Verifikation Wahrscheinl.-Vert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei $(\Omega,\IP)$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum sowie $B \subset \Omega$ ein Ereignis mit $P(B) > 0$. Man beweise oder widerlege:
(a) $Q(A) := \IP(A|B)$ definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\mathcal{P}(\Omega)$
(b) $Q(A) := \IP(B|A)$ definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\mathcal{P}(\Omega)$
Hinweis: Mit $\IP(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A gemeint, wenn B vorher eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit). |
Hallo!
Mit der obigen Aufgabe habe ich Probleme, die Beweise bzw. Gegenbeispiele zu führen / zu finden.
Zunächst meine Vermutungen:
(a) gilt
(b) gilt nicht
Nun ein Beweis-Versuch zu (a):
Wenn Q eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein soll, muss gelten:
- $Q:\mathcal{P}(\Omega)\to[0,1]$. Dies ist wegen $Q(A) := \IP(A|B)\in [0,1]$ erfüllt.
- $Q(\Omega) = 1$. Dies ist erfüllt wegen $Q(\Omega) = \IP(\Omega|B) = \frac{\IP(\Omega\cap B)}{\IP(B)} = \frac{\IP(B)}{\IP(B)} = 1$, da wegen $B\subset\Omega$ die Gleichung $B\cap\Omega = B$ gilt.
- $Q(A) \ge 0$ für alle $A\in\mathcal{P}(\Omega)$. Das ist erfüllt wegen $Q(A) := \IP(A|B) \ge 0$ für alle $A\in\mathcal{P}(\Omega)$.
- $Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i})$ für $A_{i}\in\mathcal{P}(\Omega)$. Das gilt wegen folgender Gleichung:
$Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \IP\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\Big|B\right) = \frac{\IP\left(\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)\cap B\right)}{\IP(B)} = \frac{\IP\left(\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_{i}\cap B)\right)}{\IP(B)} = \frac{\sum_{i=1}^{\infty}\IP(A_{i}\cap B)}{\IP(B)} = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\IP(A_{i}\cap B)}{\IP(B)} = \sum_{i=1}^{\infty}\IP(A_{i}|B) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i})$
Würde das als Beweis genügen?
Nun ein Gegenbeispiel-Versuch zu b):
Ich weiß nicht genau, wie konkret das Gegenbeispiel sein muss. Reicht zum Beispiel Folgendes:
- $Q(\Omega) = \IP(B|\Omega) = \frac{\IP(B\cap \Omega}{\IP(\Omega)} = \frac{\IP(B)}{1} = \IP(B) \not= 1$ für alle $B\in\mathcal{P}(\Omega)$.
?
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 26.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Es sei [mm](\Omega,\IP)[/mm] ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
> sowie [mm]B \subset \Omega[/mm] ein Ereignis mit [mm]P(B) > 0[/mm]. Man
> beweise oder widerlege:
>
> (a) [mm]Q(A) := \IP(A|B)[/mm] definiert eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
>
> (b) [mm]Q(A) := \IP(B|A)[/mm] definiert eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
>
> Hinweis: Mit [mm]\IP(A|B)[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit für das
> Eintreten von A gemeint, wenn B vorher eingetreten ist
> (bedingte Wahrscheinlichkeit).
> Hallo!
>
> Mit der obigen Aufgabe habe ich Probleme, die Beweise bzw.
> Gegenbeispiele zu führen / zu finden.
>
> Zunächst meine Vermutungen:
> (a) gilt
> (b) gilt nicht
>
> Nun ein Beweis-Versuch zu (a):
>
> Wenn Q eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein soll, muss
> gelten:
> - [mm]Q:\mathcal{P}(\Omega)\to[0,1][/mm]. Dies ist wegen [mm]Q(A) := \IP(A|B)\in [0,1][/mm]
> erfüllt.
> - [mm]Q(\Omega) = 1[/mm]. Dies ist erfüllt wegen [mm]Q(\Omega) = \IP(\Omega|B) = \frac{\IP(\Omega\cap B)}{\IP(B)} = \frac{\IP(B)}{\IP(B)} = 1[/mm],
> da wegen [mm]B\subset\Omega[/mm] die Gleichung [mm]B\cap\Omega = B[/mm]
> gilt.
> - [mm]Q(A) \ge 0[/mm] für alle [mm]A\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm]. Das ist
> erfüllt wegen [mm]Q(A) := \IP(A|B) \ge 0[/mm] für alle
> [mm]A\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm].
