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| Aufgabe | Es seien [mm] \vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3} [/mm] linear unabhängige Vektoren.
Zeigen Sie, daß die wie folgt konstruierten Vektoren [mm] \vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3} [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] V^3 [/mm] bilden.
[mm] \vec{c_1}:=\bruch{\vec{a_1}}{\vec{|a_1|}}
[/mm]
[mm] \vec{c_2}:=\bruch{\vec{b_2}}{\vec{|b_2|}}
[/mm]
[mm] \vec{c_3}:=\bruch{\vec{b_3}}{\vec{|b_3|}}
[/mm]
[mm] \vec{b_2}:=\vec{a_2}-(\vec{a_2}*\vec{c_1})*\vec{c_1}
[/mm]
[mm] \vec{b_3}:=\vec{a_3}-(\vec{a_3}*\vec{c_2})*\vec{c_2}-(\vec{a_3}*\vec{c_1})*\vec{c_1}
[/mm]
Bestimmen Sie mit diesem Verfahren eine Orthonormalbasis aus den Vektoren:
[mm] \vec{a_1}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vec{a_2}= \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vec{a_3}= \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
sooo hallo erstmal...
zuerst soll man ja zeigen, dass die ne Orthonormalbasis des [mm] V^3 [/mm] bilden und da liegt schon ganz am anfang mein problem...
wenn ich jetzt in [mm] \vec{b_2} [/mm] den Vektor [mm] \vec{c_1} [/mm] einsetze erhalte ich für [mm] \vec{b_2} [/mm] den nullvektor und dann würde ja [mm] \vec{c_2} [/mm] schon nichtmehr funktionieren...
also ich rechne:
[mm] \vec{b_2}:=\vec{a_2}-(\vec{a_2}*\bruch{\vec{a_1}}{\vec{|a_1|}})*\bruch{\vec{a_1}}{\vec{|a_1|}}
[/mm]
[mm] =\vec{a_2}-(\vec{a_2}*\bruch{\vec{a_1}^2}{\vec{|a_1|}^2})
[/mm]
[mm] =\vec{a_2}-(\vec{a_2}*\bruch{\vec{|a_1|}^2}{\vec{|a_1|^2}})
[/mm]
[mm] =\vec{a_2}-(\vec{a_2}*1)
[/mm]
[mm] =\vec{0}
[/mm]
naja und dann würds ja nimmer weitergehen??!?!
also wie geh ich die sache richtig an??
gruß fisch.auge
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Fr 30.12.2005 | | Autor: | felixf |
> also ich rechne:
>
> [mm]\vec{b_2}:=\vec{a_2}-(\vec{a_2}*\bruch{\vec{a_1}}{\vec{|a_1|}})*\bruch{\vec{a_1}}{\vec{|a_1|}}[/mm]
>
> [mm]=\vec{a_2}-(\vec{a_2}*\bruch{\vec{a_1}^2}{\vec{|a_1|}^2})[/mm]
Genau hier liegt dein Problem: das geht so nicht!
Du musst dir erstmal ueber die Bedeutung von [mm] $\cdot$ [/mm] klarwerden. Das hat hier naemlich zwei grundlegend verschiedene Bedeutungen:
Einmal stehen bei [mm] $\vec a_2 \cdot \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|}$ [/mm] zwei Vektoren auf den beiden Seiten von [mm] $\cdot$, [/mm] naemlich einmal [mm] $\vec a_2$ [/mm] und [mm] $\frac{\vec a_1}{|\vec a_1|}$. [/mm] Also ist [mm] $\cdot$ [/mm] hier das Skalarprodukt, das Ergebnis ist eine (reelle) Zahl, nennen wir sie $c$!
Dann hast du $c [mm] \cdot \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|}$, [/mm] also Zahl mal Vektor. Das ist die Skalarmultiplikation, welche einen Vektor ergibt!
Diese beiden Operationen, beide mit [mm] $\cdot$ [/mm] bezeichnet, sind zwar auf gewisse Weise kompatibel, aber auf keinem Fall gilt das Assoziativgesetz!
(Deswegen wird das Skalarprodukt auch oft anders geschrieben, etwa [mm] $\langle \vec a_2, \frac{\vec a_1}{|\vec a_1|}\rangle$.)
[/mm]
Wenn du das jetzt beachtest kommst du weiter.
HTH, Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 30.12.2005 | | Autor: | fisch.auge |
ou ja... habs auch grade gesehen... ich deppert...
danke für deine hilfe!!!
mal weitersehen...
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hmm wohl doch nicht so klar...
könnte mir vielleicht jemand sagen, wie ich jetzt weiter vorgehe???
[mm] \vec{b_2} [/mm] einsetzen?!? ich glaub ich hab ein problem mit dem
> Zeigen Sie, daß die wie folgt konstruierten Vektoren [mm] \vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3} [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] V^3 [/mm] bilden.
wann hab ich das denn gezeigt???
gruß fisch.auge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Fr 30.12.2005 | | Autor: | felixf |
> hmm wohl doch nicht so klar...
> könnte mir vielleicht jemand sagen, wie ich jetzt weiter
> vorgehe???
> [mm]\vec{b_2}[/mm] einsetzen?!? ich glaub ich hab ein problem mit
> dem
> > Zeigen Sie, daß die wie folgt konstruierten Vektoren
> [mm]\vec{c_1}, \vec{c_2}, \vec{c_3}[/mm] eine Orthonormalbasis des
> [mm]V^3[/mm] bilden.
> wann hab ich das denn gezeigt???
Du musst zeigen, dass die drei Vektoren eine Basis bilden. Dazu reicht es zu zeigen, dass sie linear unabhaengig sind. Und dafuer wiederum reicht es zu zeigen, dass sie paarweise orthogonal sind und jeweils eine Laenge [mm] $\neq [/mm] 0$ haben.
Also: Rechne nach, dass das Skalarprodukt zwischen zwei verschiedenen jeweils 0 ist (dann sind sie orthogonal aufeinander). Wenn du das hast, zeige, dass die Laenge jeweils [mm] $\neq [/mm] 0$ ist. Dazu brauchst du, dass die urspruenglichen Vektoren linear unabhaengig sind.
LG & HTH, Felix
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