Verhalten von Lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | x'= [mm] -(x+t)^2
[/mm]
-Substitution, u=x+t
-Diskutieren und skizzieren des Verhaltens der Lösung für u
-Verhalten der Lösung für x |
Also ich habe einmal die Substition durchgeführt, dann komme ich auf folgende Differentialgleichung: [mm] u'=1-u^2 [/mm]
(Diese DGL habe ich gelöst mittels Partialburchzerlegung/Trennung der Variablen, aber mein Prof hat gesagt, das wäre alles nicht nötig, also die DGL explizit zu lösen....
[mm] u'=1-u^2 [/mm] ist ja eine Parabel (4.Hauptlage) um 1 nach oben verschoben, die Nullstellen sind, +1 und -1, was kann ich noch bzgl der Diskussion des Verhaltens der Lösung für u sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 So 02.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> x'= [mm]-(x+t)^2[/mm]
> -Substitution, u=x+t
> -Diskutieren und skizzieren des Verhaltens der Lösung
> für u
> -Verhalten der Lösung für x
> Also ich habe einmal die Substition durchgeführt, dann
> komme ich auf folgende Differentialgleichung: [mm]u'=1-u^2[/mm]
> (Diese DGL habe ich gelöst mittels
> Partialburchzerlegung/Trennung der Variablen, aber mein
> Prof hat gesagt, das wäre alles nicht nötig, also die DGL
> explizit zu lösen....
>
> [mm]u'=1-u^2[/mm] ist ja eine Parabel
??????????
> (4.Hauptlage) um 1 nach oben
> verschoben, die Nullstellen sind, +1 und -1, was kann ich
> noch bzgl der Diskussion des Verhaltens der Lösung für u
> sagen?
Irgendetwas fehlt. Kann es sein, dass ein Anfangswertproblem gegeben ist ?
Die DGL [mm]u'=1-u^2[/mm] hat viele Lösungen !
Von "der" Lösung zu reden , ist Unsinn.
FRED
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| Aufgabe | also nocheinmal die Aufgabenstellung :)
[mm] x'=-(x+t)^2 [/mm] x(t0)=x0, zz war, dass die Substitution u=x+t auf eine autonome DG führt |
also wie ich bereits gezeigt habe, komme ich ja auf die autonome DG u'=1-u² wenn ich substituiere.
und natürlich habe ich mich falsch ausgedrückt, natürlich sind es Lösungen,
aber meine Frage wie die sich verhalten, bzw. woher kann ich das Verhakten ableiten? (weil Prof hat gesagt, die explizite Berechnung ist nicht notwendig) muss ich ein Richtungsfeld für u'=1-u² zeichnen, oder kann man auch anders argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mo 03.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtungsfeld ist die richtige Idee, du musst es nicht unbedingt zeichnen, wenn du betrachtest, wie die Steigung guer u=konst [mm] 0,\pm1,\pm2 [/mm] usw aussieht/
da du einen Anfangswert gegeben hast musst du ueberlegen, ob die loesung fuer jede Wahl von [mm] x_0,t_0 [/mm] eindeutig ist.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:00 Mo 03.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> also nocheinmal die Aufgabenstellung :)
> [mm]x'=-(x+t)^2[/mm] x(t0)=x0, zz war, dass die Substitution u=x+t
> auf eine autonome DG führt
>
> also wie ich bereits gezeigt habe, komme ich ja auf die
> autonome DG u'=1-u² wenn ich substituiere.
> und natürlich habe ich mich falsch ausgedrückt,
> natürlich sind es Lösungen,
Aha !
Jetzt hast Du also das AWP
[mm] u'=1-u^2, u(t_0)=x_0+t_0.
[/mm]
Nach Picard -Lindelöf hat dieses AWP genau eine nichtfortsetzbare Lösung
[mm] u:(w_{-},w_{+}) \to \IR.
[/mm]
Die Dgl ist autonom, also ist u monoton. Was kannst Du über das max. Existenzintervall [mm] (w_{-},w_{+}) [/mm] sagen ?
FRED
> aber meine Frage wie die sich verhalten, bzw. woher kann
> ich das Verhakten ableiten? (weil Prof hat gesagt, die
> explizite Berechnung ist nicht notwendig) muss ich ein
> Richtungsfeld für u'=1-u² zeichnen, oder kann man auch
> anders argumentieren?
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Also erstmal vielen Dank euch beiden.
@fred97: kann man den wenn die Dg autonom und monoton ist "sofort" ein maximales Existensintervall angeben , bzw. Aussagen darüber machen?
Weil wir hatten in der VO/unserem Skript keinen Zusammenhang kennengelernt, oder muss ich die Lösung des AWP berechnen und kann erst dann Aussagen zum Existenzintervall machen?
@leduart: ich habe das Richtungsfeld jetzt zeichnen lassen, http://i43.tinypic.com/54g5et.jpg, wie ich hier erkennen kann ist die Steigung bei u=1, und u=-1 für alle t gleich 0
aber was könnten ich noch aussagen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 04.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was kannst du damit aussagen ueber Loesungen mit Anfangswert [mm] u(t_0)=\pm [/mm] 1, ,oder [mm] -11 [/mm] usw.
Gruss leduart
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also Lösungen für die $ [mm] -1
und ich weiß auch, dass diese Lösungen durch die geraden bei 1 und -1 beschränkt wird, aber ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, wie kann ich Aussagen über Lösungen für die [mm] u(t_0)=1 [/mm] oder [mm] u(t_0)\ge1 [/mm] ist treffen?
Kannst mir bitte weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Di 04.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> also Lösungen für die [mm]-1
> rot eingezeichnete Kurve die durch den ursprung geht,
> oder?
> und ich weiß auch, dass diese Lösungen durch die geraden
> bei 1 und -1 beschränkt wird, aber ich stehe gerade etwas
> auf dem Schlauch, wie kann ich Aussagen über Lösungen
> für die [mm]u(t_0)=1[/mm] oder [mm]u(t_0)\ge1[/mm] ist treffen?
>
> Kannst mir bitte weiterhelfen?
Nehmen wir z.B. das AWP
$ [mm] u'=1-u^2, u(t_0)=1 [/mm] $
Die eindeutig bestimmte Lösung dieses AWPs ist: u(t)=1 (t [mm] \in \IR)
[/mm]
Denn 1 ist Gleichgewichtspunkt der DGL $ [mm] u'=1-u^2$.
[/mm]
So, Du setzt Dich jetzt mal auf den Hosenboden und arbeitest nach:
"Gleichgewichtslösung", "stabil", asymptotisch stabil", "instabil"
und alles was zur Stabilitätstheorie gehört, was Ihr bislang gemacht habt.
FRED
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