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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge K= {a,b} mit den in den Verknüpfungstabellen dargestellten Verknüpfungen +,* einen Körper bilden.
Verknüpfungstabelle:
1)
a+a=a
a+b=b
b+a=b
b+b=a
2)
a*a=a
a*b=a
b*a=a
b*b=b |
Meine Lösung:
Für einen Körper müssen folgende Eigenschaften gelten:
K1: (k,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 [mm] \in [/mm] K
K2: (k \ {0}, *) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 [mm] \in [/mm] K
K3: Es gelten die Distributivgesetze
a*(b+c) = a*b + a*c
(a+b)*c = a*c + b*c
abelsche Gruppe:
1. Assoziativgesetz muss gelten
2.neutrales Element muss existieren
3. inverses Element muss existieren
4. Kommutativgesetz muss gelten
zu K1) 4.)
kommutativ, da man die Faktoren beliebig vertauschen kann ( siehe Verknüpfungstabelle)
Z.B. a+b=b
b+a=b
zu K1) 2.)
neutrales Element ist e=a, da a+a=a und b+a=b und a+b=b
Frage: wieso schreibe ich jetzt, dass dieses neutrale Element 0 ist? Weil es sich um die Verknüpfung + handelt? Wie schreibe ich das auf?
zu K1) 3.)
zu a ist a inverses Element
zu b ist b inverses Element ( siehe Verknüpfungstabelle)
zu K1) 1.)
assoziativ ( siehe Tabelle) da zb
(b+a)+b =b+(a+b)
b+b = b+b
a = a
zu K2) 1.)
assoziativ (siehe tabelle) da zb
(a*b)*a = a*(b*a)
a*a = a*a
a = a
zu K2) 4.)
die Multiplikation lässt es zu die Faktoren beliebig zu vertauschen ( siehe Tabelle)
a*b=a
b*a= a
zu K2) 2.)
neutrales Element ist e=b
Frage: wieso schreibe ich jetzt, dass dieses neutrale Element 1 ist? Weil es sich um die Verknüpfung * handelt? Wie schreibe ich das auf?
zu K2) 3.)
zu b ist b inverses Element
zu a gibt es kein inverses Element ( stimmt das?)
zu K3)
Wie kann ich das jetzt machen? Ich habe ja gar kein c? Bzw in der einen Tabelle nur + und in der anderen *
Ist meine Lösung sonst so richtig?
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Hallo Lisa-19,
> Zeigen Sie, dass die Menge K= {a,b} mit den in den
> Verknüpfungstabellen dargestellten Verknüpfungen +,* einen
> Körper bilden.
>
> Verknüpfungstabelle:
> 1)
> a+a=a
> a+b=b
> b+a=b
> b+b=a
>
> 2)
> a*a=a
> a*b=a
> b*a=a
> b*b=b
> Meine Lösung:
> Für einen Körper müssen folgende Eigenschaften gelten:
> K1: (k,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0
> [mm]\in[/mm] K ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> K2: (k \ {0}, *) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem
> Element 1 [mm]\in[/mm] K
> K3: Es gelten die Distributivgesetze
> a*(b+c) = a*b + a*c
> (a+b)*c = a*c + b*c
>
>
> abelsche Gruppe:
> 1. Assoziativgesetz muss gelten
> 2.neutrales Element muss existieren
> 3. inverses Element muss existieren
> 4. Kommutativgesetz muss gelten
>
> zu K1) 4.)
> kommutativ, da man die Faktoren beliebig vertauschen kann
> ( siehe Verknüpfungstabelle)
> Z.B. a+b=b
> b+a=b
Damit hast du alle Möglichkeiten durchgetestet, und es passt - fertig
> zu K1) 2.)
> neutrales Element ist e=a, da a+a=a und b+a=b und a+b=b
>
> Frage: wieso schreibe ich jetzt, dass dieses neutrale
> Element 0 ist? Weil es sich um die Verknüpfung + handelt?
