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Hi
ich gehe zur Zeit die Algebravorlesung durch und habe ein paar Fragen, würde mich über Hilfe sehr freuen, dies herauszufinden.
Einmal war in der Vorlesung ein Beispiel (Ohne weitere Begründung), dass zu [mm] f=X^4-11 \in \IQ[x] Gal_f\cong D_{2*4} [/mm] ist, also die Diedergruppe mit 8 Elementen. Wie kriegt man das raus?
Ich weiss zwar, dass hier die Anzahl der Elemente der Galoisgruppe 8 ist, weil [mm] \IQ(a)\cong \IQ[x]/(X^4-11) [/mm] und [mm] a=\wurzel[4]{11} [/mm] , die weiteren 2 Nullstellen +/-i*a liegen dann in [mm] \IC [/mm] , d.h. man bekommt wieder eine Körpererweiterung vom Grad 2 und nach der Gradformel ist [mm] dim_{\IQ}Z_f=8 [/mm] also ist die Galoisgruppe 8 Elementig, [mm] Z_f [/mm] sei der Zerfällungskörper von f. Dann weiss man, dass die Automorphismen in der Galoisgruppe Nullstellen auf Nullstellen abbilden, also eine Teilmenge von [mm] S_4 [/mm] ist. Aber wieso kriegt man hier dann [mm] D_8 [/mm] raus?
Das hängt dann direkt mit meiner nächsten Frage zusammen :
Wann genau kann man sagen, dass die Galoisgruppe eines Polynoms eine Untergruppe von [mm] S_n [/mm] ist und wann nicht? Wenn die Galoisgruppe primzahlordnung hat, dann ist die ja zyklisch, also dann im allgemeinen nicht mehr, oder?! Und ich weiss, dass wenn man eine Körpererweiterung zweier endlicher Körper hat, dass dann die Galoisgruppe der der Körpererweiterung zyklisch (vom Frobenius erzeugt) ist. Und wie ist es sonst?
Wenn man die Anzahl der Elemente einer Gruppe hat, dann kann man ja nicht einfach sagen, dass diese isomorph ist zu einer anderen bekannten Gruppe mit gleicher Anzahl von Elementen. Mir fehlt da etwas Gruppentheorie, gibt es eine Möglichkeit herauszufinden wenn man eine endliche Gruppe hat, zu welcher diese isomorph ist? Also ich sag mal wenn die Gruppe viele Elemente hat, bei den kleineren geht das ja meistens.
Zb. ist jede Gruppe mit 4 Elementen entweder isomorph zu [mm] \IZ_2 \times \IZ_2 [/mm] (isomorph zur kleinschen Vierergruppe) oder zu [mm] \IZ_4 [/mm] (zyklischen Gruppe mit 4 Elementen), andere kann es nicht geben, oder?
Dann habe ich noch eine andere Frage:
Wenn man ein Polynom [mm] f=\produkt_{i=1}^{n}f_i [/mm] in K[x] [mm] hat,f_i [/mm] irreduzibel und man [mm] Gal_{f_i} [/mm] für alle i kennt, kann man dann dann irgendwie im Allgemeinen auf [mm] Gal_f [/mm] bzw auf den Zerffällungskörper von f schließen? Also zb bei sowas wie [mm] f=(x^2-2)(x^3-3) \in \IQ[x] [/mm] ist es einfach. Aber wie ist es sonst so?
Würde mich über Hilfe sehr freuen!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Fr 25.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich gehe zur Zeit die Algebravorlesung durch und habe ein
> paar Fragen, würde mich über Hilfe sehr freuen, dies
> herauszufinden.
>
> Einmal war in der Vorlesung ein Beispiel (Ohne weitere
> Begründung), dass zu [mm]f=X^4-11 \in \IQ[x] Gal_f\cong D_{2*4}[/mm]
> ist, also die Diedergruppe mit 8 Elementen. Wie kriegt man
> das raus?
> Ich weiss zwar, dass hier die Anzahl der Elemente der
> Galoisgruppe 8 ist, weil [mm]\IQ(a)\cong \IQ[x]/(X^4-11)[/mm] und
> [mm]a=\wurzel[4]{11}[/mm] , die weiteren 2 Nullstellen +/-i*a liegen
> dann in [mm]\IC[/mm] , d.h. man bekommt wieder eine
> Körpererweiterung vom Grad 2 und nach der Gradformel ist
> [mm]dim_{\IQ}Z_f=8[/mm] also ist die Galoisgruppe 8 Elementig, [mm]Z_f[/mm]
> sei der Zerfällungskörper von f. Dann weiss man, dass die
> Automorphismen in der Galoisgruppe Nullstellen auf
> Nullstellen abbilden, also eine Teilmenge von [mm]S_4[/mm] ist. Aber
> wieso kriegt man hier dann [mm]D_8[/mm] raus?
