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Hallo
Habe wieder mal ein paar Fragen zu folgender Aufgabe:
Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks [mm] P_{1}(-1;0;1) [/mm] ; [mm] P_{2}(0;1;0) [/mm] ; [mm] P_{3}(1;1;0) [/mm] und der Punkt [mm] P_{4}(2;3;0)
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E, in der das Dreieck liegt.
Als Ebenengleichung habe ich: -y-z =-1
Danach habe ich das Kreuzpordukt von [mm] P_{1}P_{2} [/mm] mit [mm] P_{1}P_{3} [/mm] gebildet und erhalten: [mm] (0;-1;-1)^{T}
[/mm]
Demzufolge wäre n ja dann: [mm] n=\bruch{1}{\wurzel{2}} (0;1;1)^{T} [/mm] ,da ja Rho größer 0 sein muss, oder?
Da würde die HNF ja wie folgt lauten:
[mm] \bruch{y}{\wurzel{2}}+\bruch{z}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
b) Berechnen sie den Flächeninhalt des Dreiecks
A= [mm] \bruch{1}{2} |P_{1}P_{2} [/mm] x [mm] P_{1}P_{3} [/mm] |
A= [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{2}
[/mm]
c) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von [mm] P_{4} [/mm] auf E und den Abstand des Punktes [mm] P_{4} [/mm] von E
Habe mir eine Gerade durch den Punkt [mm] P_{4} [/mm] und der Richtung des Normalenvektors der Ebene aufgestellt. Diese habe ich dann in E eingesetzt und r=1 erhalten. Mit dem r habe ich dann [mm] P_{LF} [/mm] erhalten mit den Koordinaten: [mm] P_{LF}(2;2;-1)
[/mm]
Abstand:
[mm] d(P_{LF})= |\bruch{1}{\wurzel{2}}-(-\bruch{2}{\wurzel{2}}-\bruch{3}{\wurzel{2}}) [/mm] |
[mm] d(P_{LF})=\bruch{6}{\wurzel{2}}
[/mm]
Glaub das ist falsch, oder? Habe grad beim Abschreiben gemerkt, dass ich ja einfach den Vektor [mm] P_{4}P_{LF} [/mm] bilden muss und davon dann den Betrag bestimmen und das sollte [mm] \wurzel{2} [/mm] sein.
d) Bestimmen Sie auf der Geraden durch die Punkte [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{4} [/mm] einen Punkt [mm] P_{5} [/mm] derart, dass das Volumen des von [mm] P_{1},P_{2},P_{3} [/mm] und [mm] P_{5} [/mm] aufgespannten Tetraeders gleich 1 ist.
Die Gerade lautet
[mm] x=\vektor{-1\\0\\1}+r\vektor{3\\3\\-1}
[/mm]
Volumen vom Tetraeder ist ja: [mm] V=\bruch{1}{6} [/mm] |(axb)c |
[mm] a=P_{1}P_{2}
[/mm]
[mm] b=P_{1}P_{3}
[/mm]
[mm] c=P_{1}P_{5}=\vektor{x+1\\y-0\\z-1}
[/mm]
[mm] axb=\vektor{0\\-1\\-1}
[/mm]
Dann komme ich ja mit der Volumengleichung auf:
6= |-y-z+1 | und hier weiss ich jetzt nicht wie ich weiter vorgehen soll, mal angenommen, dass es bis hierhin stimmt.
Wäre dankbar für Hilfe bzw. Korrektur
sunshinenight
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Hallo sunshinenight,
> Hallo
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> Habe wieder mal ein paar Fragen zu folgender Aufgabe:
>
> Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks [mm]P_{1}(-1;0;1)[/mm] ;
> [mm]P_{2}(0;1;0)[/mm] ; [mm]P_{3}(1;1;0)[/mm] und der Punkt [mm]P_{4}(2;3;0)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene E, in
> der das Dreieck liegt.
>
> Als Ebenengleichung habe ich: -y-z =-1
> Danach habe ich das Kreuzpordukt von [mm]P_{1}P_{2}[/mm] mit
> [mm]P_{1}P_{3}[/mm] gebildet und erhalten: [mm](0;-1;-1)^{T}[/mm]
> Demzufolge wäre n ja dann: [mm]n=\bruch{1}{\wurzel{2}} (0;1;1)^{T}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ,da ja Rho größer 0 sein muss, oder?
Was ist [mm]\rho[/mm]?
>
> Da würde die HNF ja wie folgt lauten:
>
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{2}}+\bruch{z}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> b) Berechnen sie den Flächeninhalt des Dreiecks
>
> A= [mm]\bruch{1}{2} |P_{1}P_{2}[/mm] x [mm]P_{1}P_{3}[/mm] |
> A= [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie den Fußpunkt des Lotes von [mm]P_{4}[/mm] auf E und
> den Abstand des Punktes [mm]P_{4}[/mm] von E
>
> Habe mir eine Gerade durch den Punkt [mm]P_{4}[/mm] und der Richtung
> des Normalenvektors der Ebene aufgestellt. Diese habe ich
> dann in E eingesetzt und r=1 erhalten. Mit dem r habe ich
> dann [mm]P_{LF}[/mm] erhalten mit den Koordinaten: [mm]P_{LF}(2;2;-1)[/mm]
>
> Abstand:
> [mm]d(P_{LF})= |\bruch{1}{\wurzel{2}}-(-\bruch{2}{\wurzel{2}}-\bruch{3}{\wurzel{2}})[/mm]
> |
> [mm]d(P_{LF})=\bruch{6}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Glaub das ist falsch, oder? Habe grad beim Abschreiben
> gemerkt, dass ich ja einfach den Vektor [mm]P_{4}P_{LF}[/mm] bilden
> muss und davon dann den Betrag bestimmen und das sollte
> [mm]\wurzel{2}[/mm] sein.
Ja, das mußt Du dann nochmal machen.
>
> d) Bestimmen Sie auf der Geraden durch die Punkte [mm]P_{1}[/mm] und
> [mm]P_{4}[/mm] einen Punkt [mm]P_{5}[/mm] derart, dass das Volumen des von
> [mm]P_{1},P_{2},P_{3}[/mm] und [mm]P_{5}[/mm] aufgespannten Tetraeders gleich
> 1 ist.
>
> Die Gerade lautet
> [mm]x=\vektor{-1\\0\\1}+r\vektor{3\\3\\-1}[/mm]
> Volumen vom Tetraeder ist ja: [mm]V=\bruch{1}{6}[/mm] |(axb)c |
> [mm]a=P_{1}P_{2}[/mm]
> [mm]b=P_{1}P_{3}[/mm]
> [mm]c=P_{1}P_{5}=\vektor{x+1\\y-0\\z-1}[/mm]
> [mm]axb=\vektor{0\\-1\\-1}[/mm]
>
> Dann komme ich ja mit der Volumengleichung auf:
> 6= |-y-z+1 | und hier weiss ich jetzt nicht wie ich weiter
> vorgehen soll, mal angenommen, dass es bis hierhin stimmt.
Setze für den c den Richtungsvektor der Geraden ein.
[mm]c\;=\;P_1P_5\;=\;P_1\;+\;r\;\vec{3\\3\\-1}\;-\;P_1\;=\;r\;\vec{3\\3\\-1}[/mm]
Gruß
MathePower
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