Verknüpfung von Homomorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Seien V,W [mm] \IR- [/mm] Vektorräume. Zeigen sie, dass für [mm] \Phi [/mm] , [mm] \Psi \in [/mm] Hom(V,W), [mm] \lambda \iun \IR [/mm] durch
( [mm] \Phi [/mm] + [mm] \Psi)v= \Phi(v) +\Psi(v)
[/mm]
[mm] (\lambda\Phi)v=\lambda\Phi(v) [/mm] für v [mm] \in [/mm] V
Verknüpfungen definiert werden und Hom(V,W) mit diesen Verknüpfungen ein [mm] \IR- [/mm] Vektorraum ist. |
Guten Abend,
erstmal wollte ich klären ob ich den Bergiff Homomorphismus richtig verstanden habe.
Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen 2 Strukturen (A,*), (B, [mm] \circ) [/mm] (z.B. Ring, Körper, Gruppe) für die gilt
f(a * b) = f(a) [mm] \circ [/mm] f(b).
Bei Ring- und Körperhomorphismen gilt aber f(a+b)=f(a)+f(b) und f(a*b)=f(a)*f(b) und nicht wie oben z.B. f(a+b)=f(a)*f(b).
Warum ist das in den 2 Fällen so? Hoffe ihr versteht was ich meine.
Ist das weil Ringe und Körper je zwei Verknüpfungen (+,*) beinhalten und Gruppen nur eine?
Und ist ein Homomorphismus das Gleiche wie eine lineare Abbildung?
Nun zur Aufgabe. Mir ist nicht ganz klar was ich machen soll.
Meine Überlegung wäre, dass ich erstmal zeigen muss, dass die beien Verknüpfungen wieder eine lin. Abb. sind bzw. [mm] \in [/mm] Hom (V,W) sind.
Die beiden definierten Verknüpfungen aus der Aufgabe sind ja genau das Kriterium einer linearen Abbildung. Und da lineare Abbildungen ein Homomorphismus sind, sind diese Verknüpfungen [mm] \in [/mm] Hom(V,W).
Sofern meine Vorstellung des Homomorphismus halbwegs ok sind, wäre das meine Überlegung.
Dann muss ich zeigen, dass diese Verknüpfungen ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] sind.
Dazu müssen doch die folgenden 8 Bedingungen erfüllt sein:
Addition:
(1) x+y=y+x
(2) x+(y+z)=(x+y)+z
(3) es gibt genau ein 0, sodass x+0=x
(4) es gibt genau ein -x, sodass x+(-x)=0
Multiplikation:
(5) [mm] (\lambda+\mu)x=\lambda*x+\mu*x
[/mm]
(6) [mm] \lambda(x+y) =\lambda*x +\lambda*y
[/mm]
(7) [mm] (\lambda*\mu)*x =\lambda*(\mu*x)
[/mm]
(8) 1*x=x
Bei (1) würde man jetzt schreiben:
( [mm] \Phi [/mm] + [mm] \Psi)(x+y)= \Phi(x+y) \Psi(x+y)
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo Sup,
> Seien V,W [mm]\IR-[/mm] Vektorräume. Zeigen sie, dass für [mm]\Phi[/mm] ,
> [mm]\Psi \in[/mm] Hom(V,W), [mm]\lambda \iun \IR[/mm] durch
> ( [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Psi)v= \Phi(v) +\Psi(v)[/mm]
>
> [mm](\lambda\Phi)v=\lambda\Phi(v)[/mm] für v [mm]\in[/mm] V
> Verknüpfungen definiert werden und Hom(V,W) mit diesen
> Verknüpfungen ein [mm]\IR-[/mm] Vektorraum ist.
> Guten Abend,
>
> erstmal wollte ich klären ob ich den Bergiff
> Homomorphismus richtig verstanden habe.
> Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen 2
> Strukturen (A,*), (B, [mm]\circ)[/mm] (z.B. Ring, Körper, Gruppe)
> für die gilt
> f(a * b) = f(a) [mm]\circ[/mm] f(b). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei Ring- und Körperhomorphismen gilt aber
> f(a+b)=f(a)+f(b) und f(a*b)=f(a)*f(b) und nicht wie oben
> z.B. f(a+b)=f(a)*f(b).
> Warum ist das in den 2 Fällen so? Hoffe ihr versteht was
> ich meine.
> Ist das weil Ringe und Körper je zwei Verknüpfungen
> (+,*) beinhalten und Gruppen nur eine?
Jo, ein Homomorphismus erhält die Strukturen und in Ringen und Körpern gibt's halt 2 Verknüpfungen.
> Und ist ein Homomorphismus das Gleiche wie eine lineare
> Abbildung?
Ja!
>
> Nun zur Aufgabe. Mir ist nicht ganz klar was ich machen
> soll.
> Meine Überlegung wäre, dass ich erstmal zeigen muss,
> dass die beien Verknüpfungen wieder eine lin. Abb. sind
> bzw. [mm]\in[/mm] Hom (V,W) sind.
Genau! Und bildet die Summe zweier Homomorphismen von V nach W auch wieder von V nach W ab?
Ebenso skalare Vielfache eines Homom.?
>
> Die beiden definierten Verknüpfungen aus der Aufgabe sind
> ja genau das Kriterium einer linearen Abbildung. Und da
> lineare Abbildungen ein Homomorphismus sind, sind diese
> Verknüpfungen [mm]\in[/mm] Hom(V,W).
> Sofern meine Vorstellung des Homomorphismus halbwegs ok
> sind, wäre das meine Überlegung.
>
> Dann muss ich zeigen, dass diese Verknüpfungen ein
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] sind.
> Dazu müssen doch die folgenden 8 Bedingungen erfüllt
> sein:
> Addition:
> (1) x+y=y+x
> (2) x+(y+z)=(x+y)+z
> (3) es gibt genau ein 0, sodass x+0=x
> (4) es gibt genau ein -x, sodass x+(-x)=0
>
> Multiplikation:
> (5) [mm](\lambda+\mu)x=\lambda*x+\mu*x[/mm]
> (6) [mm]\lambda(x+y) =\lambda*x +\lambda*y[/mm]
> (7)
> [mm](\lambda*\mu)*x =\lambda*(\mu*x)[/mm]
> (8) 1*x=x
Puh, machs kürzer.
Die Menge aller Abbildungen von V nach W bildet einen [mm]\IR[/mm]-VR, das habt ihr sicher gezeigt.
Zeige, dass [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] mit den Verknüfungen oben ein Untervektorraum ist, da sind ja nur 3 Punkte zu zeigen.
Und da ist nach dem oben Gesagten eigentlich kaum noch etwas zu tun ...
>
> Bei (1) würde man jetzt schreiben:
> ( [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Psi)(x+y)= \Phi(x+y) \Psi(x+y)[/mm]
Nein, deine Vektoren sind doch hier Homomorphismen, du musst zeigen [mm]\varphi,\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)\Rightarrow \varphi+\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)[/mm]
Zwei Abbildungen sind gleich, wenn sie für jedes Argument denselben Funktionswert leifern.
Gehe also auf die Def. zurück. Wie gesagt, m.E. ist nur zu zeigen, dass [mm]\varphi+\psi[/mm] und [mm]\lambda\varphi[/mm] auch wirklich von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > Nun zur Aufgabe. Mir ist nicht ganz klar was ich machen
> > soll.
> > Meine Überlegung wäre, dass ich erstmal zeigen muss,
> > dass die beien Verknüpfungen wieder eine lin. Abb. sind
> > bzw. [mm]\in[/mm] Hom (V,W) sind.
>
> Genau! Und bildet die Summe zweier Homomorphismen von V
> nach W auch wieder von V nach W ab?
>
> Ebenso skalare Vielfache eines Homom.?
>
Tun sie beide. Das beschreiben doch gerade die beiden Verknüpfungen aus der Aufgabe, oder nicht?
>
> >
> > Die beiden definierten Verknüpfungen aus der Aufgabe sind
> > ja genau das Kriterium einer linearen Abbildung. Und da
> > lineare Abbildungen ein Homomorphismus sind, sind diese
> > Verknüpfungen [mm]\in[/mm] Hom(V,W).
