Hallo,
>
> > > du wirfst da etwas durcheinander.
> > >
> > > [...]
> > >
> > > > > > Aber wenn man so rechnet [mm]1^{2}-8*1-3=[/mm] -10,
> > > > > > ist es ein vielfaches von 5
> > > > >
> > > > > Schon besser. [mm]x=\overline{1}[/mm] erfüllt also in
> [mm]\IZ_5[/mm]
> > > die
> > > > > Gleichung.
> > >
> > > Das alles war in [mm]\IZ_5.[/mm]
> > >
> > > > Aber schau dir mal die Gleichung
> [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > . Das steht doch im Widerspruch zu [mm]x^{2}-8x-3=0[/mm]
> > > >
> > > > oder nicht?
> > >
> > > Nein, überhaupt nicht. Es ist halt nur in [mm]\IZ_{11}[/mm]
> > > gerechnet. Das ist etwas völlig anderes.
>
> Noch ein PS: Für x=1 ist die Gleichung in [mm]\IZ_{11}[/mm] nicht
> erfüllt. Meintest Du das?
Nein, wie du gesagt hast bin ich durcheinander geraten und dachte [mm]\overline{1}^2-8\cdot \overline{1}-3=\overline{4}-3=\overline{1}[/mm] sei für [mm] Z_{5} [/mm] berechnet worden.
>
> > Noch eine Frage: Wenn man in [mm]Z_{5}[/mm] rechnet, kann man dann
> > mit [mm]x^{2}-8x-3=0[/mm] rechnen oder muss man die Gleichung so
> > umformen, dass keine grösseren Zahlen als 4 vorkommen,
> > also [mm]x^{2}-3x-3=0[/mm] ?
>
> Man muss nicht umformen, aber man kann. Die beiden
> Gleichungen sind in [mm]\IZ_5[/mm] absolut identisch!
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 22.04.2013 | | Autor: | davux |
Schonmal nicht schlecht. Das habe ich von dir hier noch nicht explizit gelesen. Allerdings bevorzuge ich auch hier eine andere Schreibweise, besser gesagt, ich fange zunächst bei 0 an zu zählen, weil es einen Rest 5 bei Division durch 5 wohl nicht geben wird. Wenn man einen Rest meint, dann macht man das auch deutlich in dem man [mm] $\overline{0}$ [/mm] oder $[0]$ schreibt. Was auch immer bei euch üblich ist. Wir können uns jetzt, was die Übersetzung der Gleichung b) in [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] angeht an kaju halten oder es so machen
[mm] $x^2-\overline{3}x-\overline{3}=0$.
[/mm]
Jetzt ist klar, dass du wenn du über Null gehst, wieder die Elemente von [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] von hinten durchläufst, hoffe ich.
Den Rest der Antwort überlasse ich kaju. Lass dich aber nicht von den unterschiedlichen Deutungen aus der Fassung bringe. Ich habe eine Lösung schnell "raten" können, und die zweite ausrechnen lassen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 22.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo MatheDell,
> Den Rest der Antwort überlasse ich kaju.
Ich weiß nicht, was genau davux da meint.
Da müsste ich tippen. Eventuell meint er,
dass die Gleichung gelöst werden kann,
wenn die Zahl auf der rechten Seite ohne
Rest durch 5, bzw. 11 teilbar ist. Das ist
z.B. der Fall in b) für [mm] $\mathbb{Z}_5$ [/mm] : [mm] $1^2-8\cdot [/mm] 1-3=-10$
Gute Nacht
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 22.04.2013 | | Autor: | davux |
Ich hatte nur gesehen, dass du schon eine Antwort verfasst, bevor ich mit meinem Beitrag anfing. Daher habe ich nicht direkt antworten, sondern nur etwas anmerken wollen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 22.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo davux,
ok, alles klar!
Gute Nacht
Kai
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