Vektorrechnung_ Pyramide < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Fr 01.10.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Das Dreieck ABC mit A(0/3/3), B(4/3/5) und C(8/0/1) ist die Basis einer dreiseitigen Pyramide mit der Höhe h = [mm] 4\wurzel{61}. [/mm] Die Spitze D der Pyramide liegt lotrecht über dem Schwerpunkt des Dreiecks.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze D. |
Hallo,
ich habe eben versucht die Spitze auszurechnen, das Ergebnis, finde ich aber irgendwie komisch. Wer kann das bitte für mich mal kurz überprüfen?
Zuerst habe ich den SCHWERPUNKT ermittelt:
Dafür die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 2} \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ -4} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] = [mm] \vektor{-8 \\ 3 \\ 2} [/mm] ausgerechnet.
Den Schwerpunkt habe ich mit [mm] \bruch{1}{3}*(\vektor{4 \\ 0 \\ 2} +\vektor{4 \\ -3 \\ -4}+\vektor{-8 \\ 3 \\ 2})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ausgerechnet. (?)
Mittels dem KREUZPRODUKT aus den Vektoren [mm] \overrightarrow{SB} =\vektor{4 \\ 3 \\ 5} [/mm] und [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 3} \Rightarrow \vektor{0 \\ 3 \\ 3} \times \vektor{4 \\ 3 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 12 \\ -12} [/mm] wollte ich sozusagen in der z-Achse zum Punkt D kommen, da ja der entstandene Vektor Normal zu [mm] \overrightarrow{SA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{SB} [/mm] steht.
Daraus habe ich den EINHEITSVEKTOR ermittelt. [mm] a0=\bruch{1}{|\vektor{6 \\ 12\\ -12}|}*\vektor{6 \\ 12\\ -12}=\vektor{1 \\ 1\\ -1} [/mm] (?)
Das ganze multipliziert mit der Hohe [mm] h=4\wurzel{61} [/mm] ergibt, logischerweise, [mm] \vektor{4\wurzel{61} \\ 4\wurzel{61}\\ -4\wurzel{61}} [/mm] als Punkt "D", was mir aber seltsam vorkommt.
Danke schon mal für die Hilfe...
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> Das Dreieck ABC mit A(0/3/3), B(4/3/5) und C(8/0/1) ist die
> Basis einer dreiseitigen Pyramide mit der Höhe h =
> [mm]4\wurzel{61}.[/mm] Die Spitze D der Pyramide liegt lotrecht
> über dem Schwerpunkt des Dreiecks.
>
> a) Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze D.
>
> Hallo,
>
> ich habe eben versucht die Spitze auszurechnen, das
> Ergebnis, finde ich aber irgendwie komisch. Wer kann das
> bitte für mich mal kurz überprüfen?
>
> Zuerst habe ich den SCHWERPUNKT ermittelt:
>
> Dafür die Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 2}\qquad \overrightarrow{BC}\ =\ \vektor{4 \\ -3 \\ -4}[/mm] und [mm]\overrightarrow{CA}\ =\ \vektor{-8 \\ 3 \\ 2}[/mm] ausgerechnet.
>
> Den Schwerpunkt habe ich mit [mm]\bruch{1}{3}*(\vektor{4 \\ 0 \\ 2} +\vektor{4 \\ -3 \\ -4}+\vektor{-8 \\ 3 \\ 2})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> ausgerechnet. (?)
Dies ist falsch. In der Schwerpunktsformel brauchst du nicht die
Seitenvektoren, sondern direkt die Ortsvektoren der 3 Eckpunkte !
> Mittels dem KREUZPRODUKT aus den Vektoren
> [mm]\overrightarrow{SB} =\vektor{4 \\ 3 \\ 5}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{SA}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 3} \Rightarrow \vektor{0 \\ 3 \\ 3} \times \vektor{4 \\ 3 \\ 5}[/mm]
> = [mm]\vektor{6 \\ 12 \\ -12}[/mm] wollte ich sozusagen in der
> z-Achse zum Punkt D kommen, da ja der entstandene Vektor
> Normal zu [mm]\overrightarrow{SA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{SB}[/mm]
> steht.
Was du brauchst, ist ein Normalenvektor zur Ebene ABC. Dabei
stützt du dich am besten auf das Originalmaterial, z.B. auf die Vektoren
[mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm].
Andernfalls riskierst du, allfällige Fehler aus der vorherigen Berechnung
mitzuschleppen - was hier natürlich auch geschehen ist !