War das hier denn richtig?
> > Sofern meine Vorstellung des Homomorphismus halbwegs ok
> > sind, wäre das meine Überlegung.
> >
> > Dann muss ich zeigen, dass diese Verknüpfungen ein
> > [mm]\IR-Vektorraum[/mm] sind.
> > Dazu müssen doch die folgenden 8 Bedingungen erfüllt
> > sein:
> > Addition:
> > (1) x+y=y+x
> > (2) x+(y+z)=(x+y)+z
> > (3) es gibt genau ein 0, sodass x+0=x
> > (4) es gibt genau ein -x, sodass x+(-x)=0
> >
> > Multiplikation:
> > (5) [mm](\lambda+\mu)x=\lambda*x+\mu*x[/mm]
> > (6) [mm]\lambda(x+y) =\lambda*x +\lambda*y[/mm]
> > (7)
> > [mm](\lambda*\mu)*x =\lambda*(\mu*x)[/mm]
> > (8) 1*x=x
>
> Puh, machs kürzer.
>
> Die Menge aller Abbildungen von V nach W bildet einen
> [mm]\IR[/mm]-VR, das habt ihr sicher gezeigt.
Ich soll doch hier genau das zeigen?
Im Skript steht nur:
Es ergibt sich sofort, dass [mm] \Phi+ \Psi [/mm] bzw. [mm] \lambda\Phi [/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so definierten Verknüpfungen ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist.
Ein Beiweis finde ich nicht und im Moment ergibt sich das für mich nicht "sofort" 
> Zeige, dass [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] mit den Verknüfungen
> oben ein Untervektorraum ist, da sind ja nur 3 Punkte zu
> zeigen.
Du meinst jetzt, wenn ich obigen Beiweis hätte, weiß ich, dass die Menge aller Abb. ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist. Wenn ich jetzt zeige, dass Hom(V,W) mit den Verknüpfungen ein Untervektorraum davon ist, schließt das automatisch mit ein, dass dieser UVR auch ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist.
Für einen UVR muss gelten, dass aus x,y [mm] \in [/mm] U, s,t [mm] \in \IR [/mm] die Eigenschaft sx+ty [mm] \in [/mm] U folgt. Das besagen ja die beiden Verknüpfungen.
Also muss ich nocht zeigen, dass U [mm] \not=\emptyset [/mm] ist.
Da Hom(V,W) eine lin. Abbildung ist, wird der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet und damit ist U nicht leer.
>
> Und da ist nach dem oben Gesagten eigentlich kaum noch
> etwas zu tun ...
>
> >
> > Bei (1) würde man jetzt schreiben:
> > ( [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Psi)(x+y)= \Phi(x+y) \Psi(x+y)[/mm]
>
> Nein, deine Vektoren sind doch hier Homomorphismen, du
> musst zeigen
> [mm]\varphi,\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)\Rightarrow \varphi+\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)[/mm]
>
> Zwei Abbildungen sind gleich, wenn sie für jedes Argument
> denselben Funktionswert leifern.
>
> Gehe also auf die Def. zurück. Wie gesagt, m.E. ist nur zu
> zeigen, dass [mm]\varphi+\psi[/mm] und [mm]\lambda\varphi[/mm] auch wirklich
> von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden ...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > > Nun zur Aufgabe. Mir ist nicht ganz klar was ich machen
> > > soll.
> > > Meine Überlegung wäre, dass ich erstmal zeigen
> muss,
> > > dass die beien Verknüpfungen wieder eine lin. Abb. sind
> > > bzw. [mm]\in[/mm] Hom (V,W) sind.
> >
> > Genau! Und bildet die Summe zweier Homomorphismen von V
> > nach W auch wieder von V nach W ab?
> >
> > Ebenso skalare Vielfache eines Homom.?
> >
> Tun sie beide. Das beschreiben doch gerade die beiden
> Verknüpfungen aus der Aufgabe, oder nicht?
Die Definition der Verknüpfung, die ja elementweise definiert ist, macht direkt klar, dass die Abbildungen [mm] $\varphi+\psi$ [/mm] und [mm] $\lambda\varphi$ [/mm] Homomorphismen sind.
Das regelt die Definition der Verknüpfungen direkt
>
> >
> > >
> > > Die beiden definierten Verknüpfungen aus der Aufgabe sind
> > > ja genau das Kriterium einer linearen Abbildung. Und da
> > > lineare Abbildungen ein Homomorphismus sind, sind diese
> > > Verknüpfungen [mm]\in[/mm] Hom(V,W).
>
> War das hier denn richtig?
Das ist der einzige Punkt, den man etwas begründen könnte:
Ich meine, du stopfst sowohl in [mm] $\varphi+\psi$ [/mm] als auch in [mm] $\lambda\varphi$ [/mm] als Argumente Vektoren aus $V$ rein, also bilden beide von $V$ an.
Weiter sind [mm] $\varphi(v)$ [/mm] und [mm] $\psi(v)$ [/mm] beide in W und da W ein VR ist auch die Summe.
Ähnlich für [mm] $\lambda\varphi$
[/mm]
Das sind also Homomorhismen von V nach W
>
> > > Sofern meine Vorstellung des Homomorphismus halbwegs ok
> > > sind, wäre das meine Überlegung.
> > >
> > > Dann muss ich zeigen, dass diese Verknüpfungen ein
> > > [mm]\IR-Vektorraum[/mm] sind.
> > > Dazu müssen doch die folgenden 8 Bedingungen
> erfüllt
> > > sein:
> > > Addition:
> > > (1) x+y=y+x
> > > (2) x+(y+z)=(x+y)+z
> > > (3) es gibt genau ein 0, sodass x+0=x
> > > (4) es gibt genau ein -x, sodass x+(-x)=0
> > >
> > > Multiplikation:
> > > (5) [mm](\lambda+\mu)x=\lambda*x+\mu*x[/mm]
> > > (6) [mm]\lambda(x+y) =\lambda*x +\lambda*y[/mm]
> > > (7)
> > > [mm](\lambda*\mu)*x =\lambda*(\mu*x)[/mm]
> > > (8) 1*x=x
> >
> > Puh, machs kürzer.
> >
> > Die Menge aller Abbildungen von V nach W bildet einen
> > [mm]\IR[/mm]-VR, das habt ihr sicher gezeigt.
> Ich soll doch hier genau das zeigen?
>
> Im Skript steht nur:
> Es ergibt sich sofort, dass [mm]\Phi+ \Psi[/mm] bzw.
> [mm]\lambda\Phi[/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so
> definierten Verknüpfungen ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
Ja, so ist es
> Ein Beiweis finde ich nicht und im Moment ergibt sich das
> für mich nicht "sofort"
Alles, was es zu "zeigen" gibt, ist gesagt, das meiste selbstredend aufgrund der Def. der Verknüpfungen
>
> > Zeige, dass [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] mit den Verknüfungen
> > oben ein Untervektorraum ist, da sind ja nur 3 Punkte zu
> > zeigen.
> Du meinst jetzt, wenn ich obigen Beiweis hätte, weiß
> ich, dass die Menge aller Abb. ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist. Wenn
> ich jetzt zeige, dass Hom(V,W) mit den Verknüpfungen ein
> Untervektorraum davon ist, schließt das automatisch mit
> ein, dass dieser UVR auch ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
>
> Für einen UVR muss gelten, dass aus x,y [mm]\in[/mm] U, s,t [mm]\in \IR[/mm]
> die Eigenschaft sx+ty [mm]\in[/mm] U folgt. Das besagen ja die
> beiden Verknüpfungen.
> Also muss ich nocht zeigen, dass U [mm]\not=\emptyset[/mm] ist.
> Da Hom(V,W) eine lin. Abbildung ist, wird der Nullvektor
> auf den Nullvektor abgebildet und damit ist U nicht leer.
> >
> > Und da ist nach dem oben Gesagten eigentlich kaum noch
> > etwas zu tun ...
