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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 05.07.2015 | | Autor: | magics |
Hallo,
wie kommt man von
[mm] P((A_1 \cap A_1') \cup (A_2 \cap A_2'))
[/mm]
= [mm] P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2') \cup (A_1 \cap A_2') \cup (A_1' \cap A_2))
[/mm]
nach
[mm] 4p_1p_2 [/mm] - [mm] 2p_1^2p_2^2 [/mm] - [mm] 2p_1p_2^2 -2p_1^2p_2 [/mm] + [mm] 4p_1^2p_2^2 [/mm] - [mm] p_1^2p_2^2
[/mm]
wenn gilt:
[mm] P(A_1) [/mm] = [mm] P(A_1') [/mm] = [mm] p_1
[/mm]
[mm] P(A_2) [/mm] = [mm] P(A_2') [/mm] = [mm] p_2
[/mm]
?
Was habe ich bereits versucht, um selbst auf diese Lösung zu kommen?
1.
[mm] P((A_1 \cap A_1') \cup (A_2 \cap A_2'))
[/mm]
(Distributivgesetz)
= [mm] P((A_1 \cup A_1') \cap (A_1 \cup A_2') \cap (A_2 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2'))
[/mm]
= [mm] P((A_1 \cup A_1') [/mm] * [mm] (A_1 \cup A_2') [/mm] * [mm] (A_2 \cup A_1') [/mm] * [mm] (A_2 \cup A_2'))
[/mm]
Wo ich dann für jeden Faktor die Regel
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
anwende und das ganze in einer Klammern-Multiplikationsorgie endet, in der Polynome vorkommen, die eindeutig nicht zur Lösung gehören.
2.
Als zweites habe ich versucht auf
[mm] P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2') \cup (A_1 \cap A_2') \cup (A_1' \cap A_2))
[/mm]
die Regel
[mm] P(B_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup B_n) [/mm] = [mm] \summe_{1 \le i \le n}^{} P(B_i) [/mm] - [mm] \summe_{1 \le i < j \le n}^{} P(B_i \cap B_j) [/mm] + ... + [mm] (-1)^{n+1} P(B_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap B_n)
[/mm]
anzuwenden, mit einem beinahe so schlimmen Ergebnis.
Jetzt könnte ich mich natürlich in 1. und 2. verrechnet haben... allerdings ist der händische Weg zur Lösung irgendwie irrational kompliziert für eine Übungsaufgabe aus dem Buch.
Erbitte Unterstützung
lg
magics
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 So 05.07.2015 | | Autor: | magics |
Hatte mich vertippt und es nun korrigiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 So 05.07.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
>
> wie kommt man von
>
> [mm]P((A_1 \cap A_1') \cup (A_2 \cap A_2'))[/mm]
> = [mm]P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2') \cup (A_1 \cap A_2') \cup (A_1' \cap A_2))[/mm]
>
> nach
>
> [mm]4p_1p_2[/mm] - [mm]2p_1^2p_2^2[/mm] - [mm]2p_1p_2^2 -2p_1^2p_2[/mm] + [mm]4p_1^2p_2^2[/mm]
> - [mm]p_1^2p_2^2[/mm]
= [mm] $4p_1p_2- 2p_1^2p_2^2 [/mm] - [mm] 2p_1p_2^2 -2p_1^2p_2 [/mm] + [mm] p_1^2p_2^2$ [/mm] ?
>
> wenn gilt:
>
> [mm]P(A_1)[/mm] = [mm]P(A_1')[/mm] = [mm]p_1[/mm]
> [mm]P(A_2)[/mm] = [mm]P(A_2')[/mm] = [mm]p_2[/mm]
gibt es sonst keine weiteren Informationen? Dann vermute ich, kann man kein Ergebnis angeben.
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm]\cap[/mm] B) folgt
> [mm]P((A_1 \cap A_1') \cup (A_2 \cap A_2'))[/mm]
= [mm] $P(A_1\cap A_1') [/mm] + [mm] P(A_2\cap A_2') [/mm] - [mm] P((A_1\cap A_1') \cap (A_2\cap A_2'))$
[/mm]
Annahme: die Ereignisse sind alle untereinander unabhängig. Dann erhalte ich
[mm] $p_1^2 [/mm] + [mm] p_2^2 [/mm] - [mm] p_1^2p_2^2$, [/mm] was aber gar nicht zu dem Ergebnis oben passt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 So 05.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo magics!
