Vereinigung affiner Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 05.08.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Es seine $A, A'$ affine Unterräume eines K-Vektorraumes V. Man zeige, $A [mm] \cup [/mm] A'$ ist genau dann ein affiner Unterraum von V, wenn $A [mm] \subset [/mm] A'$ oder $A' [mm] \subset [/mm] A$ |
Hallo,
ich stehe bei obiger Aufgabe absolut auf dem Schlauch, obwohl sie anschaulich klar ist. Ich kenne die analoge Aussage und auch den Beweis der Aussage für Untervektorräume. Leider kann ich diesen Fall nicht darauf zurück führen. Geht das?
Mit meinem Ansatz, einfach mal "drauflos" zu beweisen, kam ich leider auch nicht weit:
[mm]"\Rightarrow"[/mm]
[mm]A \cup A'[/mm] aff. UR von V [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt [mm]x \in V, U \subset V[/mm], U Untervektorraum, sd. [mm]A \cup A' = x+U[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] Da $0 [mm] \in [/mm] U$ ist $x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] A'$, also nehmen wir o.B.d.A. an $x [mm] \in [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Da $A, A'$ affine UR, gibt es Untervektorräume $W, W' [mm] \subset [/mm] V, a' [mm] \in [/mm] V: A=x+W, A'=a'+W' [mm] \Rightarrow [/mm] (x+W) [mm] \cup [/mm] (a'+W') = x+U$ ... hier komme ich nicht weiter, verspreche mir aber auch nicht so viel von dem Ansatz.
[mm] $"\Leftarrow"$
[/mm]
$A [mm] \subset [/mm] A'$ oder $A' [mm] \subset [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \cup [/mm] A' = A'$ affiner UR, oder $A [mm] \cup [/mm] A' = A$ affiner UR
Richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Do 05.08.2010 | | Autor: | PeterB |
Hallo Lippel,
falls es ein Element [mm] $x\in A\cap [/mm] A'$ gibt, dann kannst du es auf den Fall von Untervektorräumen zurückführen. (Nach deinem Ansatz zu urteilen solltest du keine Probleme mit dem Beweis haben.)
Falls [mm] $A\cap A'=\emptyset$, [/mm] ist die Aussage für den Körper [mm] $K=\mathbb F_2$ [/mm] (Der Körper mit zwei Elementen) falsch. (Nimm z.B. einen Untervektorraum dessen Dimension eins kleiner ist als die von V und dessen Komplement.) Für alle Körper mit mehr Elementen kann man zeigen, dass es in diesem Fall einen Untervektorraum W von V und [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $a'\in [/mm] A'$ gibt mit [mm] $A\subset [/mm] a+W$ und [mm] $A'\subset [/mm] a'+W$ sowie [mm] $A\cap (a'+W)=\emptyset$ [/mm] und [mm] $A'\cap (a'+W)=\emptyset$. [/mm] Dies kann man falls K mehr als zwei Elemente hat zum Widerspruch führen.
Gruß
Peter
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