Verhalten der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Do 28.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in Abhängigkeitvon [mm] \alpha \in \IR [/mm] das Verhalten der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*\red{4}*...*(2n)}\right)^{\alpha}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass [mm] \bruch{1}{4n}\le\left(\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*\red{4}*...*(2n)}\right)^{\alpha}\le\bruch{1}{2n+1} [/mm] |
Hallo :)
ich würde den Hinweis mittels Induktion beweisen, habe aber festgestellt dass wenn ich für den Induktionsanfang n=1 setze die Ungleichung stimmt, aber ab n [mm] \ge [/mm] 1 stimmt siei nicht mehr.
Deshalb habt ihr ne andere Idee die Ungleichung zu beweisen?
Ich weiß auch dass die Reihe für [mm] \alpha \le [/mm] 2 divergiert und für [mm] \alpha [/mm] > 2 konvergiert.
Danke :)
Gruß
[mm] lilia_1
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Do 28.11.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Lila!
Kann es sein, dass es im Nenner lauten muss: [mm] $2*\red{4}*6*...*(2n)$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Do 28.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
upps... ja sorry ist ein Tippfehler, da muss ne 4 hin :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Do 28.11.2013 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Lila!
> Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass [mm]\bruch{1}{4n}\le\left(\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*4*...*(2n)}\right)^{\alpha}\le\bruch{1}{2n+1}[/mm]
Hat sich hier gar noch ein weiterer Tippfehler eingeschlichen?
Denn durch [mm] $\bruch{1}{4n} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] (...)^{\alpha}$ [/mm] ergäbe sich stets und immer Divergenz.
Das würde auch erklären, warum Du beim Beweis Probleme hast.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Do 28.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
upps... ja sorry da soll [mm] \bruch{1}{4n} \le (...)^2 [/mm] heißen
|
|
|
| |
|
Hallo Lila_1,
wo jetzt die Tippfehler geklärt sind...
> Bestimmen Sie in Abhängigkeitvon [mm]\alpha \in \IR[/mm] das
> Verhalten der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*\red{4}*...*(2n)}\right)^{\alpha}[/mm]
Ja, doof. Das Quotientenkriterium bringt nichts.
Man kann die Reihe anders schreiben, vielleicht hilft das ja ein bisschen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*4*...*(2n)}\right)^{\alpha}=\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{(2n)!}{(n!*2^n)^2}\right)^{\alpha}
[/mm]
> Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass
> [mm]\bruch{1}{4n}\le\left(\bruch{1*3*...*(2n-1)}{2*4*...*(2n)}\right)^{\red{2}}\le\bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> Hallo :)
> ich würde den Hinweis mittels Induktion beweisen, habe
> aber festgestellt dass wenn ich für den Induktionsanfang
> n=1 setze die Ungleichung stimmt, aber ab n [mm]\ge[/mm] 1 stimmt
> sie nicht mehr.
Wieso nicht? Ich habe entsprechend einer Deiner Mitteilungen den Exponenten auf 2 korrigiert.
Behauptet wird also:
für n=1 [mm] \quad\bruch{1}{4}\le\bruch{1}{4}\le\bruch{1}{3} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
für n=2 [mm] \quad\bruch{1}{8}\le\bruch{9}{64}\le\bruch{1}{5} [/mm]
für n=3 [mm] \quad\bruch{1}{12}\le\bruch{25}{256}\le\bruch{1}{7} [/mm]
etc.
> Deshalb habt ihr ne andere Idee die Ungleichung zu
> beweisen?
Versuchs doch erstmal mit Induktion, das sieht am plausibelsten aus.
> Ich weiß auch dass die Reihe für [mm]\alpha \le[/mm] 2 divergiert
> und für [mm]\alpha[/mm] > 2 konvergiert.
Bis dahin sind es aber noch ein paar mehr Schritte.
> Danke :)
> Gruß
> [mm]lilia_1[/mm]
Noch ein Tippfehler...
Du hast Dir einen Namen ausgesucht, den unser Parser immer als Formel deutet, daher die 1 als unterer Index. Ich habe das oben in der Anrede umgangen, indem ich vor den Namen [code] und dahinter [/code] geschrieben habe.
Grüße
reverend
|
|
|
|
