Verhalten im Unendlichen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:09 Mi 24.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} [/mm] f(x) = ...$ |
Hallo,
zur Zeit wiederhole ich die Kurvendiskussion, die in der Oberstufe so behandelt wird.
Beim wiederholen von Aufgaben tauchte auch das Verhalten einer Funktion im Unendlichen auf und ich musste feststellen, dass ich hier wenig bis garkeine Übung/Ahnung hab.
Beispielsweise die Funktion $\ f(x) = [mm] x^3-6x^2+9x [/mm] $
In meinem Buch steht
$\ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty$
[/mm]
$\ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x) = [mm] -\infty$
[/mm]
Ich weiss natürlich, dass die Funktion für $\ [mm] x\rightarrow \infty [/mm] $ gegen Unendlich geht, doch wie ist das rechnerisch nachzuweisen?
Hätte ich es mit einer verketteten Funktion zu tun, würde ich den Grenzwert nicht mehr kennen und wäre gezwungen, ihn rechnerisch zu ermitteln.
Logischerweise würde ich behaupten, dass man einfach eine Folge von $\ [mm] x_i$ [/mm] in die Funktion $\ f(x) $ einsetzt und beobachtet, wohin $\ [mm] f(x_i) [/mm] $ konvergiert ... aber das wäre irgendwie eine sehr lange Prozedur, meine ich.
Würde mich freuen, wenn mir hier jemand Aufschluss geben könnte.
Grüße
ChopSuey
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Hallo,
das Ziel ist immer das Gleiche:
Schreibe den Funktionsterm derart, dass du es "sehen" kannst, was für x [mm] \rightarrow \pm \infty [/mm] passiert.
Der Weg dahin hängt aber von der Art des Funktionsterms ab.
Beispiel: Ganzrationale Funktionen (was ich hier jetzt aufschreibe, überlegt man sich nur einmal, danach "weiß" man es)
> [mm]\ \limes_{x\rightarrow\pm\infty} f(x) = ...[/mm]
> Hallo,
>
> zur Zeit wiederhole ich die Kurvendiskussion, die in der
> Oberstufe so behandelt wird.
> Beim wiederholen von Aufgaben tauchte auch das Verhalten
> einer Funktion im Unendlichen auf und ich musste
> feststellen, dass ich hier wenig bis garkeine Übung/Ahnung
> hab.
>
> Beispielsweise die Funktion [mm]\ f(x) = x^3-6x^2+9x[/mm]
Das kannst du etwa so schreiben:
[mm]x^3-6x^2+9x=x^3*\left(1-\bruch{6}{x}+\bruch{9}{x^2} \right)[/mm]
Da die Klammer gegen 1 konvergiert, bestimmt also einzig und alleine dein Summand mit dem höchsten Exponenten über das Verhalten gegen [mm] \pm \infty.
[/mm]
So kommst du ganz leicht zu einem Kriterium für ganzrationale Funktionen:
1. Unterscheidung zwischen geradem und ungeradem Grad (bei [mm] x^4 [/mm] geht es beide Male in die gleiche Richtung, bei [mm] x^3 [/mm] einmal so und einmal so)
2. Unterscheidung zwischen dem Vorzeichen vor diesem Summand [mm] (-3x^4 [/mm] führt ja dazu, dass das in beide Richtungen gegen [mm] -\infty [/mm] abhaut)
Bei gebrochen-rationalen Funktionen macht man das ähnlich (vielleicht kommt dir das von den Folgen bekannt vor):
Beispiel:
[mm]f(x)=\bruch{-4x^7+x^5+8x-14}{x^9+1}[/mm]
Du klammerst die höchste überhaupt auftretende Potenz von x im Nenner und im Zähler aus und kürzt:
[mm]f(x)=\bruch{x^9*\left( \bruch{-4}{x^2}+\bruch{8}{x^8}-\bruch{14}{x^9} \right)}{x^9(1+\bruch{1}{x^9})}[/mm]
Dann siehst du, was passiert: Zähler geht gegen 0, Nenner gegen 1 und fertig.
Daraus kannst du dir dann auch ein einfaches Kriterium machen, wenn du es einmal durchgerechnet hast:
1. Ist der Exponent oben größer, haut es gegen [mm] \pm \infty [/mm] ab (hängt dann wie bei den ganzrationalen vom Vorzeichen ab)
2. Ist der Exponent unten größer (wie im Beispiel), geht es gegen 0
3. Ist der max. Exponent oben und unten gleich, geht es gegen eine feste Zahl, nämlich gerade den Quotienten der Koeffizienten davon.