Das ist allgemein bei $f = [mm] X^4 [/mm] - a$ so, wenn $f$ irreduzibel ist und $a > 0$. Ist [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt[4]{a}$, [/mm] so sind [mm] $\alpha$, [/mm] $i [mm] \alpha$, $i^2 \alpha [/mm] = [mm] -\alpha$ [/mm] und [mm] $i^3 \alpha [/mm] = -i [mm] \alpha$ [/mm] die Nullstellen von $f$ im Zerfaellungskoerper [mm] $\IQ(\alpha, [/mm] i)$.
Jetzt kannst du anschauen, wie du [mm] $\alpha$ [/mm] und $i$ abbilden kannst. [mm] $\alpha$ [/mm] muss auf ein Element aus [mm] $\{ \alpha, i \alpha, i^2 \alpha, i^3 \alpha \}$, [/mm] und $i$ auf ein Element von [mm] $\{ i, -i \}$ [/mm] abgebildet werden. Somit ergeben sich hoechstens acht Moeglichkeiten, wie man [mm] $(\alpha, [/mm] i)$ auf etwas abbilden kann, und alle diese muessen vorkommen, da die Koerpererweiterung Grad 8 und die Galoisgruppe somit 8 Elemente hat.
Damit "kennst" du schonmal die Elemente der Galoisgruppe.
Sei nun [mm] $\sigma$ [/mm] ein Automorphismus vom Zerfaellungskoerper mit [mm] $\sigma(i) [/mm] = i$ und [mm] $\sigma(\alpha) [/mm] = i [mm] \alpha$. [/mm] Dann ist [mm] $\sigma(i \alpha) [/mm] = [mm] i^2 \alpha$, $\sigma(i^2 \alpha) [/mm] = [mm] i^3 \alpha$ [/mm] und [mm] $\sigma(i^3 \alpha) [/mm] = [mm] i^4 \alpha [/mm] = [mm] \alpha$. [/mm] Dies ist also eine Art zyklischer Shift der Nullstellen von $f$ der Ordnung 4.
Ist [mm] $\tau$ [/mm] der Automorphismus mit [mm] $\tau(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] und [mm] $\tau(i) [/mm] = -i = [mm] i^3$, [/mm] so gilt [mm] $\tau(\alpha) [/mm] = [mm] \alpha$, $\tau(i \alpha) [/mm] = [mm] i^3 \alpha$, $\tau(i^2 \alpha) [/mm] = [mm] i^2 \alpha$ [/mm] und [mm] $\tau(i^3 \alpha) [/mm] = i [mm] \alpha$.
[/mm]
Wenn du die Nullstellen [mm] $\{ \alpha, i \alpha, i^2 \alpha, i^3 \alpha \}$ [/mm] mit $1, 2, 3, 4$ bezeichnest und [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] als Elemente aus [mm] $S(\{ 1, 2, 3, 4 \}) [/mm] = [mm] S_4$ [/mm] auffasst, hast du also [mm] $\sigma [/mm] = (1 2 3 4)$ und [mm] $\tau [/mm] = (2 4)$.
Jetzt kannst du nachrechnen, dass die von [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] erzeugte Untergruppe von [mm] $S_4$ [/mm] gerade [mm] $D_4$ [/mm] ist.
> Das hängt dann direkt mit meiner nächsten Frage zusammen
> :
> Wann genau kann man sagen, dass die Galoisgruppe eines
> Polynoms eine Untergruppe von [mm]S_n[/mm] ist und wann nicht? Wenn
Sie ist es immer. :)
> die Galoisgruppe primzahlordnung hat, dann ist die ja
> zyklisch, also dann im allgemeinen nicht mehr, oder?!
Doch. Die zyklische Gruppe der Ordnung $p$ ist ebenfalls eine Untergruppe von [mm] $S_p$, [/mm] naemlich z.B. die von $(1 2 3 [mm] \cdots [/mm] p)$ erzeugte Untergruppe.
> Und ich weiss, dass wenn man eine Körpererweiterung zweier
> endlicher Körper hat, dass dann die Galoisgruppe der der
> Körpererweiterung zyklisch (vom Frobenius erzeugt) ist.
Genau. Bei endlichen Koerpern ist die Situation sehr einfach.
> Und wie ist es sonst?
Komplizierter. Im allg. eine Untergruppe von [mm] $S_n$, [/mm] wenn du eine Koerpererweiterung von Grad $n$ hast. (Manchmal auch eine Untergruppe von [mm] $S_k$ [/mm] mit $k < n$, aber nicht immer. Da [mm] $S_k$ [/mm] mit $k < n$ auch eine Untergruppe von [mm] $S_n$ [/mm] selbst ist, ist es also immer eine Untergruppe von [mm] $S_n$.)
