Vereinigung < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe mal eine Frage zu diesem "nicht-ausschließendem Oder", ich komme mit der Benutzung davon irgendwie nicht so ganz klar.
Man benutzt das ja zum Beispiel bei der Definition der Vereinigung:
$X [mm] \cup [/mm] Y = [mm] \{ z | z \in X \quad oder \quad z \in Y \}$
[/mm]
Und mit diesem "nicht-ausschließenden Oder" heißt das ja:
Die Vereinigung von $X$ und $Y$ ist die Menge aller $z$, für die gilt, das $z$ in $X$ oder in $Y$ liegt oder in beidem liegt.
Stimmt das so?
Weil irgendwie empfinde ich das da dann als sinnlos, dass "nicht-ausschließenden Oder" zu verwenden.
Weil sobald $z$ in einem von $X$ oder $Y$ liegt, liegt es doch automatisch auch im Schnitt, oder?
Und dann müsste ich doch auch sagen können, dass $z$ entweder in $X$ oder $Y$ liegen muss, oder nicht?
LG, Nadine
|
|
| |
|
Hallo,
Diese Verknüpfung die du meinst stellt keine Form von "Addition" , sondern nur eine Verknüpfung von Aussagen dar. Du vergisst, dass auch die Möglichkeit besteht, dass keine der Aussagen zutrifft.
Deine Definition ist soweit richtig.
Wenn du einzelne Elemente der Gesamtmenge betrachtest ergibt sich durch die Verknüpfung eine Aussage über z:
(z [mm] \bigcap [/mm] A) [mm] \bigcup [/mm] (z [mm] \bigcap [/mm] B)= True/False
Neben And und OR gibt es das auschließende Oder XOR und auch NAND = Not And.
Nur weil Aussagen beliebig auf Mengen angewendet werden können, kann man die Aussagenlogik auf Mengen anwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:35 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Diese Verknüpfung die du meinst stellt keine Form von
> "Addition" , sondern nur eine Verknüpfung von Aussagen
> dar. Du vergisst, dass auch die Möglichkeit besteht, dass
> keine der Aussagen zutrifft.
> Deine Definition ist soweit richtig.
> Wenn du einzelne Elemente der Gesamtmenge betrachtest
> ergibt sich durch die Verknüpfung eine Aussage über z:
> (z [mm]\bigcap[/mm] A) [mm]\bigcup[/mm] (z [mm]\bigcap[/mm] B)= True/False
> Neben And und OR gibt es das auschließende Oder XOR und
> auch NAND = Not And.
> Nur weil Aussagen beliebig auf Mengen angewendet werden
> können, kann man die Aussagenlogik auf Mengen anwenden.
Also um ehrlich zu sein, verstehe ich deine Antwort leider gar nicht.
Kannst du es mir vielleicht nochmal anders erklären oder hat jemand anderes vielleicht eine andere Erklärung?
Danke, LG, Nadine
|
|
|
| |
|
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe mal eine Frage zu diesem "nicht-ausschließendem
> Oder", ich komme mit der Benutzung davon irgendwie nicht so
> ganz klar.
>
> Man benutzt das ja zum Beispiel bei der Definition der
> Vereinigung:
>
> [mm]X \cup Y = \{ z | z \in X \quad oder \quad z \in Y \}[/mm]
zur Schreibweise:
Statt "$\ z [mm] \in [/mm] X [mm] \quad [/mm] oder [mm] \quad [/mm] z [mm] \in [/mm] Y$" kann man schreiben: "$\ z [mm] \in [/mm] X [mm] \quad \vee \quad [/mm] z [mm] \in [/mm] Y$"
> Und mit diesem "nicht-ausschließenden Oder" heißt das ja:
>
> Die Vereinigung von [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] ist die Menge aller [mm]z[/mm], für die
> gilt, das [mm]z[/mm] in [mm]X[/mm] oder in [mm]Y[/mm] liegt oder in beidem liegt.
>
> Stimmt das so? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja. Das ist richtig.
>
> Weil irgendwie empfinde ich das da dann als sinnlos, das
> "nicht-ausschließende Oder" zu verwenden.
>
> Weil sobald [mm]z[/mm] in einem von [mm]X[/mm] oder [mm]Y[/mm] liegt, liegt es doch
> automatisch auch im Schnitt, oder?
Nein, nicht im Schnitt, sondern in der Vereinigung.
In der Schnittmenge liegen jene z, welche in X
und Y liegen.
> Und dann müsste ich doch auch sagen können, dass [mm]z[/mm]
> entweder in [mm]X[/mm] oder [mm]Y[/mm] liegen muss, oder nicht?
Das strikte "Entweder-Oder" (ausschliessendes Oder)
im Sinne von "entweder kriegst du ein Stück Schokolade
oder ein Eis" (aber nicht beides zusammen !), unter-
scheidet sich also logisch gesehen vom nicht-aus-
schliessenden Oder.
Lieben Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al!
> > Die Vereinigung von [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] ist die Menge aller [mm]z[/mm], für
> die
> > gilt, das [mm]z[/mm] in [mm]X[/mm] oder in [mm]Y[/mm] liegt oder in beidem liegt.
> >
> > Stimmt das so?
>
> Ja. Das ist richtig.
> >
> > Weil irgendwie empfinde ich das da dann als sinnlos, das
> > "nicht-ausschließende Oder" zu verwenden.
> >
> > Weil sobald [mm]z[/mm] in einem von [mm]X[/mm] oder [mm]Y[/mm] liegt, liegt es doch
> > automatisch auch im Schnitt, oder?