Bitte poste die vollständige Aufgabenstellung. Ich bin mir jedenfalls nicht sicher, wie sie lauten soll.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Mo 06.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Ein Gerät bestehe aus zwei Bauteilen [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2, [/mm] die in Reihe angeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauteil [mm] T_1 [/mm] bzw. [mm] T_2 [/mm] während einer bestimmten Zeitdauer intakt bleibt, sei [mm] p_1 [/mm] bzw. [mm] p_2. [/mm] Die Zuverlässigkeit des Systems soll durch das Hinzuschalten gleichartiger Bauteile [mm] T_1' [/mm] bzw. [mm] T_2' [/mm] erhöht werden. Dafür kommen 2 Methoden in Frage, die miteinander verglichen werden sollen:
Methode I: Zu dem System wird ein identisches System als Reserve parallelgeschaltet
Methode II: Zu jedem Bauteil wird ein identisches Bauteil als Reserve parallelgeschaltet
Skizze: http://pastebin.com/kqEQqwRB
Man vergleiche die beiden Methoden, indem man unter geeigneten Annahmen die Warhscheinlichkeiten [mm] P_I [/mm] bzw. [mm] P_{II} [/mm] dafür berechnet, dass das nach der Methode I bzw. II veränderte Gerät während der festgelegten Zeitdauer intakt bleibt.
---
Für die Lösung wurde folgendes festgelegt:
[mm] A_i [/mm] = "Bauteil [mm] T_i [/mm] ist intakt", i=1,2
[mm] A_i' [/mm] = "Bauteil [mm] T_i' [/mm] ist intakt", i=1,2
Die Ereignisse sind vollständig unabhängig.
Für [mm] P_I
[/mm]
[mm] P_I [/mm] = [mm] P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2'))
[/mm]
= [mm] P(A_1 \cap A_2) [/mm] + [mm] P(A_1' \cap A_2') [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_2 \cap A_1' \cap A_2')
[/mm]
= [mm] 2p_1P_2 [/mm] - [mm] p_1^2p_2^2 [/mm] = [mm] p_1p_2(2 [/mm] - [mm] p_1p_2)
[/mm]
Der Ansatz für die Berechnung von [mm] P_{II} [/mm] steht bereits in der ursprünglichen Fragestellung, ich schreib ihn hier dennoch nochmal hin:
[mm] P_{II} [/mm] = [mm] P((A_1 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2'))
[/mm]
= [mm] P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2') \cup (A_1 \cap A_2') \cup (A_1' \cap A_2))
[/mm]
= [mm] 4p_1p_2 [/mm] $ - $ [mm] 2p_1^2p_2^2 [/mm] $ - $ [mm] 2p_1p_2^2 -2p_1^2p_2 [/mm] $ + $ [mm] 4p_1^2p_2^2 [/mm] $ - $ [mm] p_1^2p_2^2
[/mm]
= [mm] p_1p_2(4 [/mm] + [mm] p_1p_2 -2p_2 [/mm] - [mm] 2p_1)
[/mm]
= [mm] p_1p_2(2 [/mm] - [mm] p_1)(2 [/mm] - [mm] p_2)
[/mm]
Es gilt [mm] P_I [/mm] < P_II, falls 0 < [mm] p_1, p_2 [/mm] < 1, d.h. bei Verwendung von Methode II ist das System zuverlässiger. |
Nochmal die Frage: Wie löst man bei der Berechnung von [mm] P_{II} [/mm] die Klammern der Mengendarstellung auf?
Ich habe die Werte exakt übertragen und zweimal korrekturgelesen.
lg,
magics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 06.07.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ein Gerät bestehe aus zwei Bauteilen [mm]T_1[/mm] und [mm]T_2,[/mm] die in
> ..... Man vergleiche die beiden Methoden, indem man unter
> geeigneten Annahmen die Warhscheinlichkeiten [mm]P_I[/mm] bzw.
> [mm]P_{II}[/mm] dafür berechnet, dass das nach der Methode I bzw.
> II veränderte Gerät während der festgelegten Zeitdauer
> intakt bleibt.
Diese Aufgabe wurde vor kurzem schon im Forum diskutiert. Das macht nichts, auf ein Neues.
>
> Die Ereignisse sind vollständig unabhängig.
Das ist so wichtig, dass ohne diese Angabe die Aufgabe nicht lösbar ist. Resultat des Weglassens: Zeitverlust und Verwirrung.
>
> Für [mm]P_I[/mm]
> .....
> Der Ansatz für die Berechnung von [mm]P_{II}[/mm] steht bereits in
> der ursprünglichen Fragestellung, ich schreib ihn hier
> dennoch nochmal hin:
>
> [mm]P_{II}[/mm] = [mm]P((A_1 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2'))[/mm]
> = [mm]P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2') \cup (A_1 \cap A_2') \cup (A_1' \cap A_2))[/mm]
aus dem ersten Post: $ [mm] P((A_1 \cap A_1') \cup (A_2 \cap A_2')) [/mm] $
So sorgst Du für Verwirrung. Wäre der Text der Aufgabe dabei gewesen, wäre der Fehler aufgefallen.
> ...
> Nochmal die Frage: Wie löst man bei der Berechnung von
> [mm]P_{II}[/mm] die Klammern der Mengendarstellung auf?
So: [mm] $P_{II} [/mm] = [mm] P((A_1 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2')) [/mm] = [mm] P(A_1 \cup A_1') [/mm] * [mm] P(A_2 \cup A_2') =\left( P(A_1) + P(A_1') - P(A_1) * P(A_1')\right) [/mm] * [mm] \left( P(A_2) + P(A_2') - P(A_2) * (A_2')\right) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] $
>
> Ich habe die Werte exakt übertragen und zweimal korrekturgelesen.