> >
> > >
> > > Bei (1) würde man jetzt schreiben:
> > > ( [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Psi)(x+y)= \Phi(x+y) \Psi(x+y)[/mm]
> >
> > Nein, deine Vektoren sind doch hier Homomorphismen, du
> > musst zeigen
> > [mm]\varphi,\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)\Rightarrow \varphi+\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)[/mm]
>
> >
> > Zwei Abbildungen sind gleich, wenn sie für jedes Argument
> > denselben Funktionswert leifern.
> >
> > Gehe also auf die Def. zurück. Wie gesagt, m.E. ist nur zu
> > zeigen, dass [mm]\varphi+\psi[/mm] und [mm]\lambda\varphi[/mm] auch wirklich
> > von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden ...
> >
> >
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > Im Skript steht nur:
> > Es ergibt sich sofort, dass [mm]\Phi+ \Psi[/mm] bzw.
> > [mm]\lambda\Phi[/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so
> > definierten Verknüpfungen ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
Bin grad beim Aufschreiben nochmal auf eine Unsicherheit gestoßen. Also damit ich das richtig verstehe:
Da V und W als [mm] \IR-VR [/mm] definiert sind, ist auch Hom(V,W) ohne die Verknüpfungen ein [mm] \IR-VR.
[/mm]
Und dann zeige ich dass Hom(V,W) mit den Verknüpfungen ein Unterraum von [mm] \IR-VR [/mm] ist, womit dann auch der Unterraum ein [mm] \IR-Vr [/mm] ist?
> > > Zeige, dass [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] mit den Verknüfungen
> > > oben ein Untervektorraum ist, da sind ja nur 3 Punkte zu
> > > zeigen.
> > Du meinst jetzt, wenn ich obigen Beiweis hätte, weiß
> > ich, dass die Menge aller Abb. ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist. Wenn
> > ich jetzt zeige, dass Hom(V,W) mit den Verknüpfungen ein
> > Untervektorraum davon ist, schließt das automatisch mit
> > ein, dass dieser UVR auch ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
> >
> > Für einen UVR muss gelten, dass aus x,y [mm]\in[/mm] U, s,t [mm]\in \IR[/mm]
> > die Eigenschaft sx+ty [mm]\in[/mm] U folgt. Das besagen ja die
> > beiden Verknüpfungen.
> > Also muss ich nocht zeigen, dass U [mm]\not=\emptyset[/mm] ist.
> > Da Hom(V,W) eine lin. Abbildung ist, wird der
> Nullvektor
> > auf den Nullvektor abgebildet und damit ist U nicht leer.
> > >
> > > Und da ist nach dem oben Gesagten eigentlich kaum noch
> > > etwas zu tun ...
> > >
> > > >
> > > > Bei (1) würde man jetzt schreiben:
> > > > ( [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Psi)(x+y)= \Phi(x+y) \Psi(x+y)[/mm]
> > >
> > > Nein, deine Vektoren sind doch hier Homomorphismen, du
> > > musst zeigen
> > > [mm]\varphi,\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)\Rightarrow \varphi+\psi\in\operatorname{Hom}(V,W)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Zwei Abbildungen sind gleich, wenn sie für jedes Argument
> > > denselben Funktionswert leifern.
> > >
> > > Gehe also auf die Def. zurück. Wie gesagt, m.E. ist nur zu
> > > zeigen, dass [mm]\varphi+\psi[/mm] und [mm]\lambda\varphi[/mm] auch wirklich
> > > von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden ...
> > >
> > >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > > Im Skript steht nur:
> > > Es ergibt sich sofort, dass [mm]\Phi+ \Psi[/mm] bzw.
> > > [mm]\lambda\Phi[/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so
> > > definierten Verknüpfungen ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
>
> Bin grad beim Aufschreiben nochmal auf eine Unsicherheit
> gestoßen. Also damit ich das richtig verstehe:
> Da V und W als [mm]\IR-VR[/mm] definiert sind, ist auch Hom(V,W)
> ohne die Verknüpfungen ein [mm]\IR-VR.[/mm]
> Und dann zeige ich dass Hom(V,W) mit den Verknüpfungen
> ein Unterraum ist?
>
Langsam.
Du sollst zeigen, dass [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] mit der eingangs definierten Verknüpfung "+" und der skalaren Mult. wie im Ausgangspost ein [mm]\IR[/mm]-VR ist.
Was sind hier die Vektoren, also die Elemente in [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ??
Richtig! Abbildungen, und zwar lineare Abbildungen (Homomorphismen), die von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden.
Die Menge aller Abbildungen [mm](\operatorname{Abb}(V,W),+)[/mm] mit punktweise definierter Addition und skalarer Mult. [mm] $(\lambda f)(v)=\lambda [/mm] f(v)$ bildet einen [mm]\IR[/mm]-VR
Die Menge der linearen Abb. [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ist eine Teilmenge davon.
Daher genügt es nachzuweisen, dass [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] ein UVR von [mm](\operatorname{Abb}(V,R),+)[/mm] ist.
Gib eine lin. Abb. von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] explizit an, dann hast du [mm]\neq\emptyset[/mm], der Rest folgt unmittelbar aus den Definitionen in der Aufgabenstellung.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Di 21.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo nochmal,
>
>
> > > > Im Skript steht nur:
> > > > Es ergibt sich sofort, dass [mm]\Phi+ \Psi[/mm] bzw.
> > > > [mm]\lambda\Phi[/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so
> > > > definierten Verknüpfungen ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
> >
> > Bin grad beim Aufschreiben nochmal auf eine Unsicherheit
> > gestoßen. Also damit ich das richtig verstehe:
> > Da V und W als [mm]\IR-VR[/mm] definiert sind, ist auch Hom(V,W)
> > ohne die Verknüpfungen ein [mm]\IR-VR.[/mm]
> > Und dann zeige ich dass Hom(V,W) mit den Verknüpfungen
> > ein Unterraum ist?
> >
>
> Langsam.
>
> Du sollst zeigen, dass [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] mit der
> eingangs definierten Verknüpfung "+" und der skalaren
> Mult. wie im Ausgangspost ein [mm]\IR[/mm]-VR ist.
Warum [mm] (\operatorname{Hom}(V,W),+) [/mm] und nicht [mm] (\operatorname{Hom}(V,W),+,*)?
[/mm]
> Was sind hier die Vektoren, also die Elemente in
> [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ??
>
> Richtig! Abbildungen, und zwar lineare Abbildungen
> (Homomorphismen), die von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden.
Ansonsten ist mir bis hierhin alles klar
> Die Menge aller Abbildungen [mm](\operatorname{Abb}(V,W),+)[/mm] mit
> punktweise definierter Addition und skalarer Mult. [mm](\lambda f)(v)=\lambda f(v)[/mm]
> bildet einen [mm]\IR[/mm]-VR
Das die Menge der Abbildungen ein [mm] \IR-VR [/mm] bildet folgt woraus?
Aus den Definitionen der Verknüpfungen!?
> Die Menge der linearen Abb. [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ist
> eine Teilmenge davon.
>
> Daher genügt es nachzuweisen, dass
> [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] ein UVR von
> [mm](\operatorname{Abb}(V,R),+)[/mm] ist.
Warum Abb(V,R) und nicht (V,W) oder war das nur ein Tippfehler.
>
> Gib eine lin. Abb. von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] explizit an, dann hast du
Für unsere beiden Gegebenen folgt dann [mm] \Phi: [/mm] 0 [mm] \to [/mm] 0 und [mm] \Psi: 0\to [/mm] 0, da lineare Abbildungen den Nullvektor aus V immer auf den Nullvektor aus W abbilden.
> [mm]\neq\emptyset[/mm], der Rest folgt unmittelbar aus den
> Definitionen in der Aufgabenstellung.
>
Also ist Hom(V,W) ein [mm] \IR-UVR [/mm] von der Menge der Abbildungen (V,W) und damit wieder ein eigener [mm] \IR-VR
[/mm]
> Gruß
>
> schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > > > > Im Skript steht nur:
> > > > > Es ergibt sich sofort, dass [mm]\Phi+ \Psi[/mm] bzw.