>
> Nein, nicht im Schnitt, sondern in der Vereinigung.
> In der Schnittmenge liegen jene z, welche in X
> und Y liegen.
Hmm, ich dachte, wenn ich sage, dass $z$ in beidem liegt, das dann damit der Schnitt gemeint ist.
Weil sonst weiß ich grade nicht, was mit in beidem genau gemeint sein soll?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine
> Hallo Al!
>
>
>
> > > Die Vereinigung von [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] ist die Menge aller [mm]z[/mm], für
> > die
> > > gilt, das [mm]z[/mm] in [mm]X[/mm] oder in [mm]Y[/mm] liegt oder in beidem
> liegt.
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Ja. Das ist richtig.
> > >
> > > Weil irgendwie empfinde ich das da dann als sinnlos, das
> > > "nicht-ausschließende Oder" zu verwenden.
> > >
> > > Weil sobald [mm]z[/mm] in einem von [mm]X[/mm] oder [mm]Y[/mm] liegt, liegt es doch
> > > automatisch auch im Schnitt, oder?
> >
> > Nein, nicht im Schnitt, sondern in der Vereinigung.
> > In der Schnittmenge liegen jene z, welche in X
> > und Y liegen.
>
>
>
> Hmm, ich dachte, wenn ich sage, dass [mm]z[/mm] in beidem liegt, das
> dann damit der Schnitt gemeint ist.
>
> Weil sonst weiß ich grade nicht, was mit in beidem genau
> gemeint sein soll?
>
>
Wenn du nur den Schnitt der Mengen betrachten würdest, dann müsstest du die z betrachten, die in X UND in Y liegen. Bei der Vereinigung ist dies aber nicht nötig!
Ein z, das in X liegt aber nicht in Y, liegt trotzdem in deren Vereinigung. Ebenso ein z, das in Y, aber icht in X liegt.
Also merken:
- z in X und Y [mm] \to [/mm] z liegt im Schnitt von X und Y
- z in X oder Y [mm] \to [/mm] z liegt in der Vereinigung von X und Y. (Hier wird der Durchschnitt aber nicht ausgeschlossen.. Der Schnitt zweier Mengen ist in der Vereinigung enthalten).
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
> Also merken:
> - z in X und Y [mm]\to[/mm] z liegt im Schnitt von X und Y
> - z in X oder Y [mm]\to[/mm] z liegt in der Vereinigung von X und
> Y. (Hier wird der Durchschnitt aber nicht ausgeschlossen..
> Der Schnitt zweier Mengen ist in der Vereinigung
> enthalten).
Gemerkt 
Aber warum darf ich nicht sagen, dass es bei der Vereinigung entweder... oder... ist, weil das deckt den Schnitt doch auch mit ab?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mo 31.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Also merken:
> > - z in X und Y [mm]\to[/mm] z liegt im Schnitt von X und Y
> > - z in X oder Y [mm]\to[/mm] z liegt in der Vereinigung von X
> und
> > Y. (Hier wird der Durchschnitt aber nicht ausgeschlossen..
> > Der Schnitt zweier Mengen ist in der Vereinigung
> > enthalten).
>
> Gemerkt
>
> Aber warum darf ich nicht sagen, dass es bei der
> Vereinigung entweder... oder... ist, weil das deckt den
> Schnitt doch auch mit ab?
Nein, gerade nicht: "entweder ... oder" bedeutet, dass entweder ein Element in X liegt (aber nicht in Y) oder aber in Y (aber nicht in X). Damit sind die Elemente ausgeschlossen, die in X und Y liegen (und damit im Schnitt von X mit Y).
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Nein, gerade nicht: "entweder ... oder" bedeutet, dass
> entweder ein Element in X liegt (aber nicht in Y) oder aber
> in Y (aber nicht in X). Damit sind die Elemente
> ausgeschlossen, die in X und Y liegen (und damit im Schnitt
> von X mit Y).
Ach so... jetzt versteh ich das.
Und was ist mit disjunkten Mengen?
Dürfte ich da dann entweder... oder... zulassen, weil es keinen Schnitt gibt?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Nein, gerade nicht: "entweder ... oder" bedeutet, dass
> > entweder ein Element in X liegt (aber nicht in Y) oder aber
> > in Y (aber nicht in X). Damit sind die Elemente
> > ausgeschlossen, die in X und Y liegen (und damit im Schnitt
> > von X mit Y).
>
> Ach so... jetzt versteh ich das.
>
> Und was ist mit disjunkten Mengen?
>
> Dürfte ich da dann entweder... oder... zulassen, weil es
> keinen Schnitt gibt?
Was heißt denn "ist zugelassen".
Falls $A,B$ disjunkt sind, sind beide Sachen identisch
Es gilt [mm] $A\dot\cup [/mm] B \ = \ [mm] (A\cup B)\setminus(A\cap [/mm] B)$
Und wenn der Schnitt leer ist, also [mm] $A\cap B=\emptyset$, [/mm] ist folglich [mm] $A\dot\cup [/mm] B \ = \ [mm] A\cup [/mm] B$
Auf aussagenlogischer Ebene entspricht das [mm] $p\dot\vee [/mm] q \ [mm] \equiv [/mm] \ [mm] (p\vee q)\wedge \neg(p\wedge [/mm] q)$
>
>
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Vielen Dank für eure Hilfe.
Hab ich das endlich auch mal verstanden
LG, Nadine
|
|
|
|