> Daraus habe ich den EINHEITSVEKTOR ermittelt.
> [mm]a0=\bruch{1}{|\vektor{6 \\ 12\\ -12}|}*\vektor{6 \\ 12\\ -12}=\vektor{1 \\ 1\\ -1}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> (?)
>
> Das ganze multipliziert mit der Hohe [mm]h=4\wurzel{61}[/mm] ergibt,
> logischerweise, [mm]\vektor{4\wurzel{61} \\ 4\wurzel{61}\\ -4\wurzel{61}}[/mm]
> als Punkt "D", was mir aber seltsam vorkommt.
>
> Danke schon mal für die Hilfe...
LG Al-Chw.
noch eine kleine Frage: soll wirklich [mm]h\ =\ 4\wurzel{61}[/mm] sein ?
(es käme ein deutlich "schöneres" Ergebnis heraus, wenn
da unter der Wurzel eine andere Zahl stünde !)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 01.10.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
zunächst, ja, die Höhe ist tatsächlich [mm] 4\wurzel{61}.
[/mm]
Das mit dem Schwerpunkt ist mir nun klar, nicht jedoch, wie ich zur Spitze "D" komme, die ja über dem Schwerpunkt liegen soll.
Rechne ich den Normalvektor von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] aus, habe ich doch quasi einen Normalvektor, lotrecht zum Punkt "A", wie aber komme ich von dort mit der richtigen Höhe zu "D"?
Mein Gedanke war, der Normalvektor zu [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] bzw. [mm] \overrightarrow{BS}, [/mm] da ja somit ein Normalvektor über dem punkt "S" entsteht. DieLage von Punkt "D" wollte ich so über den Einheitsvektor bestimmen, da ich ja diesen dann nur noch mit der gegebenen Höhe multiplizieren muss. Oder denke ich da falsch?
Danke
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Hallo drahmas!
> Mein Gedanke war, der Normalvektor zu [mm]\overrightarrow{AS}[/mm]
> bzw. [mm]\overrightarrow{BS},[/mm] da ja somit ein Normalvektor
> über dem punkt "S" entsteht.
Das ist doch dasselbe wie ein Normalenvektor zu [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AC}$ [/mm] (beachte dazu auch den Tipp oben).
An welchem Punkt Du anschließend den Normalenvektor ansetzt, ist doch egal.
> Die Lage von Punkt "D" wollte ich so über den Einheitsvektor bestimmen,
> da ich ja diesen dann nur noch mit der gegebenen Höhe multiplizieren
> muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 01.10.2010 | | Autor: | drahmas |
Danke.
Hm, irgendwie komm ich aber trotzdem nicht weiter.
Rechne ich den Normalvektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] aus, erhalte ich [mm] \vektor{-6 \\ -24 \\ 12}
[/mm]
Den Normalvektor addiere ich dann an den Schwerpunkt [mm] S=\vektor{4 \\ 2 \\ 3} [/mm] und erhalte [mm] \vektor{-2 \\ -22 \\ 15}.
[/mm]
Nur wie komme ich jetzt auf die richtige Höhe? Ich dachte mit dem Einheitsvektor, im Endeffekt habe ich da aber dann immer etwas wie [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm] und wenn ich das wieder multipliziere mit der gegebenen Höhe habe ich wieder ein relativ unsinniges Ergebnis.
Irgendwo denke ich falsch, glaube ich...
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Hallo drahmas!
> Rechne ich den Normalvektor [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{CA}[/mm] aus, erhalte ich [mm]\vektor{-6 \\ -24 \\ 12}[/mm]
Und hieraus kannst Du nun einen Einheitsvektor machen, indem Du durch die Länge dieses Vektors teilst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 01.10.2010 | | Autor: | drahmas |
Liegt die Spitze bei [mm] \vektor{-1,2 \\ 0,7 \\ 5,6}?
[/mm]
Danke
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Hallo drahmas,
> Liegt die Spitze bei [mm]\vektor{-1,2 \\ 0,7 \\ 5,6}?[/mm]
Nein.
Poste doch den Rechenweg, wie Du auf die Spitze kommst.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 04.10.2010 | | Autor: | drahmas |
Also irgendwie häng ich fest, bei dieser an sich leichten Aufgabe.
Ich hab den Normalvektor zu [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] ja mit [mm] \vec{h}=\vektor{-6 \\ -24 \\ 12} [/mm] ausgerechnet.