> > > > > [mm]\lambda\Phi[/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so
> > > > > definierten Verknüpfungen ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
> > >
> > > Bin grad beim Aufschreiben nochmal auf eine Unsicherheit
> > > gestoßen. Also damit ich das richtig verstehe:
> > > Da V und W als [mm]\IR-VR[/mm] definiert sind, ist auch
> Hom(V,W)
> > > ohne die Verknüpfungen ein [mm]\IR-VR.[/mm]
> > > Und dann zeige ich dass Hom(V,W) mit den
> Verknüpfungen
> > > ein Unterraum ist?
> > >
> >
> > Langsam.
> >
> > Du sollst zeigen, dass [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] mit der
> > eingangs definierten Verknüpfung "+" und der skalaren
> > Mult. wie im Ausgangspost ein [mm]\IR[/mm]-VR ist.
> Warum [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] und nicht
> [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+,*)?[/mm]
Egal, schreibe oder interpretiere es so, wie ihr das in der VL aufschreibt.
Gemeint ist die Menge [mm]Hom(V,W)[/mm] mit der Vektoraddition "+" : [mm]\varphi+\psi[/mm] und der skalaren Mult."*": [mm]\lambda\cdot{}\varphi[/mm], so wie sie punktweise in der Aufgabestellung definiert sind.
> > Was sind hier die Vektoren, also die Elemente in
> > [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ??
> >
> > Richtig! Abbildungen, und zwar lineare Abbildungen
> > (Homomorphismen), die von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden.
> Ansonsten ist mir bis hierhin alles klar
>
> > Die Menge aller Abbildungen [mm](\operatorname{Abb}(V,W),+)[/mm] mit
> > punktweise definierter Addition und skalarer Mult. [mm](\lambda f)(v)=\lambda f(v)[/mm]
> > bildet einen [mm]\IR[/mm]-VR
>
> Das die Menge der Abbildungen ein [mm]\IR-VR[/mm] bildet folgt
> woraus?
> Aus den Definitionen der Verknüpfungen!?
Ja, das kann man sehr leicht nachrechnen, wird meist in den Vorlesungen gemacht
>
> > Die Menge der linearen Abb. [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ist
> > eine Teilmenge davon.
> >
> > Daher genügt es nachzuweisen, dass
> > [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] ein UVR von
> > [mm](\operatorname{Abb}(V,R),+)[/mm] ist.
>
> Warum Abb(V,R) und nicht (V,W) oder war das nur ein
> Tippfehler.
Ja, bin aufs "R" gerutscht ...
> >
> > Gib eine lin. Abb. von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] explizit an, dann hast du
> Für unsere beiden Gegebenen folgt dann [mm]\Phi:[/mm] 0 [mm]\to[/mm] 0 und
> [mm]\Psi: 0\to[/mm] 0, da lineare Abbildungen den Nullvektor aus V
> immer auf den Nullvektor aus W abbilden.
Jein, es ist [mm]\psi:V\to W[/mm] mit [mm]\psi(v)=0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm] (die Nullabbildung) ein Homomorphismus von V nach W, also [mm]\psi\in Hom(V,W)[/mm] , dh. [mm]Hom(V,W)\neq\emptyset[/mm]
So meinte ich das
> > [mm]\neq\emptyset[/mm], der Rest folgt unmittelbar aus den
> > Definitionen in der Aufgabenstellung.
> >
>
> Also ist Hom(V,W) ein [mm]\IR-UVR[/mm] von der Menge der Abbildungen
> (V,W) und damit wieder ein eigener [mm]\IR-VR[/mm]
Ja, aber da ihr scheinbar nicht gezeigt habt, dass [mm](Abb(V,W),+,\cdot{})[/mm] ein [mm]\IR[/mm]-VR ist, musst du wohl doch alle Axiome abklappern ...
Ist aber bloß Hinschreiben ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Di 21.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo nochmal,
>
>
> > > Hallo nochmal,
> > >
> > >
> > > > > > Im Skript steht nur:
> > > > > > Es ergibt sich sofort, dass [mm]\Phi+ \Psi[/mm]
> bzw.
> > > > > > [mm]\lambda\Phi[/mm] zu Hom(V,W) gehören und Hom(V,W) mit den so
> > > > > > definierten Verknüpfungen ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
> > > >
> > > > Bin grad beim Aufschreiben nochmal auf eine Unsicherheit
> > > > gestoßen. Also damit ich das richtig verstehe:
> > > > Da V und W als [mm]\IR-VR[/mm] definiert sind, ist auch
> > Hom(V,W)
> > > > ohne die Verknüpfungen ein [mm]\IR-VR.[/mm]
> > > > Und dann zeige ich dass Hom(V,W) mit den
> > Verknüpfungen
> > > > ein Unterraum ist?
> > > >
> > >
> > > Langsam.
> > >
> > > Du sollst zeigen, dass [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] mit der
> > > eingangs definierten Verknüpfung "+" und der skalaren
> > > Mult. wie im Ausgangspost ein [mm]\IR[/mm]-VR ist.
> > Warum [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] und nicht
> > [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+,*)?[/mm]
>
> Egal, schreibe oder interpretiere es so, wie ihr das in der
> VL aufschreibt.
>
> Gemeint ist die Menge [mm]Hom(V,W)[/mm] mit der Vektoraddition "+" :
> [mm]\varphi+\psi[/mm] und der skalaren Mult."*":
> [mm]\lambda\cdot{}\varphi[/mm], so wie sie punktweise in der
> Aufgabestellung definiert sind.
>
> > > Was sind hier die Vektoren, also die Elemente in
> > > [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ??
> > >
> > > Richtig! Abbildungen, und zwar lineare Abbildungen
> > > (Homomorphismen), die von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] abbilden.
> > Ansonsten ist mir bis hierhin alles klar
> >
> > > Die Menge aller Abbildungen [mm](\operatorname{Abb}(V,W),+)[/mm] mit
> > > punktweise definierter Addition und skalarer Mult. [mm](\lambda f)(v)=\lambda f(v)[/mm]
> > > bildet einen [mm]\IR[/mm]-VR
> >
> > Das die Menge der Abbildungen ein [mm]\IR-VR[/mm] bildet folgt
> > woraus?
> > Aus den Definitionen der Verknüpfungen!?
>
> Ja, das kann man sehr leicht nachrechnen, wird meist in den
> Vorlesungen gemacht
>
Damit meinst du jetzt die ganzen Axiome nachrechnen? Oder geht das irgendwie schneller/eleganter. Hatte gehofft, dass ich mir das ersparen kann.
Im Skript steht halt nur "Hom(V,W) bestitzt eine Vektorraumstruktur"
Udn im Anhang "So wie [mm] \IR^{m,n} [/mm] durch die komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation eine
Vektorraumstruktur besitzt, so hat auch Hom(V,W) eine etwa analog zu Abb [mm] (V,\IR)"
[/mm]
> >
> > > Die Menge der linearen Abb. [mm]\operatorname{Hom}(V,W)[/mm] ist
> > > eine Teilmenge davon.
> > >
> > > Daher genügt es nachzuweisen, dass
> > > [mm](\operatorname{Hom}(V,W),+)[/mm] ein UVR von
> > > [mm](\operatorname{Abb}(V,R),+)[/mm] ist.
>
>
> >
> > Warum Abb(V,R) und nicht (V,W) oder war das nur ein
> > Tippfehler.
>
> Ja, bin aufs "R" gerutscht ...
>
> > >
> > > Gib eine lin. Abb. von [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] explizit an, dann hast du
> > Für unsere beiden Gegebenen folgt dann [mm]\Phi:[/mm] 0 [mm]\to[/mm] 0 und
> > [mm]\Psi: 0\to[/mm] 0, da lineare Abbildungen den Nullvektor aus V
> > immer auf den Nullvektor aus W abbilden.
