Vektorwertige Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Di 06.05.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich soll eine vektorwertige Funktion zweimal partiell ableiten, habe aber schon bei der ersten Ableitung meine Probleme. Ich habe sowas noch nie bisher gemacht.
Ich habe folgende Funktion: [mm] u(\overrightarrow{k})=e^{i\overrightarrow{k}x}
[/mm]
Das bedeutet doch nichts anderes als das mein Exponent irgendeine Funktion ist, die von drei Variablen abhängt, wobei in jeder Komponente das ix mit drin steckt oder nicht?
Wenn ich das jetzt partiell nach x ableiten will, wie mach ich das dann?
Ich weiß ja nicht wie der Exponent im speziellen aussieht!
Gruß,
clwoe
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hi,
> Hallo,
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> ich soll eine vektorwertige Funktion zweimal partiell
> ableiten, habe aber schon bei der ersten Ableitung meine
> Probleme. Ich habe sowas noch nie bisher gemacht.
>
> Ich habe folgende Funktion:
> [mm]u(\overrightarrow{k})=e^{i\overrightarrow{k}x}[/mm]
>
> Das bedeutet doch nichts anderes als das mein Exponent
> irgendeine Funktion ist, die von drei Variablen abhängt,
> wobei in jeder Komponente das ix mit drin steckt oder
> nicht?
>
> Wenn ich das jetzt partiell nach x ableiten will, wie mach
> ich das dann?
moment, nach welcher variablen soll u jetzt abgeleitet werden, nach k oder nach x?!
ansonsten schreibe doch mal die funktion aus (dh. das skalarprodukt im exponenten). das partielle ableiten geht dann wie immer.
gruss
matthias
>
> Ich weiß ja nicht wie der Exponent im speziellen aussieht!
>
> Gruß,
> clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:30 Mi 07.05.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich schreib mal die Funktion hin, so wie sie da steht. Es geht hier um die Lösung der dreidimensionalen Wellengleichung mit Hilfe der Fourier Transformation. Vielleicht hilft dir das weiter.
[mm] u(\overrightarrow{x},t)=\bruch{1}{(2\pi)^{3}}\integral_{\IR^{3}}^{}{v(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}} d\overrightarrow{k}}
[/mm]
wobei [mm] v(\overrightarrow{k},t) [/mm] die Fourier Transformierte von [mm] u(\overrightarrow{x},t) [/mm] ist.
Man möchte also die gesuchte Funktion u durch die Fourier Transformierte ausdrücken um so zu einer Lösung zu kommen. Ich richte mich nach diesem Skript: http://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/Partielle_Differenzialgleichungen
Auf Seite 34 steht der Ansatz und ein wenig drunter die Lösung. Ich komme aber nicht auf die Lösung, sondern ich bekomme immer was anderes. Ich schreib hier mal meine Ableitung hin. Ich nehm einfach mal die nach x. Die anderen würden ja genauso aussehen.
[mm] u_{xx}(\overrightarrow{x},t)=\bruch{1}{(2\pi)^{3}}\integral_{\IR^{3}}^{}{v_{xx}(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}+2ik_{x}v_{x}(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}-k_{x}^{2} v(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}d\overrightarrow{k}}
[/mm]
wobei [mm] u_{xx} [/mm] die zweite partielle Ableitung bedeutet und [mm] k_{x} [/mm] die partielle Ableitung der x-Komponente des Vektors k, der vorher natürlich mit dem Vektor x skalarmultipliziert wurde.
Wenn ich die anderen beiden Ableitungen jetzt noch mach und dann addiere haber ich immer den gemischten Term mit drin. Oder fällt der wegen dem komplexen Anteil raus? Und was mach ich am Ende mit den partiellen Ableitungen meiner Fourier Transformierten, die in dem Integral mit drin stehen? Übrigens ist mir grad aufgefallen, das im Skript im Netz ein Fehler drin ist. Die haben bei der Lösung in der eckigen Klammer beim u nach dem Betrag von k das Dach auf dem u vergessen, deshalb hab ich mich schon gewundert, wo das hin gekommen ist.
Ich glaube eigentlich das ich nah an der Lösung bin und es jetzt auch richtig abgeleitet hab, nur irgendwo sehe ich noch etwas nicht und ich weiß nicht wo.
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen?
Gruß,
clwoe
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Hi,
erstmal vorneweg: wir reden hier nicht über vektorwertige funktionen, sondern über skalare funktionen im [mm] R^n.
[/mm]
> Hi,
>
> ich schreib mal die Funktion hin, so wie sie da steht. Es
> geht hier um die Lösung der dreidimensionalen
> Wellengleichung mit Hilfe der Fourier Transformation.
> Vielleicht hilft dir das weiter.
>
> [mm]u(\overrightarrow{x},t)=\bruch{1}{(2\pi)^{3}}\integral_{\IR^{3}}^{}{v(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}} d\overrightarrow{k}}[/mm]
>
> wobei [mm]v(\overrightarrow{k},t)[/mm] die Fourier Transformierte
> von [mm]u(\overrightarrow{x},t)[/mm] ist.
>
> Man möchte also die gesuchte Funktion u durch die Fourier
> Transformierte ausdrücken um so zu einer Lösung zu kommen.
> Ich richte mich nach diesem Skript:
> http://www.math.ethz.ch/u/felder/Teaching/Partielle_Differenzialgleichungen
>
> Auf Seite 34 steht der Ansatz und ein wenig drunter die
> Lösung. Ich komme aber nicht auf die Lösung, sondern ich
> bekomme immer was anderes. Ich schreib hier mal meine
> Ableitung hin. Ich nehm einfach mal die nach x. Die anderen
> würden ja genauso aussehen.
> [mm]u_{xx}(\overrightarrow{x},t)=\bruch{1}{(2\pi)^{3}}\integral_{\IR^{3}}^{}{v_{xx}(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}+2ik_{x}v_{x}(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}-k_{x}^{2} v(\overrightarrow{k},t)e^{i\overrightarrow{k}\overrightarrow{x}}d\overrightarrow{k}}[/mm]
>
> wobei [mm]u_{xx}[/mm] die zweite partielle Ableitung bedeutet und
> [mm]k_{x}[/mm] die partielle Ableitung der x-Komponente des Vektors
> k, der vorher natürlich mit dem Vektor x
> skalarmultipliziert wurde.
v hängt nicht von x ab, kann also wie ein konstanter term behandelt werden. das macht alles leichter. wenn du das integral nach x ableitest, entsteht immer nur ein neuer $ik$-faktor.
>
> Wenn ich die anderen beiden Ableitungen jetzt noch mach und
> dann addiere haber ich immer den gemischten Term mit drin.
> Oder fällt der wegen dem komplexen Anteil raus?
sorry, verstehe dein problem leider nicht...
>Und was
> mach ich am Ende mit den partiellen Ableitungen meiner
> Fourier Transformierten, die in dem Integral mit drin
> stehen? Übrigens ist mir grad aufgefallen, das im Skript im
> Netz ein Fehler drin ist. Die haben bei der Lösung in der
> eckigen Klammer beim u nach dem Betrag von k das Dach auf
> dem u vergessen, deshalb hab ich mich schon gewundert, wo
> das hin gekommen ist.
>
> Ich glaube eigentlich das ich nah an der Lösung bin und es
> jetzt auch richtig abgeleitet hab, nur irgendwo sehe ich
> noch etwas nicht und ich weiß nicht wo.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen?
>
> Gruß,
> clwoe
>
gruss
matthias
>
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