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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für [mm] D_4. [/mm] |
Hallo Leute,
ich möchte die Verknüpfungstafel für die Diedergruppe [mm] D_4 [/mm] erstellen.
[mm] D_4=(e, [/mm] d, [mm] d^2, d^3, [/mm] s, sd, [mm] sd^2, sd^3)
[/mm]
Ich teile das einfach mal auf in Drehungen und Spiegelungen, erstmal die Drehungen (e lasse ich mal aus, das ist klar):
[mm] \begin{pmatrix}
- & d & d^2 & d^3\\
d & d^2 & d^3 & e \\
d^2 & d^3 & e & d\\
d^3 & e & d & d^2
\end{pmatrix}
[/mm]
Stimmt das soweit?
Und jetzt mal zu den Spiegelungen
[mm] \begin{pmatrix}
- & s & sd & sd^2 & sd^3\\
s & e & d & d^2 & d^3 \\
sd & d^{-1} & e & d & d^2\\
sd^2 & ? & ? & ? & ?\\
sd^3 & ? & ? & ? & ?
\end{pmatrix}
[/mm]
Stimmt das eingetragene soweit?
Bei den Fragezeichen bin ich etwas verwirrt, bei uns steht [mm] sds=d^{-1}, [/mm] aber wie bekomme ich z.B. $sd^2s=sdds$ heraus?
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> Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für [mm]D_4.[/mm]
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> Hallo Leute,
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> ich möchte die Verknüpfungstafel für die Diedergruppe
> [mm]D_4[/mm] erstellen.
>
> [mm]D_4=(e,[/mm] d, [mm]d^2, d^3,[/mm] s, sd, [mm]sd^2, sd^3)[/mm]
>
> Ich teile das einfach mal auf in Drehungen und
> Spiegelungen, erstmal die Drehungen (e lasse ich mal aus,
> das ist klar):
>
> [mm]\begin{pmatrix}
- & d & d^2 & d^3\\
d & d^2 & d^3 & e \\
d^2 & d^3 & e & d\\
d^3 & e & d & d^2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja.
> Und jetzt mal zu den Spiegelungen
>
> [mm]\begin{pmatrix}
- & s & sd & sd^2 & sd^3\\
s & e & d & d^2 & d^3 \\
sd & d^{-1} & e & d & d^2\\
sd^2 & ? & ? & ? & ?\\
sd^3 & ? & ? & ? & ?
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Stimmt das eingetragene soweit?
Zur Kontrolle könntest du die Website nutzen, welche
solche Gruppentafeln auf wenige Mausklicks hin
liefert: ![[]](/images/popup.gif) Group Tables
Natürlich könntest (solltest?) du anstatt [mm] d^{-1} [/mm] auch [mm] d^3 [/mm] schreiben.
> Bei den Fragezeichen bin ich etwas verwirrt, bei uns steht
> [mm]sds=d^{-1},[/mm] aber wie bekomme ich z.B. [mm]sd^2s=sdds[/mm] heraus?
Die Spiegelung s hat (wenn ich mich da nicht geirrt
habe) die Eigenschaft, dass sie mit jedem Gruppen-
element s kommutiert, d.h. es gilt
$\ [mm] s\circ{x}\ [/mm] =\ [mm] x\circ{s}$
[/mm]
für jedes [mm] x\in D_4 [/mm] .
Daraus folgt z.B., dass [mm] sdds=s*(dd*s)=s*(s*dd)=(ss*dd)=e*dd=d^2 [/mm]
Sorry, es scheint, dass ich mich da geirrt habe.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Dann weiß ich Bescheid, danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Demnach wäre auch:
[mm] sd^2=sdd=sds=d^{-1}=d^3 [/mm] oder?
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Hallo AntonK,
> Demnach wäre auch:
>
> [mm]sd^2=sdd=sds=d^{-1}=d^3[/mm] oder?
Ich kapiere gar nicht so recht, was du da überhaupt machst.
Vllt. habe ich das falsch gelesen oder mir fehlt eine Information ... ?