>
> Jein, es ist [mm]\psi:V\to W[/mm] mit [mm]\psi(v)=0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
> (die Nullabbildung) ein Homomorphismus von V nach W, also
> [mm]\psi\in Hom(V,W)[/mm] , dh. [mm]Hom(V,W)\neq\emptyset[/mm]
>
> So meinte ich das
>
> > > [mm]\neq\emptyset[/mm], der Rest folgt unmittelbar aus den
> > > Definitionen in der Aufgabenstellung.
>
>
> > >
> >
> > Also ist Hom(V,W) ein [mm]\IR-UVR[/mm] von der Menge der Abbildungen
> > (V,W) und damit wieder ein eigener [mm]\IR-VR[/mm]
>
> Ja, aber da ihr scheinbar nicht gezeigt habt, dass
> [mm](Abb(V,W),+,\cdot{})[/mm] ein [mm]\IR[/mm]-VR ist, musst du wohl doch
> alle Axiome abklappern ...
>
> Ist aber bloß Hinschreiben ...
>
> LG
>
> schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
> Damit meinst du jetzt die ganzen Axiome nachrechnen? Oder
> geht das irgendwie schneller/eleganter. Hatte gehofft, dass
> ich mir das ersparen kann.
Hallo,
ja, da Du nicht darauf zurückgreifen kannst, daß die Abbildungen von V nach W einen VR bilden, mußt Du sämtliche Axiome nachweisen.
Es ist nicht schwer, und es dauert nicht lange.
Man muß es auch mal getan haben, um es zu begreifen.
Wenn Du es gründlich machst, also immer fein aufschreibst, was zu zeigen ist und es dann sauber beweist, wobei Du jeden Schritt begründest, lernst Du auch etwas dabei.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Di 21.06.2011 | | Autor: | Sup |
>
> > Damit meinst du jetzt die ganzen Axiome nachrechnen? Oder
> > geht das irgendwie schneller/eleganter. Hatte gehofft, dass
> > ich mir das ersparen kann.
>
> Hallo,
>
> ja, da Du nicht darauf zurückgreifen kannst, daß die
> Abbildungen von V nach W einen VR bilden, mußt Du
> sämtliche Axiome nachweisen.
>
> Es ist nicht schwer, und es dauert nicht lange.
> Man muß es auch mal getan haben, um es zu begreifen.
>
> Wenn Du es gründlich machst, also immer fein aufschreibst,
> was zu zeigen ist und es dann sauber beweist, wobei Du
> jeden Schritt begründest, lernst Du auch etwas dabei.
>
> Gruß v. Angela
Das erste Axiom lautet ja x+y=y+x. Mein x und mein y sind hier die Homomorphismen [mm] \Psi [/mm] und [mm] \Phi
[/mm]
Reicht es schon wenn ich einfach hinschreibe [mm] \Psi(v) [/mm] + [mm] \Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v) [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Di 21.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > Damit meinst du jetzt die ganzen Axiome nachrechnen? Oder
> > > geht das irgendwie schneller/eleganter. Hatte gehofft, dass
> > > ich mir das ersparen kann.
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, da Du nicht darauf zurückgreifen kannst, daß die
> > Abbildungen von V nach W einen VR bilden, mußt Du
> > sämtliche Axiome nachweisen.
> >
> > Es ist nicht schwer, und es dauert nicht lange.
> > Man muß es auch mal getan haben, um es zu begreifen.
> >
> > Wenn Du es gründlich machst, also immer fein aufschreibst,
> > was zu zeigen ist und es dann sauber beweist, wobei Du
> > jeden Schritt begründest, lernst Du auch etwas dabei.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Das erste Axiom lautet ja x+y=y+x. Mein x und mein y sind
> hier die Homomorphismen [mm]\Psi[/mm] und [mm]\Phi[/mm]
> Reicht es schon wenn ich einfach hinschreibe [mm]\Psi(v)[/mm] +
> [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] ?
Nicht ganz.
Du hast:
[mm]\Psi(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] für jedes v [mm] \in [/mm] V.
Daher ist
[mm]\Psi[/mm] + [mm]\Phi=\Phi+\Psi[/mm]
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Di 21.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > >
> > > > Damit meinst du jetzt die ganzen Axiome nachrechnen? Oder
> > > > geht das irgendwie schneller/eleganter. Hatte gehofft, dass
> > > > ich mir das ersparen kann.
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, da Du nicht darauf zurückgreifen kannst, daß die
> > > Abbildungen von V nach W einen VR bilden, mußt Du
> > > sämtliche Axiome nachweisen.
> > >
> > > Es ist nicht schwer, und es dauert nicht lange.
> > > Man muß es auch mal getan haben, um es zu
> begreifen.
> > >
> > > Wenn Du es gründlich machst, also immer fein aufschreibst,
> > > was zu zeigen ist und es dann sauber beweist, wobei Du
> > > jeden Schritt begründest, lernst Du auch etwas dabei.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> >
> > Das erste Axiom lautet ja x+y=y+x. Mein x und mein y sind
> > hier die Homomorphismen [mm]\Psi[/mm] und [mm]\Phi[/mm]
> > Reicht es schon wenn ich einfach hinschreibe [mm]\Psi(v)[/mm] +
> > [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] ?
>
> Nicht ganz.
>
> Du hast:
>
> [mm]\Psi(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] für jedes v [mm]\in[/mm] V.
>
> Daher ist
Also muss ich es erst immer mit [mm] \Phi [/mm] und [mm] \Psi [/mm] bezogen auf einmArgument zeigen und dann auf die Abbildungen an ein zurückführen?
Oder warum gilt das?
> [mm]\Psi[/mm] + [mm]\Phi=\Phi+\Psi[/mm]
Dann wäre das zweite:
[mm] (\Phi(v)+\Psi(v))+\Xi(v)=\Phi(v)+(\Psi(v)+\Xi(v))
[/mm]
und daher auch [mm] (\Phi+\Psi)+\Xi=\Phi+(\Psi+\Xi)
[/mm]
>
> FRED
> >
>
Wenn ich jetzt ein neutrales Element nachweisen will (3) schreibe ich dann:
[mm] \Phi(v)+0*\Psi(v)=\Phi(v)+0=\Phi(v)
[/mm]
Hier verwende ich dann die 2. Verknüpfung: [mm] 0*\Psi(v)=\Psi(0v)=\Psi(0) [/mm] und weil es eine lin. Abbildung ist, ist dass dann Null.
Wie zeige ich jetzt aber die Eindeutigkeit des neutralen Elements?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
zitiere bitte mit mehr Bedacht, lösche Unnötiges weg, hier stehen Zitate aus monatealten Antworten...
Das ist sehr unübersichtlich und mühsam zu lesen!
> > Nicht ganz.
> >
> > Du hast:
> >
> > [mm]\Psi(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] für jedes v [mm]\in[/mm] V.
> >
> > Daher ist
> Also muss ich es erst immer mit [mm]\Phi[/mm] und [mm]\Psi[/mm] bezogen auf
> einmArgument zeigen und dann auf die Abbildungen an ein
> zurückführen?
> Oder warum gilt das?
> > [mm]\Psi[/mm] + [mm]\Phi=\Phi+\Psi[/mm]
Hatte ich doch oben schon geschrieben, du musst die Gleichheit von Abbildungen zeigen. Und Abbildungen sind gleich, wenn sie für jedes Argument denselben Funktionswert ausspucken.
