Vektorrechnung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck ABCD ein Paralellogramm ist! ( A(-1|4|3), B(-4|2|1), C(6|-2|7) ) |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Wie löst man das ganze? Ich habs schon mehrmals probiert aber es kommt nichts Richtiges raus. Der Punkt D müsste meiner Meinung nach (durch Überlegung) folgender sein: D(6|-1|8)...
mfg,
Peter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Tipp: Es muss [mm] $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AD}\parallel \overrightarrow{BC}$ [/mm] sein.
Vektoren sind parallel geanu dann, wenn der Betrag des Skalarprodukts gleich dem Produkt ihrer Beträge ist.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
das ist mir schon soweit klar ;)
ich hab jetz gerechnet:
D= 0C + [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
aber irgendwie stimmt das nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> das ist mir schon soweit klar ;)
> ich hab jetz gerechnet:
> D= 0C + [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
Hey, das ist ja noch viel eleganter  (bin schon ne Weile aus diesem Schul-Vektorrechnungs-Kram raus)
> aber irgendwie stimmt das nicht...
Doch, es stimmt. Beweis:
Wir haben beliebige [mm] $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\in \IR^3$ [/mm] vorgegeben und setzen [mm] $\overrightarrow{OD}:=$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AB}$. [/mm] Dann ist
1) [mm] $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}$, [/mm] also [mm] $\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}$
[/mm]
2) [mm] $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}$, [/mm] also auch [mm] $\overrightarrow{BD}\parallel\overrightarrow{AC}$.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
und was kommt nun demnach für den Punkt D raus?
wenn ichs mit
D= [mm] \overrightarrow{OC} [/mm] + [mm] \overrightarrow{AB}
[/mm]
rechne komme ich auf D=(1|-4|5)... was aber, wenn ich mir den punkt mal einzeichne, nicht so recht klappt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> rechne komme ich auf D=(1|-4|5)... was aber, wenn ich mir
> den punkt mal einzeichne, nicht so recht klappt!
Dann hast du dich wahrscheinlich verrechnet. Was hast du denn für [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] raus?
Ich komme auf $D=(3,-4,5)$, weiß aber nicht so richtig wie ich das auf meinem 2-dimensionalen Blatt Papier überprüfen soll.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Di 07.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Robert,
mit deinen Koordinaten kommt ein Trapez raus, kein Paralleloramm
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> mit deinen Koordinaten kommt ein Trapez raus, kein
> Paralleloramm
Also ich habe es jetzt dreimal überprüft:
[mm] $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-4,2,1)-(-1,4,3)=(-3,-2,-2)$ [/mm] und [mm] $D=\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AB}=(6,-2,7)+(-3,-2,-2)=(3,-4,5)$, [/mm] aber wo ist mein Fehler?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Di 07.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Robert,
das Spiel geht doch viel einfacher
[mm] \overline{BC} [/mm] muss [mm] \overline{AD} [/mm] entsprechen. Also ist
[mm] \vec{c}-\vec{b}=\vec{d}-\vec{a}
[/mm]
oder
[mm] \vec{c}-\vec{b}+\vec{a}=\vec{d}
[/mm]
Für D erhalte ich [mm] D=\vektor{9 \\ 0 \\ 9}
[/mm]
Seitenlängen:
a=c=4,123
b=d=12,329
Winkel alle 48,021
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
also mit (9|0|9) liegt der punkt D ja völlig woanders, und das wird erst recht kein parallelogramm meiner meinung nach!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 07.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo SeLeCta,
> also mit (9|0|9) liegt der punkt D ja völlig woanders, und
> das wird erst recht kein parallelogramm meiner meinung
> nach!
warum nicht?
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Di 07.10.2008 | | Autor: | SeLeCta90 |
neja weil dann quasi D (wenn man jetz mal von oben aufs papier guckt) viel weiter links als C liegt und damit wirds kein parallelogramm mehr, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 07.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
warten wir mal auf die Antwort von Robert
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> das Spiel geht doch viel einfacher
> [mm]\overline{BC}[/mm] muss [mm]\overline{AD}[/mm] entsprechen.
Ok ich sehe das Problem. Deine Lösung ist richtig, das Viereck $ABCD$ ist dann ein Parallelogramm, in meiner Lösung entspricht [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] dem Vektor [mm] $\overrightarrow{CD}$, [/mm] d.h. das Viereck $ABDC$ wäre das Parallelogramm, aber danach war ja nicht gefragt.
Trotzdem dürfte, sofern ich mich nicht verrechnet habe, da kein echtes Trapez rauskommen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Di 07.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> > das Spiel geht doch viel einfacher
> > [mm]\overline{BC}[/mm] muss [mm]\overline{AD}[/mm] entsprechen.
> Ok ich sehe das Problem. Deine Lösung ist richtig, das
> Viereck [mm]ABCD[/mm] ist dann ein Parallelogramm, in meiner Lösung
> entspricht [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] dem Vektor
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm], d.h. das Viereck [mm]ABDC[/mm] wäre das
> Parallelogramm, aber danach war ja nicht gefragt.
>
> Trotzdem dürfte, sofern ich mich nicht verrechnet habe, da
> kein echtes Trapez rauskommen.
doch
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Herby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > Trotzdem dürfte, sofern ich mich nicht verrechnet habe, da
> > kein echtes Trapez rauskommen.
> doch
Wie gesagt... dann vertausch mal $C$ und $D$ in meiner Lösung. Das was du da hast durchrechnen lassen sieht nämlich irgendwie so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Robert
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Di 07.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
die Strecke [mm] \overline{CD} [/mm] muss [mm] \overline{DC} [/mm] lauten, dann passt das auch bei deiner Vorgehensweise
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
Also wenn ich mir "dein" D einzeiche stimmts.
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ist bei mir (-5|-2|-2)...
weil wenn ich [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] ausrechne muss ich doch quasi B-A rechnen, oder?
...mh nochmal nachgerechnet, [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = (-3|-2|-2), oder?
...dann komm ich nämlich auch drauf.
=/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> weil wenn ich [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] ausrechne muss ich doch
> quasi B-A rechnen, oder?
Genau
> ...mh nochmal nachgerechnet, [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] =
> (-3|-2|-2), oder?
> ...dann komm ich nämlich auch drauf.
Bestens...
Der Punkt ist, dass in meiner Rechnung wie ich oben schon geschrieben habe, das Viereck $ABDC$ das Parallelogramm wäre, und nicht $ABCD$ wie gefordert. Herby hat statt [mm] $D=C+\overrightarrow{AB}$ [/mm] gerechnet: [mm] $D=C-\overrightarrow{AB}$. [/mm] Das Ergebnis ist sicherlich beides mal ein Parallelogramm, aber auf die Reihenfolge der Ecken kommts eben an.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Di 07.10.2008 | | Autor: | SeLeCta90 |
so wirds wohl sein.
vielen dank euch beiden! wäre ich glaube heute noch dran verzweifelt ;)
|
|
|
|
