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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Ivyno |
| Aufgabe | Lösen der logistischen Gleichung.
[mm] \bruch{dx(t)}{dt}=r*x(t)*(1-\bruch{x(t)}{k})
[/mm]
r... Wachstumsparameter
x(t)...Populationsgröße
k...Begrenzungsfaktor (Kapazität) |
Hallo an alle!
Mein Problem ist, wie genau ich hier zu einer Lösung kommen soll. Mein Ansatz war der folgende:
Erstmal vereinfachte Schreibweise:
[mm] x'=rx-\bruch{rx^{2}}{k}
[/mm]
Umformung:
[mm] -x+rx=\bruch{rx^{2}}{k}
[/mm]
hier dachte ich mir dann vielleicht einen Störgliedansatz zu nehmen. So hab ich erst die homogene Lösung berechnet.
[mm] x_{h}: x=x_{0}e^{rt}
[/mm]
Aber die partikuläre Lösung ist wegen dem Quadrat von x irgendwie komisch und mir will kein Ansatz einfallen.
Könnte mir hier jemand helfen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lösen der logistischen Gleichung.
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> [mm]\bruch{dx(t)}{dt}=r*x(t)*(1-\bruch{x(t)}{k})[/mm]
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> r... Wachstumsparameter
> x(t)...Populationsgröße
> k...Begrenzungsfaktor (Kapazität)
> Hallo an alle!
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> Mein Problem ist, wie genau ich hier zu einer Lösung
> kommen soll. Mein Ansatz war der folgende:
>
> Erstmal vereinfachte Schreibweise:
>
> [mm]x'=rx-\bruch{rx^{2}}{k}[/mm]
>
> Umformung:
>
> [mm]-x+rx=\bruch{rx^{2}}{k}[/mm]
>
> hier dachte ich mir dann vielleicht einen Störgliedansatz
> zu nehmen. So hab ich erst die homogene Lösung berechnet.
>
> [mm]x_{h}: x=x_{0}e^{rt}[/mm]
>
> Aber die partikuläre Lösung ist wegen dem Quadrat von x
> irgendwie komisch und mir will kein Ansatz einfallen.
hallo,
hier liegt eine bernoulli dgl vor. die solltet ihr doch behandelt haben?
ansonsten versuch den ansatz: [mm] u=\frac{1}{x}
[/mm]
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> Könnte mir hier jemand helfen??
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
gruß tee
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die logistische Gleichung wird z.B. im Schulbuch "Elemente der Mathematik", LK Analysis, vom Schrodel Verlag, S.301/302 behandelt.
Wenn Du deinen Faktor k vor die Klammer ziehst, kommst Du ungefähr auf das:
[mm] $\dot [/mm] x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] r*x(t)*(S-x(t))$
mit der Lösung: $x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-r*S*t}}$
[/mm]
A = Anfangspopulation zum Zeitpunkt t = 0 .
S = obere Schranke der Population.
[mm] $\frac{d \; x(t)}{dt} \; [/mm] = [mm] \; [/mm] r*x(t)*(S-x(t))$
[mm] $\int \frac{1}{x*(S-x)} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; r*\int [/mm] dt $
Das linke Integral löst man mit Partialbruchzerlegung:
[mm] $\int \frac{1}{x*(S-x)} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; \int \left( \frac{B}{x} +\frac{D}{(S-x)} \right) \; [/mm] dx $
$1 = B*(S-x) + D*x$
$1 = x*(D-B) + B*S$
also D = B und $B [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{S}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{x*(S-x)} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{S}\int \left( \frac{1}{x} +\frac{1}{(S-x)} \right) \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; r*\int [/mm] dt$
[mm] $ln|x|-ln|S-x|\; [/mm] = [mm] \; [/mm] r*S*t + [mm] ln|C_1|$
[/mm]
[mm] $\frac{x}{S-x} \; [/mm] = [mm] \; C_1*e^{r*S*t}$
[/mm]
[mm] $\frac{S-x}{x} \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{x} [/mm] -1 [mm] \; [/mm] = [mm] \; C*e^{-r*S*t}$
[/mm]
[mm] $\frac{S}{x} \; [/mm] = [mm] \; 1+C*e^{-r*S*t}$
[/mm]
$x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{1+C*e^{-r*S*t}}$
[/mm]
Anfangsbedingung: x(t=0) = A (A wie Anfangspopulation)
$x(t=0) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] A [mm] \; =\frac{S}{1+C*}$
[/mm]
$1+C [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{A}$
[/mm]
$C [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S-A}{A}$
[/mm]
$x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{1+\frac{(S-A)}{A}*e^{-r*S*t}} \; [/mm] = [mm] \; \frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-r*S*t}}$
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
ergänze doch bitte Dein Profil. Damit wir wissen, ob Du Schüler oder Student bist.
LG, Martinius
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