Die Gleichheit [mm]\Psi(v)+\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] zeigst du für ein bel. Argument [mm]v\in V[/mm], damit gilt sie für alle [mm]v\in V[/mm], somit sind die Abbildungen [mm]\Psi+\Phi[/mm] und [mm]\Phi+\Psi[/mm] gleich
>
> Dann wäre das zweite:
> [mm](\Phi(v)+\Psi(v))+\Xi(v)=\Phi(v)+(\Psi(v)+\Xi(v))[/mm]
> und daher auch [mm](\Phi+\Psi)+\Xi=\Phi+(\Psi+\Xi)[/mm]
Genau! Begründe, warum du nach dem ersten "=" die Klammern umschreiben darfst und begründe auch (nochmal zur Sicherheit, damit wir sehen können, dass du verstanden hast, was zu tun ist), warum daraus die Gleichheit der Abbildungen [mm](\Phi+\Psi)+\Xi[/mm] und [mm]\Phi+(\Psi+\Xi)[/mm] folgt
> >
> > FRED
> > >
> >
> Wenn ich jetzt ein neutrales Element nachweisen will (3)
> schreibe ich dann:
> [mm]\Phi(v)+0*\Psi(v)=\Phi(v)+0=\Phi(v)[/mm]
Nein, wir wissen ja schon, dass die Nullabbildung neutrales Element in den Homomorphismen von V nach W ist, nennen wir sie mal [mm]n:V\to W, v\to 0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
Du musst zeigen, dass [mm]\Phi+n=n+\Phi=\Phi[/mm] ist für bel. [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
Das zeige wieder für ein bel. Argument [mm]v\in V[/mm], dann gilt es für alle und die Abbildungen sind gleich
> Hier verwende ich dann die 2. Verknüpfung:
> [mm]0*\Psi(v)=\Psi(0v)=\Psi(0)[/mm] und weil es eine lin. Abbildung
> ist, ist dass dann Null.
Nein, du musst lediglich die punktweise definierte Addition verwenden
> Wie zeige ich jetzt aber die Eindeutigkeit des neutralen
> Elements?
Na, wenn du gezeigt hast, dass [mm](Hom(V,W),+)[/mm] eine abelsche Gruppe ist, so ist das neutrale Element doch eindeutig. Das ist in Gruppen immer so, habt ihr schon gezeigt.
Wenn ich das richtig sehe, fehlt dir nur noch die Existenz eines inversen Hom. (bzgl. +) zu einem bel. Hom. [mm] $\Phi\in [/mm] Hom(V,W)$
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 21.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo nochmal,
>
> zitiere bitte mit mehr Bedacht, lösche Unnötiges weg,
> hier stehen Zitate aus monatealten Antworten...
>
> Das ist sehr unübersichtlich und mühsam zu lesen!
>
>
> > > Nicht ganz.
> > >
> > > Du hast:
> > >
> > > [mm]\Psi(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] für jedes v [mm]\in[/mm] V.
> > >
> > > Daher ist
> > Also muss ich es erst immer mit [mm]\Phi[/mm] und [mm]\Psi[/mm] bezogen
> auf
> > einmArgument zeigen und dann auf die Abbildungen an ein
> > zurückführen?
> > Oder warum gilt das?
> > > [mm]\Psi[/mm] + [mm]\Phi=\Phi+\Psi[/mm]
>
> Hatte ich doch oben schon geschrieben, du musst die
> Gleichheit von Abbildungen zeigen. Und Abbildungen sind
> gleich, wenn sie für jedes Argument denselben
> Funktionswert ausspucken.
>
> Die Gleichheit [mm]\Psi(v)+\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] zeigst du
> für ein bel. Argument [mm]v\in V[/mm], damit gilt sie für alle
> [mm]v\in V[/mm], somit sind die Abbildungen [mm]\Psi+\Phi[/mm] und [mm]\Phi+\Psi[/mm]
> gleich
>
> >
> > Dann wäre das zweite:
> > [mm](\Phi(v)+\Psi(v))+\Xi(v)=\Phi(v)+(\Psi(v)+\Xi(v))[/mm]
> > und daher auch [mm](\Phi+\Psi)+\Xi=\Phi+(\Psi+\Xi)[/mm]
>
> Genau! Begründe, warum du nach dem ersten "=" die Klammern
> umschreiben darfst und begründe auch (nochmal zur
> Sicherheit, damit wir sehen können, dass du verstanden
> hast, was zu tun ist), warum daraus die Gleichheit der
> Abbildungen [mm](\Phi+\Psi)+\Xi[/mm] und [mm]\Phi+(\Psi+\Xi)[/mm] folgt
>
Die Klammer kann ich wegen der 1. Verknüpfung aus der Aufgabe umschreiben, da ja das [mm] \Xi [/mm] ebenso [mm] \in [/mm] Hom(V,W) ist bzw. wir das so definieren.
Und die Gleihheig folgt, da wenn die Gleichheit der Summen für ein gleiches v [mm] \in [/mm] V gilt, sie auch allg für die gesamte Abbildung gelten muss.
> > >
> > > FRED
> > > >
> > >
> > Wenn ich jetzt ein neutrales Element nachweisen will (3)
> > schreibe ich dann:
> > [mm]\Phi(v)+0*\Psi(v)=\Phi(v)+0=\Phi(v)[/mm]
>
> Nein, wir wissen ja schon, dass die Nullabbildung neutrales
> Element in den Homomorphismen von V nach W ist, nennen wir
> sie mal [mm]n:V\to W, v\to 0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
>
> Du musst zeigen, dass [mm]\Phi+n=n+\Phi=\Phi[/mm] ist für bel.
> [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
>
> Das zeige wieder für ein bel. Argument [mm]v\in V[/mm], dann gilt
> es für alle und die Abbildungen sind gleich
[mm] \Phi(v) [/mm] +n(v)= [mm] \Phi(v)+0= \Phi(v)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \Phi [/mm] +n= [mm] \Phi+0= \Phi
[/mm]
>
> > Hier verwende ich dann die 2. Verknüpfung:
> > [mm]0*\Psi(v)=\Psi(0v)=\Psi(0)[/mm] und weil es eine lin. Abbildung
> > ist, ist dass dann Null.
>
> Nein, du musst lediglich die punktweise definierte Addition
> verwenden
>
> > Wie zeige ich jetzt aber die Eindeutigkeit des neutralen
> > Elements?
>
> Na, wenn du gezeigt hast, dass [mm](Hom(V,W),+)[/mm] eine abelsche
> Gruppe ist, so ist das neutrale Element doch eindeutig. Das
> ist in Gruppen immer so, habt ihr schon gezeigt.
Stimmt und der Homomorphismus ist eine abelsche Gruppe, da wir die 1. Verknüpfung gegeben haben.
Was ich aber nicht ganz verstehe: Eine abelsche Gruppe ist bzgl. der Multiplikation kommutativ. Die erste Verknüpfung von uns ist doch aber nur die Addition
> Wenn ich das richtig sehe, fehlt dir nur noch die Existenz
> eines inversen Hom. (bzgl. +) zu einem bel. Hom. [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
Ja und dann die Axiome für die Multiplikation.
Für das Inverse kann man ja [mm] \Phi(v)+(-\Phi(v))= \Phi(v)-\Phi(v)=0
[/mm]
Und die Existenz wäre Eindeutig, da Hom(V,W) eine abelsche Gruppe ist.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
> > Hallo nochmal,
> >
> > zitiere bitte mit mehr Bedacht, lösche Unnötiges weg,
> > hier stehen Zitate aus monatealten Antworten...
> >
> > Das ist sehr unübersichtlich und mühsam zu lesen!
> >
> >
> > > > Nicht ganz.
> > > >
> > > > Du hast:
> > > >
> > > > [mm]\Psi(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] für jedes v [mm]\in[/mm] V.
> > > >
> > > > Daher ist
> > > Also muss ich es erst immer mit [mm]\Phi[/mm] und [mm]\Psi[/mm]
> bezogen
> > auf
> > > einmArgument zeigen und dann auf die Abbildungen an ein
> > > zurückführen?
> > > Oder warum gilt das?
> > > > [mm]\Psi[/mm] + [mm]\Phi=\Phi+\Psi[/mm]
> >
> > Hatte ich doch oben schon geschrieben, du musst die
> > Gleichheit von Abbildungen zeigen. Und Abbildungen sind
> > gleich, wenn sie für jedes Argument denselben
> > Funktionswert ausspucken.
> >
> > Die Gleichheit [mm]\Psi(v)+\Phi(v)=\Phi(v)+\Psi(v)[/mm] zeigst du
> > für ein bel. Argument [mm]v\in V[/mm], damit gilt sie für alle
> > [mm]v\in V[/mm], somit sind die Abbildungen [mm]\Psi+\Phi[/mm] und [mm]\Phi+\Psi[/mm]
> > gleich
Hallo,
warum steht das ganze Gedöns da oben [mm]\uparrow[/mm] noch da?