Ja, das hast du doch oben in deiner Definition von einem Körper auch schon geschrieben. Üblicherweise bezeichnet man das neutrale additive Element mit 0, das entspricht hier bei deiner Menge [mm] $K=\{a,b\}$ [/mm] dem Element a, wie du richtig erkannt hast
> Wie schreibe ich das auf?
Das ist ok so 
>
> zu K1) 3.)
> zu a ist a inverses Element
> zu b ist b inverses Element ( siehe Verknüpfungstabelle)
>
> zu K1) 1.)
> assoziativ ( siehe Tabelle) da zb
> (b+a)+b =b+(a+b)
> b+b = b+b
> a = a
Hier musst du wohl alle Fälle abklappern, ich denke hier reicht der Verweis auf die Tabelle nicht ganz, aber es sind ja auch nicht so viele Fälle ...
>
> zu K2) 1.)
> assoziativ (siehe tabelle) da zb
> (a*b)*a = a*(b*a)
> a*a = a*a
> a = a
Du musst doch lediglich zeigen, dass [mm] $K\setminus\{a\}=\{b\}$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist
Du nimmst das neutrale Element bzgl. + raus, das ist a, da bleibt in deiner Menge K nur noch das b
> zu K2) 4.)
> die Multiplikation lässt es zu die Faktoren beliebig zu
> vertauschen ( siehe Tabelle)
> a*b=a
> b*a= a
>
> zu K2) 2.)
> neutrales Element ist e=b
>
> Frage: wieso schreibe ich jetzt, dass dieses neutrale
> Element 1 ist? Weil es sich um die Verknüpfung * handelt?
> Wie schreibe ich das auf?
Gleicher Kommentar wie oben, das multiplikative neutr. Element bezeichnet man üblicherweise mit 1, das ist ja nicht in deiner Menge K drin, aber das Element b entspricht genau der "üblichen" 1
>
>
> zu K2) 3.)
> zu b ist b inverses Element
> zu a gibt es kein inverses Element ( stimmt das?)
Natürlich, es ist ja das neutrale Element bzgl. +, und es ist nur gefordert, dass die Elemente [mm] $\in K\setminus\{a\}=\{b\}$ [/mm] invertierbar sind, siehe deine Definition
>
> zu K3)
> Wie kann ich das jetzt machen? Ich habe ja gar kein c? Bzw
> in der einen Tabelle nur + und in der anderen *
Es reicht wegen der gültigen Kommutativität, eines der Distributivgesetze zu zeigen
Na, das c in deiner Notation ist doch entweder a oder b, mehr Elemente hast du ja nicht
>
> Ist meine Lösung sonst so richtig?
Ja, im großen und ganzen
Bis auf die Bezeichnungen der Elemente ist also dein Körper [mm] $K=\{a,b\}$ [/mm] mit den Verknüpfungen, wie sie oben def. sind genau wie der Körper [mm] $(k=\{0,1\},+,\cdot{})$
[/mm]
Dem "Nullelement" (= neutr. Element bzgl. der additiven Verknüpfung) entspricht dein a, dem "Einselement" (= neutr. Element bzgl. der multiplikativen Verknüpfung) entspricht dein b
Man sagt, dass die beiden Körper $K$ und $k$ isomorph sind
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:51 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Lisa-19 |
Erstmal: Vielen Dank!! :)
Eine Frage habe ich noch zu K2) 1.) und K3)
zu K2)1.)
Kann ich das dann so schreiben?
Das neutrale Element bzgl. der multiplikation ( also a) kann rausgenommen werden; in der Menge K bleibt also nur noch das Element b
Deshalb ist es assoziativ, denn
(b*b)*b = b*(b*b)
b=b
zu K3)
1. a*(b+c)= ab+ac
a*(b+b)= ab+ab
a=a
a*(b+a)= ab+aa
a=a
b* (b+b) = bb+bb
a=a
a*(a+a)= aa+aa
a=a
b*(a+b) = ba+bb
b=b
b*(a+a) = ba+ba
a=a
2. (a+b)*c = ac + bc gilt ebenfalls wegen dem Kommutativgesetz
Ist K3) so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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