Steht etwa sowas da:
[mm]f(x)=\bruch{-4x^7+x^5+8x-14}{2x^7+1}[/mm]
dann geht das [mm] \bruch{-4}{2}=-2.
[/mm]
Tauchen Exponentialfunktionen auf, gibt es kein so ganz einheitliches Vorgehen mehr, da braucht man in der Regel nur folgendes Wissen:
1. Eine Exponentialfunktion wächst stärker als jede Potenz von x (z.B. für [mm]\bruch{e^x}{x}[/mm], was deswegen gegen [mm] \pm \infty [/mm] geht, obwohl sowohl Nenner als auch Zähler für sich gegen [mm] \pm \infty [/mm] gehen)
2. Das Verhalten von [mm] e^x [/mm] selbst für x [mm] \rightarrow \pm \infty.
[/mm]
Ähnliches gilt natürlich für Logarithmen. Wurzeln sind ja im wesentlichen auch nur Potenzen von x [mm] (\wurzel{x} [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{2}}, [/mm] kannst du also auch ähnlich argumentieren, Sinus und Cosinus sind immer beschränkt, das Verhalten des Tangens ist auch klar.
Bei Kombinationen von denen hilft es dir eigentlich am meisten, immer nach dem Verhalten der Einzelnen zu schauen und dann Grundwissen zu benutzen.
Beispiel:
[mm]f(x)=\bruch{sin(x)}{\wurzel{x^2}}[/mm]
sin(x) bleibt immer zwischen -1 und 1, spielt also für die Grenzwerte keine Rolle. Entscheidend ist also das Verhalten von [mm] \wurzel{x^2} [/mm] und das ist dir bekannt.
Ich hoffe, die Tipps helfen dir ein bisschen beim Üben in diesem Themenbereich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mi 24.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo weightgainer,
vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort auf meine Fragen.
Ich bin jetzt einen riesen Schritt weiter und auch die Erklärungen habe ich soweit alle verstanden.
Wo ich noch ein Verständnisproblem habe ist hier:
> Das kannst du etwa so schreiben:
> [mm]x^3-6x^2+9x=x^3*\left(1-\bruch{6}{x}+\bruch{9}{x^2} \right)[/mm]
>
> Da die Klammer gegen 1 konvergiert, bestimmt also einzig
> und alleine dein Summand mit dem höchsten Exponenten über
> das Verhalten gegen [mm]\pm \infty.[/mm]
Hier macht sich die Wissenslücke bezüglich der Grenzwerte von Folgen bemerkbar. Woher weiss ich, ohne lauter Werte für $\ x $ einzusetzen, dass die Klammer gegen 1 konvergiert?
Muss ich das mittels Epsilonraum herausfinden oder verschiedene $\ x $ testen? Oder gar beides nicht?
>
> Ich hoffe, die Tipps helfen dir ein bisschen beim Üben in
> diesem Themenbereich.
Hab mir das alles vorerst Ausgedruckt und werde damit arbeiten
Danke !
Gruß
ChopSuey
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> Hallo weightgainer,
>
> vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort auf meine
> Fragen.
> Ich bin jetzt einen riesen Schritt weiter und auch die
> Erklärungen habe ich soweit alle verstanden.
>
> Wo ich noch ein Verständnisproblem habe ist hier:
>
>
> > Das kannst du etwa so schreiben:
> > [mm]x^3-6x^2+9x=x^3*\left(1-\bruch{6}{x}+\bruch{9}{x^2} \right)[/mm]
>
> >
> > Da die Klammer gegen 1 konvergiert, bestimmt also einzig
> > und alleine dein Summand mit dem höchsten Exponenten über
> > das Verhalten gegen [mm]\pm \infty.[/mm]
>
> Hier macht sich die Wissenslücke bezüglich der Grenzwerte
> von Folgen bemerkbar. Woher weiss ich, ohne lauter Werte
> für [mm]\ x[/mm] einzusetzen, dass die Klammer gegen 1 konvergiert?
du setzt quasi für alle x [mm] \infty [/mm] ein, und da das innerhalb der klammer jeweils nur im nenner steht, wird daraus 0, und allein die 1 bleibt stehen. [mm] (\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{-6}{x}=0; \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{9}{x^2}=0)
[/mm]
>
> Muss ich das mittels Epsilonraum herausfinden oder
> verschiedene [mm]\ x[/mm] testen? Oder gar beides nicht?
>
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> >
> > Ich hoffe, die Tipps helfen dir ein bisschen beim Üben in
> > diesem Themenbereich.
>
> Hab mir das alles vorerst Ausgedruckt und werde damit
> arbeiten
> Danke !
>
> Gruß
> ChopSuey
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