> >
> > >
> > > Dann wäre das zweite:
> > > [mm](\Phi(v)+\Psi(v))+\Xi(v)=\Phi(v)+(\Psi(v)+\Xi(v))[/mm]
> > > und daher auch [mm](\Phi+\Psi)+\Xi=\Phi+(\Psi+\Xi)[/mm]
> >
> > Genau! Begründe, warum du nach dem ersten "=" die Klammern
> > umschreiben darfst und begründe auch (nochmal zur
> > Sicherheit, damit wir sehen können, dass du verstanden
> > hast, was zu tun ist), warum daraus die Gleichheit der
> > Abbildungen [mm](\Phi+\Psi)+\Xi[/mm] und [mm]\Phi+(\Psi+\Xi)[/mm] folgt
> >
> Die Klammer kann ich wegen der 1. Verknüpfung aus der
> Aufgabe umschreiben, da ja das [mm]\Xi[/mm] ebenso [mm]\in[/mm] Hom(V,W) ist
> bzw. wir das so definieren.
Das ist keine deutliche Begrundung.
Gezeigt werden soll: [mm] $(\Phi+\Psi)+\Xi$ [/mm] = [mm] $\Phi+(\Psi+\Xi)$ [/mm] für alle [mm] \phi,\psi,\Xi \in [/mm] Hom(V,W).
Dazu ist zu zeigen: für alle [mm] v\in [/mm] V ist [mm] $[(\Phi+\Psi)+\Xi](v)$ [/mm] = [mm] $[\Phi+(\Psi+\Xi)](v)$
[/mm]
Beweis:
es ist
[mm] [(\Phi+\Psi)+\Xi](v)
[/mm]
[mm] =(\Phi+\Psi)(v)+\Xi(v) \qquad [/mm] nach Def. der Verknüpfung +
[mm] =(\Phi(v)+\Psi(v))+\Xi(v) \qquad [/mm] nach Def. der Verknüpfung +
[mm] =\Phi(v)+(\Psi(v)+\Xi(v)) \qquad [/mm] denn [mm] \Phi(v),\Psi(v),\Xi(v)\in [/mm] W und W ist ein VR
= usw.
So genau ist sowas aufzuschreiben.
> Und die Gleihheig folgt, da wenn die Gleichheit der Summen
> für ein gleiches v [mm]\in[/mm] V gilt, sie auch allg für die
> gesamte Abbildung gelten muss.
Am Ende hast Du:
für alle [mm] v\in [/mm] V ist [mm] $[(\Phi+\Psi)+\Xi](v)$ [/mm] = [mm] $[\Phi+(\Psi+\Xi)](v)$.
[/mm]
Nach def. der Gleichheit von Funktionen ist also [mm] (\Phi+\Psi)+\Xi=\Phi+(\Psi+\Xi).
[/mm]
> > > >
> > > > FRED
Oh. Der Fred hat Dir auch schon geschrieben.
Gut zu wissen. Oder sollte es eine überflüssige Information sein?
> > > > >
> > > >
> > > Wenn ich jetzt ein neutrales Element nachweisen will (3)
> > > schreibe ich dann:
> > > [mm]\Phi(v)+0*\Psi(v)=\Phi(v)+0=\Phi(v)[/mm]
> >
> > Nein, wir wissen ja schon, dass die Nullabbildung neutrales
> > Element in den Homomorphismen von V nach W ist, nennen wir
> > sie mal [mm]n:V\to W, v\to 0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
> >
> > Du musst zeigen, dass [mm]\Phi+n=n+\Phi=\Phi[/mm] ist für bel.
> > [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
> >
> > Das zeige wieder für ein bel. Argument [mm]v\in V[/mm], dann gilt
> > es für alle und die Abbildungen sind gleich
> [mm]\Phi(v)[/mm] +n(v)= [mm]\Phi(v)+0= \Phi(v)[/mm]
> [mm]\Rightarrow \Phi[/mm] +n=
> [mm]\Phi+0= \Phi[/mm]
> >
> > > Hier verwende ich dann die 2. Verknüpfung:
> > > [mm]0*\Psi(v)=\Psi(0v)=\Psi(0)[/mm] und weil es eine lin. Abbildung
> > > ist, ist dass dann Null.
> >
> > Nein, du musst lediglich die punktweise definierte Addition
> > verwenden
> >
> > > Wie zeige ich jetzt aber die Eindeutigkeit des neutralen
> > > Elements?
> >
> > Na, wenn du gezeigt hast, dass [mm](Hom(V,W),+)[/mm] eine abelsche
> > Gruppe ist, so ist das neutrale Element doch eindeutig. Das
> > ist in Gruppen immer so, habt ihr schon gezeigt.
> Stimmt und der Homomorphismus ist eine abelsche Gruppe, da
> wir die 1. Verknüpfung gegeben haben.
???
Was meinst Du damit?
Es ist die Menge der Homomorphismen mit der in der Aufgabe definierten Verknüpfung + eine abelsche Gruppe, und das weiß man, wenn man's gezeigt hat.
> Was ich aber nicht ganz verstehe: Eine abelsche Gruppe ist
> bzgl. der Multiplikation kommutativ.Die erste Verknüpfung
> von uns ist doch aber nur die Addition
Hm. Wieso "nur"?
Ich glaube, Du hast den Gruppenbegriff überhaupt nicht verstanden.
Zu einer Gruppe gehört eine Menge und eine Verknüpfung, welche aus zwei Elementen dieser Menge wieder ein Element der Menge macht.
Wenn diese Verknüpfung bestimmten Gesetzen, den Gruppenaxiomen, gehorcht, dann sagt man, daß die Menge zusammen mit der fraglichen verknüpfung eine Gruppe ist. Wie ich die verknüpfung nenne, ist völlig unerheblich. Wenn mir danach zumute ist, kann ich als Verknüpfungszeichen auch ein rosa Schweinchen nehmen.
> > Wenn ich das richtig sehe, fehlt dir nur noch die
> Existenz
> > eines inversen Hom. (bzgl. +) zu einem bel. Hom. [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
>
> Ja und dann die Axiome für die Multiplikation.
> Für das Inverse kann man ja [mm]\Phi(v)+(-\Phi(v))= \Phi(v)-\Phi(v)=0[/mm]
Das Problem: Du müßtest nun erstmal erklären, was Du mit [mm] -\Phi [/mm] meinst.
Was ist das für eine Abbildung? Was tut sie?
Der Ablauf:
Sei [mm] \Phi\in [/mm] Hom(V, W), und sei [mm] -\phi [/mm] definiert durch [mm] (-\Phi)(v):=... [/mm] für alle [mm] v\in [/mm] V.
Es ist [mm] -\Phi [/mm] ein Homomorphismus, denn....,
und es gilt
> [mm] $\Phi(v)+(-\Phi(v))= \Phi(v)-\Phi(v)=0$ [/mm]
für alle [mm] v\in [/mm] V=
Also ist [mm] \Phi [/mm] + [mm] (-\Phi) [/mm] die Nullabbildung, und damit ist [mm] (-\Phi) [/mm] das inverse Element von [mm] \Phi [/mm] bzgl. der Verknüpfung +.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 21.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > > Nein, wir wissen ja schon, dass die Nullabbildung neutrales
> > > Element in den Homomorphismen von V nach W ist, nennen wir
> > > sie mal [mm]n:V\to W, v\to 0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
Warum gilt das für alle v [mm] \in [/mm] V? Dann würden ja alle Elemente aus V auf die Null abgebildet werden.
> Es ist die Menge der Homomorphismen mit der in der Aufgabe
> definierten Verknüpfung + eine abelsche Gruppe, und das
> weiß man, wenn man's gezeigt hat.
