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| Aufgabe | | Im Dreieck ABC teilt der Punkt D die Seite BC im Verhältnis 3:1. In welchem Verhältnis teilt die Transversale AD die Seitenhalbierende durch C, also CM? |
Hallo, ich habe erstmal versucht, die Aufgabe zu lösen, indem ich erstmal die Vorraussetzung der Verktorkette a+b+c=0 (Nullvektor)aufstelle, Festlegung: AT=rTD (T ist der Schnittpunkt von AD und CM), TD=(1-r)AD, CT=tCM, TM=(1-t)CM, Geschlossene Vektorketten: AT+TC+CA=0, AB+BC+CA=0... aber jetzt fällt mir auf, dass das ja eher einem Beweis ähnelt. Wie kann ich diese Aufgabe lösen? Dankeschön.
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> Im Dreieck ABC teilt der Punkt D die Seite BC im
> Verhältnis 3:1. In welchem Verhältnis teilt die
> Transversale AD die Seitenhalbierende durch C, also CM?
> Hallo, ich habe erstmal versucht, die Aufgabe zu lösen,
> indem ich erstmal die Vorraussetzung der Verktorkette
> a+b+c=0 (Nullvektor)aufstelle, Festlegung: AT=rTD (T ist
> der Schnittpunkt von AD und CM), TD=(1-r)AD, CT=tCM,
> TM=(1-t)CM, Geschlossene Vektorketten: AT+TC+CA=0,
> AB+BC+CA=0... aber jetzt fällt mir auf, dass das ja eher
> einem Beweis ähnelt. Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Hallo Piacynthia,
wähle für eine solche Aufgabe in der Ebene zwei
Vektoren als Grundvektoren, zum Beispiel:
[mm] \vec{u}=\overrightarrow{AB}\qquad\vec{v}=\overrightarrow{AC}
[/mm]
Damit kannst du zunächst die Vektoren [mm] \overrightarrow{AM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{AD}
[/mm]
als Linearkombinationen von [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] schreiben,
dann weiter auch [mm] \overrightarrow{AT},\overrightarrow{TC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA}.
[/mm]
Dabei brauchst du Faktoren wie z.B. dein obiges t.
Dann bildest du die Summe [mm] \overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CA} [/mm] , welche
ja den Nullvektor ergeben müsste, und machst dir die
Konsequenzen klar.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Do 17.09.2009 | | Autor: | Piacynthia |
Danke für deine schnelle Antwort, aber ich verstehe nicht, was du mit LK von CM, MB usw. meinst. Diese Vektoren sind doch nicht gegeben oder soll ich einfach meine Festlegungen( AT=rAD...) nehmen? und die Grundvektoren einfach ausdenken? Vielleicht könntest du die erste LK aufstellen, dann ist es für mich einfacher zu verstehen.
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> Danke für deine schnelle Antwort, aber ich verstehe nicht,
> was du mit LK von CM, MB usw. meinst. Diese Vektoren sind
> doch nicht gegeben oder soll ich einfach meine
> Festlegungen( AT=rAD...) nehmen? und die Grundvektoren
> einfach ausdenken? Vielleicht könntest du die erste LK
> aufstellen, dann ist es für mich einfacher zu verstehen.
> Im Dreieck ABC teilt der Punkt D die Seite BC im
> Verhältnis 3:1. In welchem Verhältnis teilt die
> Transversale AD die Seitenhalbierende durch C, also CM?
> Hallo, ich habe erstmal versucht, die Aufgabe zu lösen,
> indem ich erstmal die Vorraussetzung der Verktorkette
> a+b+c=0 (Nullvektor)aufstelle, Festlegung: AT=rTD (T ist
> der Schnittpunkt von AD und CM), TD=(1-r)AD, CT=tCM,
> TM=(1-t)CM, Geschlossene Vektorketten: AT+TC+CA=0,
> AB+BC+CA=0... aber jetzt fällt mir auf, dass das ja eher
> einem Beweis ähnelt. Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Hallo Piacynthia,
wähle für eine solche Aufgabe in der Ebene zwei
Vektoren als Grundvektoren, zum Beispiel:
[mm] \vec{u}=\overrightarrow{AB}\qquad\vec{v}=\overrightarrow{AC}
[/mm]
Damit kannst du zunächst die Vektoren [mm] \overrightarrow{AM},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{AD}
[/mm]
als Linearkombinationen von [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] schreiben,
dann weiter auch [mm] \overrightarrow{AT},\overrightarrow{TC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA}.
[/mm]
Dabei brauchst du Faktoren wie z.B. dein obiges t.
Dann bildest du die Summe [mm] \overrightarrow{AT}+\overrightarrow{TC}+\overrightarrow{CA} [/mm] , welche
ja den Nullvektor ergeben müsste, und machst dir die
Konsequenzen klar.
Hallo,
wir dürfen ja davon ausgehen, dass das Originaldreieck
ABC und damit die Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] als gegeben betrach-
tet werden können.
Damit geschrieben ist
[mm] \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}*\vec{u}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\vec{v}-\frac{1}{2}*\vec{u}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\vec{u}+\frac{3}{4}*(\vec{v}-\vec{u})=.....
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AT}=r*\overrightarrow{AD}=..... [/mm]
etc.
LG Al-Chw.
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