Nun ist es richtig und verständlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Mo 06.07.2015 | | Autor: | magics |
Moin,
> Diese Aufgabe wurde vor kurzem schon im Forum diskutiert.
> Das macht nichts, auf ein Neues.
-.-
> >
> > Die Ereignisse sind vollständig unabhängig.
> Das ist so wichtig, dass ohne diese Angabe die Aufgabe
> nicht lösbar ist. Resultat des Weglassens: Zeitverlust und
> Verwirrung.
Seh ich ein.
> aus dem ersten Post: [mm]P((A_1 \cap A_1') \cup (A_2 \cap A_2'))[/mm]
>
> So sorgst Du für Verwirrung. Wäre der Text der Aufgabe
> dabei gewesen, wäre der Fehler aufgefallen.
Jo...
> > ...
> > Nochmal die Frage: Wie löst man bei der Berechnung von
> > [mm]P_{II}[/mm] die Klammern der Mengendarstellung auf?
> So: [mm]P_{II} = P((A_1 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2')) = P(A_1 \cup A_1') * P(A_2 \cup A_2') =\left( P(A_1) + P(A_1') - P(A_1) * P(A_1')\right) * \left( P(A_2) + P(A_2') - P(A_2) * (A_2')\right) = \ldots[/mm]
>
> >
> > Ich habe die Werte exakt übertragen und zweimal
> korrekturgelesen.
> Nun ist es richtig und verständlich.
Erstens vielen Dank!!
Und zweitens... die Botschaft ist angekommen... nächstes Mal suche ich besser
und poste die komplette Frage.
Nochmals danke,
lg,
magics
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Mo 06.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> > Nochmal die Frage: Wie löst man bei der Berechnung von
> > [mm]P_{II}[/mm] die Klammern der Mengendarstellung auf?
> So: [mm]P_{II} = P((A_1 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2')) = P(A_1 \cup A_1') * P(A_2 \cup A_2') =\left( P(A_1) + P(A_1') - P(A_1) * P(A_1')\right) * \left( P(A_2) + P(A_2') - P(A_2) * (A_2')\right) = \ldots[/mm]
Beim zweiten Gleichheitszeichen wird die stochastische Unabhängigkeit von [mm] $A_1\cup A_1'$ [/mm] und [mm] $A_2\cup A_2'$ [/mm] ausgenutzt.
Als Modellannahme hatten wir die stochastische Unabhängigkeit von [mm] $A_1,A_1',A_2,A_2'$.
[/mm]
Hat jemand eine Idee, wie wir möglichst einfach (!) von der stochastischen Unabhängigkeit von [mm] $A_1,A_1',A_2,A_2'$ [/mm] auf die von [mm] $A_1\cup A_1',A_2\cup A_2'$ [/mm] schließen können?
(Mit der Theorie stochastisch unabhängiger MengenSYSTEME und insbesondere Sigma-Algebren ist dies klar, aber diese wird dem Fragensteller wohl kaum zur Verfügung stehen.)
Vielleicht könnte man die gewünschte stochastische Unabhängigkeit von [mm] $A_1\cup A_1',A_2\cup A_2'$ [/mm] auch als Modellannahme treffen?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mo 06.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo magics!
> [mm]P_{II}[/mm] = [mm]P((A_1 \cup A_1') \cap (A_2 \cup A_2'))[/mm]
> = [mm]P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1' \cap A_2') \cup (A_1 \cap A_2') \cup (A_1' \cap A_2))[/mm]
>
> = [mm]4p_1p_2[/mm] [mm]-[/mm] [mm]2p_1^2p_2^2[/mm] [mm]-[/mm] [mm]2p_1p_2^2 -2p_1^2p_2[/mm] [mm]+[/mm]
> [mm]4p_1^2p_2^2[/mm] [mm]-[/mm] [mm]p_1^2p_2^2[/mm]
> = [mm]p_1p_2(4[/mm] + [mm]p_1p_2 -2p_2[/mm] - [mm]2p_1)[/mm]
> = [mm]p_1p_2(2[/mm] - [mm]p_1)(2[/mm] - [mm]p_2)[/mm]
> Nochmal die Frage: Wie löst man bei der Berechnung von
> [mm]P_{II}[/mm] die Klammern der Mengendarstellung auf?
Das zweite Gleichheitszeichen nutzt wiederholt die Distributivität von [mm] $\cup$ [/mm] und [mm] $\cap$ [/mm] aus, also die Gültigkeit von
[mm] $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap [/mm] C)$
für beliebige Mengen A, B und C.
Der darauf folgende Schritt ist eine Anwendung der mir unter dem Namen "Siebformel" bekannten Regel, wie du sie im Ausgangspost unter 2. versucht hattest.
Wenn ich irgendetwas genauer erklären soll, frag einfach nochmal nach.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Di 07.07.2015 | | Autor: | magics |
Ich danke dir!
Habe es dank eurer Hilfe nun auch verstanden.
Bin wirklich froh, dass ihr so geduldig seid ^.^
lg,
magics
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