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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 Di 08.05.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR [/mm] \ {-b/c} [mm] \to \IR [/mm] mit f(x)=(ax+d)/(cx+b) mit a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] und [mm] c\not=0. [/mm] Für welche Zahlen a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] gilt f(f(x))=x für alle x [mm] \in \IR [/mm] \ {-b/c}? |
Ich habe (ax+d)/(cx+b) vollständig in f(f(x)) eingesetzt und gekürzt. Aber jetzt weiß ich nicht,wie ich a,b,c und d bestimmen kann/soll. Ich weiß, dass x rauskommen soll aber wie bestimme ich die Veränderlichen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR[/mm] \ {-b/c} [mm]\to \IR[/mm] mit
> f(x)=(ax+d)/(cx+b) mit a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] und [mm]c\not=0.[/mm] Für
> welche Zahlen a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] gilt f(f(x))=x für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> \ {-b/c}?
> Ich habe (ax+d)/(cx+b) vollständig in f(f(x)) eingesetzt
> und gekürzt.
Hallo,
wenn man das hier sehen dürftte, könnte man mehr dazu sagen...
> Aber jetzt weiß ich nicht,wie ich a,b,c und d
> bestimmen kann/soll. Ich weiß, dass x rauskommen soll aber
> wie bestimme ich die Veränderlichen?
Ich vermute, daß Du auf der einen Seite der Gleichung noch irgendwelche Polynome im Nenner hast. Bring das Ganze auf einen gemeinsamen Nenner,
und multipliziere in nächsten Schritt f(f(x))=x mit diesem Nenner.
Dann hast Du auf beiden Seiten ein Polynom, kannst nach Potenzen sortieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Di 08.05.2007 | | Autor: | annklo |
Vielen Dank aber irgendwie hilft mir das nicht weiter.
Ich habe f(f(x)) bis (a²x+d+cdx+bd)/(acx+d+bcx+b²) aufgelöst und jetzt müsste ich ja irgendwie a,b,c und d bestimmen um =x rauszubekommen, oder??? Oder was muss ich machen um x rauszubekommen?
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> Vielen Dank aber irgendwie hilft mir das nicht weiter.
> Ich habe f(f(x)) bis (a²x+d+cdx+bd)/(acx+d+bcx+b²)
> aufgelöst und jetzt müsste ich ja irgendwie a,b,c und d
> bestimmen um =x rauszubekommen, oder??? Oder was muss ich
> machen um x rauszubekommen?
Das hatte ich Dir doch geschrieben:
>> Ich vermute, daß Du auf der einen Seite der Gleichung noch irgendwelche Polynome im Nenner hast. Bring
>> das Ganze auf einen gemeinsamen Nenner,
>> und multipliziere in nächsten Schritt f(f(x))=x mit diesem Nenner.
>> Dann hast Du auf beiden Seiten ein Polynom, kannst nach Potenzen sortieren und einen
>> Koeffizientenvergleich durchführen.
Wenn Du richtig gerechnet hast (ich habe es nicht überprüft), ist
[mm] f(f(x))=\bruch{a²x+d+cdx+bd}{acx+d+bcx+b²}=x
[/mm]
==> a²x+d+cdx+bd=x(acx+d+bcx+b²)
==> [mm] (...)x^2+(...)x+(...) [/mm] =0
Nun müssen die Koeffizienten alle Null ergeben, Du erhältst hier also Gleichungen, die Du auflösen mußt.
Gruß v. Angela
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> Wenn Du richtig gerechnet hast (ich habe es nicht
> überprüft), ist
>
> [mm]f(f(x))=\bruch{a²x+d+cdx+bd}{acx+d+bcx+b²}=x[/mm]
Hallo,
ich habe das eben nachgerechnet.
Dein Ergebnis für f(f(x)) stimmt nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Mi 09.05.2007 | | Autor: | annklo |
Danke schön, werds nochmal durchrechnen, aber das Prinzip hab ich verstanden... Vielen Dank nochmal
lg
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:29 So 13.05.2007 | | Autor: | annklo |
also ich habe das jetzt umgestellt zu x²+ [mm] (\bruch{b-a}{c} [/mm] ) x - [mm] \bruch{d}{c}.
[/mm]
Und wie soll ich jetzt rausfinden, für welche Zahlen a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] f(f(x))=x gilt? Ich habe es mit p,q formel bis
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-ba+\wurzel{(b-a)²+4cd}}{2c}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-ba-\wurzel{(b-a)²+4cd}}{2c} [/mm] umgestellt ...war das richtig? und dann?
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> also ich habe das jetzt umgestellt zu x²+ [mm](\bruch{b-a}{c}[/mm] )
> x - [mm]\bruch{d}{c}.[/mm]
Hallo,
was soll das denn sein? Ist das f(f(x))?
Gruß v. Angela
> Und wie soll ich jetzt rausfinden, für welche Zahlen
> a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] f(f(x))=x gilt? Ich habe es mit p,q formel
> bis
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{-ba+\wurzel{(b-a)²+4cd}}{2c}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{-ba-\wurzel{(b-a)²+4cd}}{2c}[/mm] umgestellt
> ...war das richtig? und dann?
>
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> > also ich habe das jetzt umgestellt zu x²+ [mm](\bruch{b-a}{c}[/mm] )
> > x - [mm]\bruch{d}{c}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> was soll das denn sein? Ist das f(f(x))?
Wenn ja, ist es verkehrt.
Vielleicht kannst Du mal vorrechnen, wie Du das gerechnet hast, damit man das Problem besser einkreisen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 13.05.2007 | | Autor: | annklo |
Oder muss ich viellceiht einen Koeffizientenvergleich von a²x+ad+dcx+db=acx²+dcx+bcx²+b²x machen oder von a²x+ad+dcx+db=acx+dc+bcx+b²(nicht mit x multipliziert,wie Angela geschrieben hat). Wie genau mach ich einen Koeffizientenvergleich?Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 13.05.2007 | | Autor: | annklo |
wenn ich den Koeffizienten vergleich richtig gemahct habe kommt da 1. a²=b² und 2. a=-b und 3. -a=b raus...was sagt mir das für die aufgabe?
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> Oder muss ich viellceiht einen Koeffizientenvergleich von
> a²x+ad+dcx+db=acx²+dcx+bcx²+b²x machen
Ja, so mußt Du es machen.
Du hast [mm] f(f(x))=\bruch{a(ax+d)+d(cx+b)}{c(ax+d)+b(cx+d)}=x
[/mm]
<==> a(ax+d)+d(cx+b)=x(c(ax+d)+b(cx+d))
= das, was oben steht.
<==> [mm] 0=(ac+bc)x^2+(cd+bd-a^2-dc)x+(-ad-bd)
[/mm]
Hieraus ein Koeffizientenvergleich unter Beachtung der Voraussetzung [mm] c\not=0.
[/mm]
ac+bc=0
[mm] cd+bd-a^2-dc=0
[/mm]
-ad-bd=0
Nun die Koeffizienten ausrechnen.
Gruß v. Angela
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