Verschiebung auf Lp < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mi 28.09.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen!
Es geht um dieses Problem:
Sei $\ [mm] (A(\delta)(g))(x) [/mm] := [mm] g(\delta [/mm] + x) $ wobei $\ [mm] \delta \ge [/mm] 0 $ und $\ g [mm] \in L^p(\IR) [/mm] $, wobei $\ p < [mm] \infty$.
[/mm]
Stimmt meine Überlegung:
$\ [mm] A(\delta) [/mm] $ ist eine Kontratkion, denn:
$\ [mm] \parallel A(\delta)(g)-A(\delta)(f) \parallel_{p} [/mm] = [mm] \integral{|f(\delta+x)-g(\delta+x)|^p dx} [/mm] = [mm] \integral{|f(x)-g(x)|^p dx} =\parallel [/mm] f-g [mm] \parallel_p [/mm] $
das bedeutet doch, dass $\ [mm] \parallel A(\delta) \parallel [/mm] = 1 $. Also eine Kontraktion?
Eine Anschlussfrage. Wenn $\ g $ eine stetige Funktion mit kompaktem Träger ist (daher gleichmässig stetig), wieso folgt:
$\ [mm] \parallel A(\delta)(g) [/mm] -g [mm] \parallel_\infty \to [/mm] 0 $ für $\ [mm] \delta \to [/mm] 0 $ dann folgt $\ [mm] \parallel A(\delta)(g) [/mm] -g [mm] \parallel_p \to [/mm] 0 $ für $\ [mm] \delta \to [/mm] 0$, wobei die $\ [mm] \infty [/mm] $ norm die übliche Supremumsnorm ist.
greetz
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen!
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> Es geht um dieses Problem:
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> Sei [mm]\ (A(\delta)(g))(x) := g(\delta + x)[/mm] wobei [mm]\ \delta \ge 0[/mm]
> und [mm]\ g \in L^p(\IR) [/mm], wobei [mm]\ p < \infty[/mm].
>
> Stimmt meine Überlegung:
>
> [mm]\ A(\delta)[/mm] ist eine Kontratkion, denn:
>
> [mm]\ \parallel A(\delta)(g)-A(\delta)(f) \parallel_{p} = \integral{|f(\delta+x)-g(\delta+x)|^p dx} = \integral{|f(x)-g(x)|^p dx} =\parallel f-g \parallel_p[/mm]
>
> das bedeutet doch, dass [mm]\ \parallel A(\delta) \parallel = 1 [/mm].
Das stimmt.
> Also eine Kontraktion?
Nein. Eine Kontraktion ist das nicht, denn dann müßte es ein c [mm] \in [/mm] [0,1) geben mit:
[mm]\ \parallel A(\delta)(g)-A(\delta)(f) \parallel_{p} \le c\parallel f-g \parallel_p[/mm] für alle $ f, g [mm] \in L^p(\IR) [/mm] $.
> Eine Anschlussfrage. Wenn [mm]\ g[/mm] eine stetige Funktion mit
> kompaktem Träger ist (daher gleichmässig stetig), wieso
> folgt:
>
> [mm]\ \parallel A(\delta)(g) -g \parallel_\infty \to 0[/mm] für [mm]\ \delta \to 0[/mm]
> dann folgt [mm]\ \parallel A(\delta)(g) -g \parallel_p \to 0[/mm]
> für [mm]\ \delta \to 0[/mm], wobei die [mm]\ \infty[/mm] norm die übliche
> Supremumsnorm ist.
Sei $ \ f $ eine stetige Funktion mit kompaktem Träger, also gibt es eine Kompakte Teilmenge K von [mm] \IR [/mm] mit
f=0 auf [mm] \IR \setminus [/mm] K.
Dann:
$ [mm] ||f||_p^p= \integral_{K}^{}{|f(x)|^p dx} \le \integral_{K}^{}{||f||_{\infty}^p dx}= \lambda(K)*||f||_{\infty}^p [/mm] $.
Somit:
[mm] $||f||_p \le (\lambda(K))^{1/p}*||f||_{\infty}$
[/mm]
FRED
>
> greetz
>
> hula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Fr 30.09.2011 | | Autor: | hula |
Morgen
Ich habe noch eine Teilaufgabe b)
Wenn nun
$\ [mm] (A(\delta)(g))(x):=\begin{cases} 2 g(x +\delta), & x \in [-\delta,0] \\ g(x+\delta), & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
Man ist wieder in $\ [mm] L^p(\IR) [/mm] $
Die Behauptung ist, dass $\ [mm] \parallel A(\delta) \parallel [/mm] =2 $ ist.
Wir haben Tipps bekommen und ich hab das wie folgt ergänzt: Als erstes kann ich alle Funktionen aus $\ g [mm] \in L^p(\IR) [/mm] $ schreiben als:
$\ g= g^+ -g^- $ wie üblich in der Masstheorie.
Man stellt fest, dass für $\ [mm] g=1_{[0,\delta]}, [/mm] x>0$ (charakteristische Funktion), erhält:
$\ [mm] \parallel (A(\delta)(g))(\delta) \parallel [/mm] = 2 [mm] \parallel 1_{[0,\delta]}\parallel$
[/mm]
Das folgt einfach daraus, dass
$\ [mm] (A(\delta)(g))(s)=\begin{cases} 2 \cdot \I1_{[0,t]}(\delta+s), & s \in [-\delta,0] \\ g(s+\delta), & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
im ersten Fall: $\ [mm] s\in [-\delta,0] \Rightarrow s+\delta \in [0,\delta]$ [/mm] Das heisst, dort ist die Funktion ja $\ = 1$ und im zweiten Fall 0.
Nun weiss ich nicht, wieso daraus folgt, dass die Norm wirklich 2 ist? Hat das mit Dichtheit etwas zu tun?
greetz
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Fr 30.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Zunächst ist
[mm] $||A(\delta)(g)||_p \le 2*||g||_p$ [/mm] für alle $g [mm] \in L^p(\IR)$
[/mm]
Damit ist [mm] $||A(\delta)|| \le [/mm] 2$. Definiere nun [mm] g_0 [/mm] durch
[mm] g_0(x) [/mm] = 1 für x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \delta] [/mm] und [mm] g_0(x):= [/mm] 0 sonst.
Dann ist
[mm] $||A(\delta)(g_0)||_p [/mm] = [mm] 2*||g_0||_p$.
[/mm]
FRED
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