Vereinigung von Untergruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Hab wieder ein kleines aber schweres Beispiel für euch.
Ist auch die Vereinigung von Untergruppen einer Gruppe wieder ein Gruppe? Eine Halbgruppe? Ein Verknüpfungsgebilde?
Danke für die Antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Hannes!
Bitte teile in deinen Fragen auch eigene Ideen und Ansätze mit. Da du so viele Fragen postest, ist deine "Ich habe wirklich keine Ahnung wie das geht"-Standardbegründung nicht mehr allzu überzeugend. Mache dir bitte selbst Gedanken zu dem jeweiligen Problem und unterlasse den Post bitte bevor du nicht wenigstens ein paar (am besten mindestens 10) Minuten darüber nachgedacht hast. Wenn ich hier zu Unrecht der Ansicht bin, dass du dir keine Gedanken machst und einfach postest, dann zeige mir bitte, dass dem nicht so ist und zeige uns bitte deine eigenen Ansätze.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo na ja hab heute von unserem Hochschulprofessor gehört das dem nicht so ist sondern nur die direkte Summe wieder einen Unterraum ist. Nun meine Frage, tja warum ist das so? Denn ich glaube ja dass die Vereinigung wieder ein Unterraum ist da ja wieder die Kriterien erfüllt sind. Das ist echt alles was ich weiß....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Hannes!
Man kann dieses Problem ganz allgemein formulieren, da es für alle Algebren das gleiche ist:
Die Vereinigung zweier Unteralgebren muss selbst kein Unteralgebra sein, da die Verknüpfung der entstehenden Algebra nicht abgeschlossen sein muss. So können dir z.B. zwei Unteralgebren [mm] $A_1,A_2$ [/mm] der Algebra [mm] $A(S,\circ)$ [/mm] gegeben sein. Dann bildet die Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] zwei Elemente aus [mm] $A_1$ [/mm] auf ein Element aus [mm] $A_1$ [/mm] und zwei Elemente aus [mm] $A_2$ [/mm] auf ein Element aus [mm] $A_2$ [/mm] ab. Jedoch kannst du keine Aussage darüber treffen, ob auch die Verknüpfung eines Elementes aus [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] (oder umgekehrt) auf ein Element aus [mm] $A_1$ [/mm] oder [mm] $A_2$ [/mm] abgebildet wird. Demnach ist die Vereinigung zweier Unteralgebren im Allgemeinen keine Unteralgebra.
Zur Info (ich weiß nicht, ob dir der abstrakte Begriff der Algebra etwas sagt, daher nur zur Sicherheit):
Eine Algebra [mm] $A(S,f_1,f_2,...,f_n)$ [/mm] ist nichts weiter als eine Menge $S$ zusammen mit auf ihr definierten Operationen [mm] $f_i:S^{m}\to [/mm] S, [mm] m\in \IN$. [/mm] Dabei nennt man $m$ auch die Stelligkeit der Operation [mm] $f_i$. [/mm] Im Falle einer einfachen Untergruppe ist die zweistellige Operation, also eine die Verknüpfung [mm] $f_1:S^2\to [/mm] S$ gegeben. Alle weiteren Definitionen wie die einer Halbgruppe, eines Monoides, einer Gruppe etc. basieren auf dieser Definition einer Algebra. Daher ist die obige, auf die Algebra abstrahierte Ausführung gültig für alle algebraischen Strukturen.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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