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Vektorrechnung Gerade: Winkelberechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mi 01.06.2005
Autor: hase-hh

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Ich habe folgendes Problem:

Aufgabe: Schargerade gp : x -> (5/2/p) + t (2/0/1)

Berechnen Sie den Winkel alpha, den die Geraden mit der xy-Ebene bilden.

Lösungsversuch:

n = (0/0/1)

u = (2/0/1)


sin alpha = (n . u) /(I n I . I u I)

Stimmt der Ansatz? Warum nicht cos alpha? Verstehe den Zusammenhang nicht! Bitte, wer kann mir das kurz erklären?

xy-Ebene ist die Ebene, die mit den Achsen-Koordinaten (Spurgeraden?)
aufgespannt wird, also (1/0/0) und (0/1/0), richtig?

Spielt das Vektorprodukt hier eine Rolle? Was gäbe das Vektorprodukt an?

Vielen Dank für eure Hilfe!!!

wolfgang







        
Bezug
Vektorrechnung Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mi 01.06.2005
Autor: Fugre


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Ich habe folgendes Problem:
>  
> Aufgabe: Schargerade gp : x -> (5/2/p) + t (2/0/1)
>
> Berechnen Sie den Winkel alpha, den die Geraden mit der
> xy-Ebene bilden.
>  
> Lösungsversuch:
>  
> n = (0/0/1)
>
> u = (2/0/1)
>  
>
> sin alpha = (n . u) /(I n I . I u I)
>  
> Stimmt der Ansatz? Warum nicht cos alpha? Verstehe den
> Zusammenhang nicht! Bitte, wer kann mir das kurz erklären?
>
> xy-Ebene ist die Ebene, die mit den Achsen-Koordinaten
> (Spurgeraden?)
> aufgespannt wird, also (1/0/0) und (0/1/0), richtig?
>  
> Spielt das Vektorprodukt hier eine Rolle? Was gäbe das
> Vektorprodukt an?
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>  
> wolfgang
>  
>
>
>
>
>  

Hallo Wolfgang,

wenn du diese Formel meinst ist alles richtig:
[mm] $\sin \alpha=\frac{\vec u * \vec n}{|\vec u|*|\vec n|}$ [/mm]

Machen wir es kurz mit deiner Aufgabe.
Aus [mm] $E:\vec x=r*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$$ [/mm]
folgt [mm] $E:\vec [/mm] x [mm] \circ \vektor{0 \\ 0 \\ 1}=0$ [/mm]

und die Gerade: [mm] $g_p:\vec x=\vektor{ 5 \\ 2 \\ p} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}$ [/mm]
In die Formel eingesetzt:
[mm] $\sin \alpha=\frac{\vektor{2 \\ 0 \\ 1} * \vektor{0 \\ 0 \\ 1}}{|\vektor{2 \\ 0 \\ 1}|*|\vektor{0 \\ 0 \\ 1}|}$ [/mm]
$ [mm] \sin \alpha=\frac{1}{\sqrt5}$ [/mm]
[mm] $\to \alpha \approx [/mm] 26,6°$
Die Frage nach dem Sinus ist berechtigt, man sollte sich einmal das Ganze
vorstellen. Die Gerade, auf der der Normalenvektor der Ebene liegt, schneidet
die Gerade genau $90°$ anders als die Ebene es täte. Da die
Sinuskurve einfach eine verschobene Kosinuskurve ist und folgender
Zusammenhang besteht [mm] $\cos(\alpha)=\sin(\alpha+90^\circ)$, [/mm] kann man
einfach den Sinus benutzen.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein,
so frag bitte nach.

Liebe Grüße
Fugre

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