Gut, jetzt brauche ich möglichst den Einheitsvektor um diesen dann mit der Höhe [mm] h=4\wurzel{61} [/mm] multiplizieren zu können, so dass ich auf die Spitze "D" komme.
Den Einheitsvektor rechne ich mit der Formel [mm] h_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{|\vec{h}|}*\vec{h} [/mm] aus und erhalte [mm] \vektor{-1/6 \\ -1/24 \\ 1/12}*\vektor{-6 \\ -24 \\ 12}=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Jetzt hat der Vektor zwar die Länge 1, wie rechne ich damit aber nun weiter? Ich kann ja schlecht [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 1} [/mm] mit der gegebenen Höhe [mm] h=4\wurzel{61} [/mm] multiplizieren um so auf den Punkt "D" zu kommen. Wo liegt mein Denkfehler?
Danke
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nftsfreudig.
> Also irgendwie häng ich fest, bei dieser an sich leichten
> Aufgabe.
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> Ich hab den Normalvektor zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{CA}[/mm] ja mit [mm]\vec{h}=\vektor{-6 \\
-24 \\
12}[/mm]
> ausgerechnet.
>
> Gut, jetzt brauche ich möglichst den Einheitsvektor um
> diesen dann mit der Höhe [mm]h=4\wurzel{61}[/mm] multiplizieren zu
> können, so dass ich auf die Spitze "D" komme.
>
> Den Einheitsvektor rechne ich mit der Formel [mm]h_{0}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{|\vec{h}|}*\vec{h}[/mm] aus und erhalte [mm]\vektor{-1/6 \\
-1/24 \\
1/12}*\vektor{-6 \\
-24 \\
12}=\vektor{-1 \\
-1 \\
1}[/mm]
> Jetzt hat der Vektor zwar die Länge 1,
Hallo,
Du riskierst massenhaft Kreislauf- und Nervenzusammenbrüche sowie Herzinfarkte bei denen, die Dir prinzipiell helfen könnten...
1. Das Ergebnis eines Skalarproduktes ist eine Zahl und kein Vektor.
Erinnere Dich daran, wie Skalarprodukte berechnet werden.
2. [mm] |\vec{h}| [/mm] ist eine Zahl. Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
3. Folglich ist [mm] \bruch{1}{|\vec{h}|} [/mm] auch eine Zahl.
4. Der Vektor [mm] \vec{v}=\vektor{-1\\-1\\1} [/mm] hat nicht die Länge 1, sondern es ist [mm] |\vec{v}|=\wurzel{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}.
[/mm]
Soweit fürs erste.
Gruß v. Angela
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> Also irgendwie häng ich fest, bei dieser an sich leichten
> Aufgabe.
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> Ich hab den Normalvektor zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{CA}[/mm] ja mit [mm]\vec{h}=\vektor{-6 \\ -24 \\ 12}[/mm]
> ausgerechnet.
>
> Gut, jetzt brauche ich möglichst den Einheitsvektor um
> diesen dann mit der Höhe [mm]h=4\wurzel{61}[/mm] multiplizieren zu
> können, so dass ich auf die Spitze "D" komme.
>
> Den Einheitsvektor rechne ich mit der Formel [mm]h_{0}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{|\vec{h}|}*\vec{h}[/mm] aus und erhalte [mm]\vektor{-1/6 \\ -1/24 \\ 1/12}*\vektor{-6 \\ -24 \\ 12}=\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> Jetzt hat der Vektor zwar die Länge 1, wie rechne ich
> damit aber nun weiter? Ich kann ja schlecht [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> mit der gegebenen Höhe [mm]h=4\wurzel{61}[/mm] multiplizieren um so
> auf den Punkt "D" zu kommen. Wo liegt mein Denkfehler?
>
> Danke
Hallo Andi,
beherzige zunächst die Ratschläge von Angela.
Dann noch ein Tipp: wenn du wie hier ein Vektorprodukt
benützt hast, um einen Normalenvektor zu einer Ebene zu
erhalten, dann solltest du als Nächstes prüfen, ob man
diesen Normalenvektor kürzen könnte. In deinem Beispiel
ist dies der Fall, denn der Vektor
[mm] \vektor{-6 \\ -24 \\ 12} [/mm] ist parallel zu [mm] \vektor{-1 \\ -4 \\ 2} [/mm] oder auch [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ -2}
[/mm]
welche Vektoren also ebensogut als Normalenvektoren der
Ebene taugen.