[/mm]
> Wenn man die Anzahl der Elemente einer Gruppe hat, dann
> kann man ja nicht einfach sagen, dass diese isomorph ist zu
> einer anderen bekannten Gruppe mit gleicher Anzahl von
> Elementen.
Nein, da braucht man mehr. Im allgemeinen ist es recht muehsam herauszufinden, zu welcher Gruppe es isomorph ist.
> Mir fehlt da etwas Gruppentheorie, gibt es eine
> Möglichkeit herauszufinden wenn man eine endliche Gruppe
> hat, zu welcher diese isomorph ist? Also ich sag mal wenn
> die Gruppe viele Elemente hat, bei den kleineren geht das
> ja meistens.
Im Allgemeinen ist es sehr muehsam. Es gibt viele Hilfsmittel, z.B. die Sylow-Saetze, aber es hat schon einen guten Grund, warum man in der Algebra-Vorlesung meist nur allgemeine kleine (!) Gruppen anschaut und bei groesseren Gruppen nur Spezialfaelle herauspickt, wo es gerade einfach ist (z.B. Primzahlordnung, Primzahlquadratordnung, Produkt zweier verschiedener Primzahlen unter bestimmten Bedingungen, ...)
> Zb. ist jede Gruppe mit 4 Elementen entweder isomorph zu
> [mm]\IZ_2 \times \IZ_2[/mm] (isomorph zur kleinschen Vierergruppe)
> oder zu [mm]\IZ_4[/mm] (zyklischen Gruppe mit 4 Elementen), andere
> kann es nicht geben, oder?
Genau.
> Dann habe ich noch eine andere Frage:
> Wenn man ein Polynom [mm]f=\produkt_{i=1}^{n}f_i[/mm] in K[x]
> [mm]hat,f_i[/mm] irreduzibel und man [mm]Gal_{f_i}[/mm] für alle i kennt,
> kann man dann dann irgendwie im Allgemeinen auf [mm]Gal_f[/mm] bzw
> auf den Zerffällungskörper von f schließen? Also zb bei
> sowas wie [mm]f=(x^2-2)(x^3-3) \in \IQ[x][/mm] ist es einfach. Aber
> wie ist es sonst so?
Ist $L$ der Zerfaellungskoerper von $f$ und [mm] $L_i$ [/mm] der Zerfaellungskoerper von [mm] $f_i$, [/mm] so ist $L$ das Kompositum aller [mm] $L_i$. [/mm] Weiterhin ist [mm] $Gal_f [/mm] = [mm] Gal(L/\IQ)$, $Gal_{f_i} [/mm] = [mm] Gal(L_i/\IQ)$, [/mm] und da [mm] $\IQ \subseteq L_i \subseteq [/mm] L$ ein Koerpererweiterungsturm ist mit [mm] $L/\IQ$ [/mm] und [mm] $L_i/\IQ$ [/mm] galoissch, so gibt es eine kurze exakte Sequenz $0 [mm] \to Gal(L/L_i) \to Gal(L/\IQ) \to Gal(L_i/\IQ) \to [/mm] 0$. Dies bedeutet, dass [mm] $Gal(L/L_i)$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $Gal(L/\IQ)$ [/mm] ist (da [mm] $L_i/\IQ$ [/mm] galoissch ist) und dass [mm] $Gal(L/\IQ) [/mm] / [mm] Gal(L/L_i)$ [/mm] isomorph zu [mm] $Gal(L_i/\IQ)$ [/mm] ist, und zwar mit dem Isomorphismus, der [mm] $\sigma Gal(L/L_i)$ [/mm] auf [mm] $\sigma|_{L_i}$ [/mm] abbildet.
Wenn du also alle [mm] $Gal_{f_i} [/mm] = [mm] Gal(L_i/\IQ)$ [/mm] kennst, dann kennst du eine Menge Quotienten von [mm] $Gal_f [/mm] = [mm] Gal(L/\IQ)$. [/mm] Es bleibt allerdings noch viel Arbeit uebrig, denn viel mehr weisst du auch wieder nicht...
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank, mir hilft deine Antwort sehr weiter!
Wie man dann genau auf [mm] D_8 [/mm] kommt habe ich dann jetzt verstanden und was man bzwgl. meiner letzten Frage über [mm] Gal_f [/mm] sagen kann, auch.
Ich hab noch letzte kleine Fragen:
Ist dann <(1 2 3 [mm] \cdots [/mm] p) > [mm] \cong \IZ/p\IZ [/mm] ?
Ah okay, dann ist das Thema Isomorphietypen von Gruppen zu bestimmen nochmal ein Thema für sich, womit ich mich dann nochmal ausführlicher beschäftigen muss.