Ich meine, dass die Diedergruppe [mm]D_4[/mm] doch aus 4 Drehungen (um [mm]90^{\circ}=d_1, 180^{\circ}=d_2, 270^{\circ}=d_3[/mm] und [mm]360^{\circ}=e[/mm] und 4 Geradenspiegelungen [mm]s_1,s_2,s_3,s_4[/mm] besteht.
Also [mm]D_4=\{e,d_1,d_2,d_3,s_1,s_2,s_3,s_4\}[/mm]
Was willst du mit [mm]sd^2[/mm] berechnen?
Welche Drehung und welche Spiegelung sind gemeint?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
So wurde das ganze bei uns definiert, sd ist eine Spieldrehung, ich spiegel erst und drehe dann.
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Hallo nochmal,
> So wurde das ganze bei uns definiert, sd ist eine
> Spieldrehung,
Nett gesagt!
> ich spiegel erst und drehe dann.
Ohne Bezugsgerade, an der du spiegelst und ohne Winkel, um den du drehst, ist das doch recht sinnfrei ...
So ganz allg. ist [mm]s\circ d^2\neq d^3[/mm]
Setze das mal in Bezug zu der [mm]D_4[/mm].
Mache dir (noch) mal ganz klar, welche Elemente die [mm]D_4[/mm] enthält.
Da steht in deiner ganz oben stehenden Version m.E. ziemlicher Kokolores ...
Gruß
schachuzipus
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> Demnach wäre auch:
>
> [mm]sd^2=sdd=sds=d^{-1}=d^3[/mm] oder?
Ich finde auch, dass du noch klar stellen solltest,
welche Spiegelung du mit s genau meinst.
In deiner obigen Gleichungskette verstehe ich nicht,
wie du auf sdd=sds und auf [mm] sds=d^{-1} [/mm] kommen
willst.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
[mm] sds=d^{-1} [/mm] wurde bei uns im Skript zu definiert, dass dies allgemein gilt für alle n.
sdd=(sd)s=sds habe ich mir zusammen gebastelt, weil du ja meintest Spiegelungen seien kommutativ.
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Hallo nochmal,
> [mm]sds=d^{-1}[/mm] wurde bei uns im Skript zu definiert, dass dies
> allgemein gilt für alle n.
>
> sdd=(sd)s=sds habe ich mir zusammen gebastelt, weil du ja
> meintest Spiegelungen seien kommutativ.
Wie bastelst du denn das rote s da herein?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich habe keine Ahnung, wie ich auf den Blödsinn komme, habe wohl zu hudelig gearbeitet, sorry, das ist natürlich Schwachsinn, mittlerweile hat sich das ganze aber geklärt, denn:
sdd=dsd=s
Laut unserem Skript, ich denke ich weiß nun Bescheid, sorry für die Aufregung und danke euch!
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> Die Spiegelung s hat (wenn ich mich da nicht geirrt
> habe) die Eigenschaft, dass sie mit jedem Gruppen-
> element s kommutiert, d.h. es gilt
>
> [mm]\ s\circ{x}\ =\ x\circ{s}[/mm]
>
> für jedes [mm]x\in D_4[/mm] .
> Daraus folgt z.B., dass
> [mm]sdds=s*(dd*s)=s*(s*dd)=(ss*dd)=e*dd=d^2[/mm]
>
> Sorry, es scheint, dass ich mich da geirrt habe.
Hallo,
mir ist nun noch klar geworden, worin ich mich geirrt
habe, nämlich im Begriff "Diedergruppe". Bei der Spie-
gelung s dachte ich nämlich an eine "Spiegelung eines
Quadrates an seiner eigenen Ebene" - wobei aber jeweils
erkennbar bleiben sollte, ob man nun das Quadrat von
seiner "Front-" oder von seiner "Rück"seite sieht.
Auf diese Weise erzeugen eine Elementardrehung d
(90°-Drehung des Quadrates um die zur Quadratebene
senkrecht stehende Achse durch seinen Mittelpunkt)
und diese Spiegelung s nicht die Diedergruppe [mm] D_4,
[/mm]
sondern die Gruppe [mm] \IZ_4\times\IZ_2 [/mm] .
In dieser Gruppe [mm] \IZ_4\times\IZ_2 [/mm] gilt natürlich die oben
angegebene Kommutativitätseigenschaft.
LG Al-Chw.
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