Vorteil: kleinere Zahlen in den folgenden Rechnungen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 04.10.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Angela, danke Al-Chw.,
die Vektoraufgaben habe ich glaube ich vor 1 1/2 Jahren zuletzt gerechnet, so habe ich doch einiges wieder vergessen.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") Natürlich sollte man erst den Betrag ausrechnen, wenn schon
die Betragsstriche dastehen | | .
Okay, den Einheitsvektor habe ich dann (gekürzt) mit [mm] \vektor{ -\bruch{1}{21} \\ -\bruch{4}{21} \\ \bruch{2}{21}} [/mm] ausgerechnet.
Multipliziert mit der Höhe [mm] h=4\wurzel{61} [/mm] erhalte ich [mm] \vektor{-1,49 \\ -5,95 \\ -2,98}
[/mm]
An den Schwerpunkt [mm] \overrightarrow{S}=\vektor{4 \\ 2 \\ 3} [/mm] angehängt, kommt dann für die Spitze "D" bei mir [mm] D=\vektor{3,49 \\ -3,95 \\ 5,98} [/mm] raus.
Stimmt das so jetzt?
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> Hallo Angela, danke Al-Chw.,
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> die Vektoraufgaben habe ich glaube ich vor 1 1/2 Jahren
> zuletzt gerechnet, so habe ich doch einiges wieder
> vergessen.
>
> Natürlich sollte man erst den Betrag
> ausrechnen, wenn schon
> die Betragsstriche dastehen | | .
>
> Okay, den Einheitsvektor habe ich dann (gekürzt) mit
> [mm]\vektor{ -\bruch{1}{21} \\ -\bruch{4}{21} \\ \bruch{2}{21}}[/mm]
> ausgerechnet.
Dies ist aber kein Einheitsvektor !
Du hast in den Nennern offenbar die Wurzel vergessen !
> Multipliziert mit der Höhe [mm]h=4\wurzel{61}[/mm] erhalte ich
> [mm]\vektor{-1,49 \\ -5,95 \\ -2,98}[/mm]
> An den Schwerpunkt
> [mm]\overrightarrow{S}=\vektor{4 \\ 2 \\ 3}[/mm] angehängt, kommt
> dann für die Spitze "D" bei mir [mm]D=\vektor{3,49 \\ -3,95 \\ 5,98}[/mm]
> raus.
>
> Stimmt das so jetzt?
Ich vermute immer noch, dass in der Aufgabenstellung statt
[mm] \sqrt{61} [/mm] stehen sollte: [mm] \sqrt{21}
[/mm]
Dann würden sich nun nämlich alle diese Wurzeln rauskürzen
und man hätte ein schön ganzzahliges Resultat !
Um genau zu sein: es gibt natürlich zwei mögliche
Pyramiden (einmal Spitze oben, einmal Spitze unten) !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 04.10.2010 | | Autor: | drahmas |
Hallo Al-Chw.,
danke noch mal für die Antwort. Schön langsam zweifle ich an mir selbst ...
Ich schreibe den Rechenweg mal ausführlich:
[mm] \vec{h_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{1^2+4^2+2^2}}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{21}}{21}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2}=\vektor{-0,22 \\ -0,87 \\ 0,44}
[/mm]
Die Aufgabenstellung lautet leider in der Tat auf [mm] 4*\wurzel{61}, [/mm] auch wenn alles Andere nahe liegen würde.
Danke und beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Hallo Al-Chw.,
>
> danke noch mal für die Antwort. Schön langsam zweifle ich
> an mir selbst ...
>
> Ich schreibe den Rechenweg mal ausführlich:
>
> [mm]\vec{h_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{1^2+4^2+2^2}}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{21}}{21}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2}=\vektor{-0,22 \\ -0,87 \\ 0,44}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\vec{h_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{1^2+4^2+2^2}}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2}
= \bruch{\wurzel{21}}{21}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2} \approx \vektor{-0,22 \\ -0,87 \\ 0,44}[/mm]
Rechne hier mit den exakten Werten weiter:
[mm]\vec{h_{0}} = \bruch{1}{\wurzel{21}}*\vektor{-1 \\ -4 \\ 2}[/mm]
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> Die Aufgabenstellung lautet leider in der Tat auf
> [mm]4*\wurzel{61},[/mm] auch wenn alles Andere nahe liegen würde.
>
> Danke und beste Grüße
Gruss
MathePower
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