Neben den Sylowsätzen und sich die Ordnung der Elemente anzuschauen habe ich noch als Werkzeug ein Kriterium, wann [mm] Gal_f \subseteq A_n [/mm] ist, genau dann wenn (für eine Körpererweiterung [mm] Z_f/K)die [/mm] Diskrimimante von f in K liegt . Ich weiss jetzt grad nicht wie kompliziert so symmetrische Polynome p sein können, also ob es da Sinn macht, [mm] Gal_p [/mm] zu bestimmen. Wenn ja, liegt [mm] Gal_p [/mm] dann automatisch in [mm] A_n?
[/mm]
Vielleicht haben wir sogar was dazu gemacht, wann [mm] Gal_f \cong S_n [/mm] bzw [mm] Gal_f \cong A_n [/mm] sein kann, da muss ich noch schauen.
Woher weiss ich denn, dass es bei dem Beispiel mit der kleinschen Vierergruppe und der zyklischen Gruppe mit 4 Elementen alle sind bis auf Isomorphie und es nicht noch eine weitere nichtisomorphe Gruppe zu denen gibt?
Ich fühle mich so unsicher wenn es um Galoisgruppenbestimmung geht, ich hoffe und glaube, dass sich es nach und nach zumindest etwas ändert.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Fr 25.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist dann <(1 2 3 [mm]\cdots[/mm] p) > [mm]\cong \IZ/p\IZ[/mm] ?
Wenn du mit [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] die additive zyklische Gruppe mit $p$ Elementen meinst, ja.
> Ah okay, dann ist das Thema Isomorphietypen von Gruppen zu
> bestimmen nochmal ein Thema für sich, womit ich mich dann
> nochmal ausführlicher beschäftigen muss.
> Neben den Sylowsätzen und sich die Ordnung der Elemente
> anzuschauen habe ich noch als Werkzeug ein Kriterium, wann
> [mm]Gal_f \subseteq A_n[/mm] ist, genau dann wenn (für eine
> Körpererweiterung [mm]Z_f/K)die[/mm] Diskrimimante von f in K liegt
Die Diskriminante eines Polynoms liegt doch immer im von dessen Koeffizienten erzeugtem Koerper? Oder was genau meinst du hier?
> . Ich weiss jetzt grad nicht wie kompliziert so
> symmetrische Polynome p sein können,
Ziemlich 
> also ob es da Sinn
> macht, [mm]Gal_p[/mm] zu bestimmen. Wenn ja, liegt [mm]Gal_p[/mm] dann
> automatisch in [mm]A_n?[/mm]
Hier ist die Frage: was meinst du mit symmetrischen Polynomen? Normalerweise schaut man sich dazu Polynome in mehreren Unbestimmten an. Und fuer solche gibt es keinen Zerfaellungskoerper und somit keine Galoisgruppe.
Man kann allerdings symmetrische Polynome verwenden, um einen Koerper zu konstruieren und ein Polynom darueber, welches Galoisgruppe [mm] $S_n$ [/mm] hat.
> Vielleicht haben wir sogar was dazu gemacht, wann [mm]Gal_f \cong S_n[/mm]
> bzw [mm]Gal_f \cong A_n[/mm] sein kann, da muss ich noch schauen.
>
> Woher weiss ich denn, dass es bei dem Beispiel mit der
> kleinschen Vierergruppe und der zyklischen Gruppe mit 4
> Elementen alle sind bis auf Isomorphie und es nicht noch
> eine weitere nichtisomorphe Gruppe zu denen gibt?
Da gibt's verschiedene Moeglichkeiten. Man kann es recht einfach ueber probieren machen, insb. wenn man weiss dass die Elementordnungen die Gruppenordnung teilt. Entweder gibt es ein Element der Ordnung 4 (in dem Fall ist die Gruppe zyklisch) oder nicht, dann haben alle Ordnung 2 (ausser das neutrale) und du hast die kleinsche Vierergruppe.
Alternativ kannst du auch die Saetze bequemen, die gleich sagen wie Gruppen der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] aussehen koennen (naemlich [mm] $\IZ/p\IZ \times \IZ/p\IZ$ [/mm] oder [mm] $\IZ/p^2\IZ$.)
[/mm]
> Ich fühle mich so unsicher wenn es um
> Galoisgruppenbestimmung geht, ich hoffe und glaube, dass
> sich es nach und nach zumindest etwas ändert.
Das ist ein recht schwieriges Thema :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 27.01.2013 | | Autor: | Schachtel5 |
Hi,
oh sry, ich meinte: Die Diskriminante eines Polynoms f D(f) ist ein Quadrat in K <=> [mm] Gal_f \subseteq A_n
[/mm]
Hab mich da etwas verheddert. Alles Andere ist mir jetzt auch klar, vielen Dank, für deine Hilfe!
Liebe Grüße
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