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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Di 26.10.2004 | | Autor: | SERIF |
Eine Frage. Ich habe hier eine Menge M, wie soll ich den anfangen. Hier sind mehrere Betrag Zeichen. Kann man die einfach weglassen? Ich glaube nicht alle auf einmal
Aufgabe: Schreiben Sie die Menge als Vereinigung von Intervallen.
M: = { x [mm] \in \IR [/mm] : |||x| - 2 | - 5 | < 5 }
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 26.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo SERIF
ich glaube, das ist lediglich eine einfache Fleissaufgabe, um den Umgang mit Betragsstrichen und den nötigen Fallunterscheidungen zu üben.
Es geht dabei nur darum:
es gilt:
[mm] $\left|X\right| [/mm] = X$ für $X [mm] \ge [/mm] 0$ und
[mm] $\left|X\right| [/mm] = -X$ für $X < 0$
Somit musst du immer eine Fallunterscheidung machen, wenn du Betragsstriche wegnimmst.
Wenn es also etwa heisst:
[mm] $\left|x-5\right| [/mm] < 4$
Dann machst du die Fallunterscheidung:
Fall I: $x-5 [mm] \ge [/mm] 0$, oder umgestellt: $x [mm] \ge [/mm] 5$
Dann ergibt sich die folgende Ungleichung:
$x-5 < 4$, also:
$x < 9$
Die Lösungsmenge für Fall I ist somit:
$x [mm] \ge [/mm] 5$ UND $x < 9$, also:
$5 [mm] \le [/mm] x < 9$
Die Lösungsmenge für Fall I ist somit:
$x-5 [mm] \ge [/mm] 0$ UND $x < 9$, also:
$5 [mm] \le [/mm] x < 9$
Fall II: $x-5 < 0$, oder umgestellt: $x < 5$
Dann ergibt sich die folgende Ungleichung:
$-x+5 < 4$, also:
$-x < -1$ oder
$x > 1$
Somit insgesamt für Fall II:
$1 < x < 5$
Die beiden Fälle I und II ergeben somit die gesamte Lösungsmenge:
$1 < x < 9$
Oder so formuliert: $x [mm] \in \left[1,9\right]$
[/mm]
Bei deiner Aufgabe nimmst du der Reihe nach die Betragsstriche von aussen nach innen weg, musst aber jedesmal eine Fallunterscheidung machen. Das wird insgesamt wohl acht Fälle geben! Deshalb: Fleissarbeit.
An Schluss musst du die Intervalle aller Fälle vereinigen! 
Viel Spass!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Di 26.10.2004 | | Autor: | SERIF |
Dankeschön Paulos
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