Ich habe das mit der Eindeutigkeit jetzt etwas anders gezeigt. So ist es für mich zumindest verständlicher. Zuerst habe ich, gezeigt, dass die Nullabbildung [mm] \Psi [/mm] ein neutrales Element zu [mm] \Phi [/mm] ist.
[mm] \Phi(v)+\Psi(n)=\Phi(v), [/mm] da [mm] \Psi(n)=0 [/mm] ist
Dann habe ich angenommen es existiert ein [mm] \Xi(n), [/mm] das ebenfalls ein neutr. Element zu [mm] \Phi [/mm] ist.
Also muss [mm] \Phi(v)+\Psi(n)= \Phi(v)+\Xi(n)=\Phi(v)
[/mm]
Bei [mm] \Phi(v)+\Xi(n)=\Phi(v) [/mm] das [mm] \Phi(v) [/mm] subtrahiert und man hat [mm] 0=\Xi(n), [/mm] was wieder die Nullabbildung ist.
Also ist das neutr. Element eindeutig (bzgl. +)
Also
> > > Wenn ich das richtig sehe, fehlt dir nur noch die
> > Existenz
> > > eines inversen Hom. (bzgl. +) zu einem bel. Hom. [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
>
> >
> > Ja und dann die Axiome für die Multiplikation.
>
> > Für das Inverse kann man ja [mm]\Phi(v)+(-\Phi(v))= \Phi(v)-\Phi(v)=0[/mm]
>
> Das Problem: Du müßtest nun erstmal erklären, was Du mit
> [mm]-\Phi[/mm] meinst.
> Was ist das für eine Abbildung? Was tut sie?
>
> Der Ablauf:
>
> Sei [mm]\Phi\in[/mm] Hom(V, W), und sei [mm]-\phi[/mm] definiert durch
> [mm](-\Phi)(v):=...[/mm] für alle [mm]v\in[/mm] V.
> Es ist [mm]-\Phi[/mm] ein Homomorphismus, denn....,
>
[mm] \Phi [/mm] ist eine lineare Abbildung, d.h. für sie gilt die Homogenität und ich kann [mm] \Phi(-1*v) [/mm] auch als [mm] -1*\Phi(v) (=-\Phi(v)) [/mm] schreiben
|
|
|
| |
|
> > > > Nein, wir wissen ja schon, dass die Nullabbildung neutrales
> > > > Element in den Homomorphismen von V nach W ist, nennen wir
> > > > sie mal [mm]n:V\to W, v\to 0_W[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
> Warum
> gilt das für alle v [mm]\in[/mm] V? Dann würden ja alle Elemente
> aus V auf die Null abgebildet werden.
Hallo,
die Frage war doch: gibt es in der Menge Hom(V,W) mit der Verknüpfung + einen Homomorphismus n, der so beschaffen ist, daß für jeden Homomorphismus [mm] \Phi\in [/mm] Hom(V,W) gilt: [mm] n+\Phi=\Phi?
[/mm]
Man stellt fest:
für die Abbildung [mm] n:V\to [/mm] W mit [mm] n(v):=0_W, [/mm] also für die Abbildung, die alles auf die Null abbildet, funktioniert das. (Nachrechnen!)
> > Es ist die Menge der Homomorphismen mit der in der Aufgabe
> > definierten Verknüpfung + eine abelsche Gruppe, und das
> > weiß man, wenn man's gezeigt hat.
>
> Ich habe das mit der Eindeutigkeit jetzt etwas anders
> gezeigt.
Du mußt, wie Dir schachuzipus schon gesagt hat, die Eindeutigkeit gar nicht zeigen - darfst es aber natürlich tun.
> So ist es für mich zumindest verständlicher.
> Zuerst habe ich, gezeigt, dass die Nullabbildung [mm]\Psi[/mm] ein
> neutrales Element zu [mm]\Phi[/mm] ist.
In dieser Formulierung zeigt sich, daß Du "neutrales Element" nicht verstanden hast. Es wird kein neutrales Element "zu [mm] \Phi" [/mm] gesucht, sondern ein neutrales Element der Menge.
Es gibt doch nicht zu jedem Homomorphismus ein anderes neutrales Element!
> [mm]\Phi(v)+\Psi(n)=\Phi(v),[/mm] da [mm]\Psi(n)=0[/mm] ist
Bevor wir hier irgendwas rechnen, muß die Abbildung, von der Du zeigen möchtest, daß sie das neutrale Element ist, erstmal definiert werden.
Ich reime mir zusammen, daß Du sagst:
betrachte [mm] \Psi:V\to [/mm] W mit [mm] \Psi(n):=0_W [/mm] für alle [mm] n\in [/mm] V.
(Warum nennst Du die Elemente von V n? Ist aber für die Mathematik egal. Bloß Dir sollte klar sein, daß das ein völlig anderes n ist als oben.)
Als nächstes wäre es klug, aufzuschreiben, was Du zeigen möchtest - ich hatte Dir in diesem Thread schonmal gesagt, daß Du das unbedingt tun sollst.
Zu zeigen: für alle [mm] \Phi\in [/mm] Hom(V,W) gilt [mm] \Phi+\Psi= \Phi.
[/mm]
So. Zu zeigen ist hier die Gleichheit zweier Funktionen, nämlich die von [mm] \Phi+\Psi [/mm] und [mm] \Phi.
[/mm]
Was hat man zu zeigen, wenn man die Gleichheit von Funktionen zeigen will? Daß ihre Funktionswerte an jeder Stelle des Definitionsbereiches übereinstimmen.
Was genau mußt Du also zeigen und vorrechnen?
Der Gedanke, mit dem Du nun die Eindeutigkeit zeigen willst, ist prinzipiell richtig - Du machst natürlich denselben Fehler wie zuvor. Es sollte Dir inzwischen aufgefallen sein, wo er liegt.
> Dann habe ich angenommen es existiert ein [mm]\Xi(n),[/mm] das
> ebenfalls ein neutr. Element zu [mm]\Phi[/mm] ist.
> Also muss [mm]\Phi(v)+\Psi(n)= \Phi(v)+\Xi(n)=\Phi(v)[/mm]
> Bei
> [mm]\Phi(v)+\Xi(n)=\Phi(v)[/mm] das [mm]\Phi(v)[/mm] subtrahiert und man hat
> [mm]0=\Xi(n),[/mm] was wieder die Nullabbildung ist.
> Also ist das neutr. Element eindeutig (bzgl. +)
> Also
>
>
> > > > Wenn ich das richtig sehe, fehlt dir nur noch die
> > > Existenz
> > > > eines inversen Hom. (bzgl. +) zu einem bel. Hom. [mm]\Phi\in Hom(V,W)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ja und dann die Axiome für die Multiplikation.
> >
> > > Für das Inverse kann man ja [mm]\Phi(v)+(-\Phi(v))= \Phi(v)-\Phi(v)=0[/mm]
>
> >
> > Das Problem: Du müßtest nun erstmal erklären, was Du mit
> > [mm]-\Phi[/mm] meinst.
> > Was ist das für eine Abbildung? Was tut sie?
> >
> > Der Ablauf:
> >
> > Sei [mm]\Phi\in[/mm] Hom(V, W), und sei [mm]-\phi[/mm] definiert durch
> > [mm](-\Phi)(v):=...[/mm] für alle [mm]v\in[/mm] V.
Die Pünktchen stehen hier nicht zum Spaß.
Es ist sinnlos, über eine Funktion zu reden, die nicht definiert ist. Du sollst die Funktionsvorschrift angeben!
Erst dann können wir darüber nachdenken, ob [mm] -\Phi [/mm] ein Homomorphismus ist. Bisher ist es lediglich ein Symbol, eine kurze Zeichenkette.
Gruß v. Angela
> > Es ist [mm]-\Phi[/mm] ein Homomorphismus, denn....,
> >
>
> [mm]\Phi[/mm] ist eine lineare Abbildung, d.h. für sie gilt die
> Homogenität und ich kann [mm]\Phi(-1*v)[/mm] auch als [mm]-1*\Phi(v) (=-\Phi(v))[/mm]
> schreiben
>
>
|
|
|
|