> - [mm]Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i})[/mm]
> für [mm]A_{i}\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm]. Das gilt wegen folgender
> Gleichung:
>
> [mm]Q\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right) = \IP\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\Big|B\right) = \frac{\IP\left(\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)\cap B\right)}{\IP(B)} = \frac{\IP\left(\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_{i}\cap B)\right)}{\IP(B)} = \frac{\sum_{i=1}^{\infty}\IP(A_{i}\cap B)}{\IP(B)} = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\IP(A_{i}\cap B)}{\IP(B)} = \sum_{i=1}^{\infty}\IP(A_{i}|B) = \sum_{i=1}^{\infty}Q(A_{i})[/mm]
>
> Würde das als Beweis genügen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun ein Gegenbeispiel-Versuch zu b):
>
> Ich weiß nicht genau, wie konkret das Gegenbeispiel sein
> muss. Reicht zum Beispiel Folgendes:
>
> - [mm]Q(\Omega) = \IP(B|\Omega) = \frac{\IP(B\cap \Omega}{\IP(\Omega)} = \frac{\IP(B)}{1} = \IP(B) \not= 1[/mm]
> für alle [mm]B\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm].
>
Nein, hier musst du einen konkreten W-Raum angeben, wo das nicht erfuellt ist. Was ist $B_$?
vg Luis
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Hallo luis52,
auch hier danke für deine Antwort!
> > Nun ein Gegenbeispiel-Versuch zu b):
> >
> > Ich weiß nicht genau, wie konkret das Gegenbeispiel sein
> > muss. Reicht zum Beispiel Folgendes:
> >
> > - [mm]Q(\Omega) = \IP(B|\Omega) = \frac{\IP(B\cap \Omega}{\IP(\Omega)} = \frac{\IP(B)}{1} = \IP(B) \not= 1[/mm]
> > für alle [mm]B\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm].
> >
>
> Nein, hier musst du einen konkreten W-Raum angeben, wo das
> nicht erfuellt ist. Was ist [mm]B_[/mm]?
B sollte oben das B aus der Aufgabenstellung sein.
Mein Wahrscheinlichkeitsraum wäre ja dann: [mm] (\Omega,\mathcal{P}(\Omega),Q).
[/mm]
Dann ist nun zum Beispiel [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z)\}$ [/mm] die Ergebnismenge des Experiments, dass eine Münze zweimal geworfen wird. D.h. [mm] \IP [/mm] ist Laplace-verteilt. Nun wähle ich $B = [mm] \{(K,K),(K,Z)\}\in\mathcal{P}(\Omega)$.
[/mm]
Nun wird per Aufgabenstellung definiert: $Q(A) := [mm] \IP(B|A)$. [/mm] Nun meine Frage: Ist nun Q oder [mm] \IP [/mm] die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Wahrscheinlichkeitsraums? Eigentlich doch Q, weil ich ja nun nachweisen möchte, dass Q eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, oder?
Oder vermurkse ich irgendwas mit den Wahrscheinlichkeitsräumen?
Und nun sieht man schon:
[mm] $Q(\Omega) [/mm] = [mm] \IP(B|A) [/mm] = [mm] \frac{\IP(B\cap \Omega)}{\IP(\Omega)} [/mm] = [mm] \frac{\IP(B)}{1} [/mm] = [mm] \IP(B) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\not= [/mm] 1$
Okay als Gegenbeispiel?
Danke für eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Di 27.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Nun meine Frage: Ist nun Q oder [mm]\IP[/mm] die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung des Wahrscheinlichkeitsraums?
> Eigentlich doch Q, weil ich ja nun nachweisen möchte, dass
> Q eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, oder?
Ich interpretiere die Aufgabe wie folgt: Wenn $P_$ ein Wsk-Mass ist,
ist dann auch $Q_$ mit
(a) $Q(A)= [mm] P(A\mid [/mm] B)$
(b) $Q(A)= [mm] P(B\mid [/mm] A)$
ein Wsk-Mass?
Den ersten Fall hast du schon ja beantwortet.
>
> Oder vermurkse ich irgendwas mit den
> Wahrscheinlichkeitsräumen?
>
> Und nun sieht man schon:
>
> [mm]Q(\Omega) = \IP(B|A) = \frac{\IP(B\cap \Omega)}{\IP(\Omega)} = \frac{\IP(B)}{1} = \IP(B) = \frac{1}{2}\not= 1[/mm]
>
> Okay als Gegenbeispiel?
vg Luis
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Hallo!
Also untersuche ich sozusagen, ob der Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \red{Q})$ [/mm] wirklich einer ist?
Danke,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Di 27.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo!
>
> Also untersuche ich sozusagen, ob der
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \red{Q})[/mm]
> wirklich einer ist?
>
vg Luis
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Okay,
vielen Dank luis52!
Grüße,
Stefan
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