Vektorraumhomomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und f : [mm] K^n \to K^m [/mm] ein Vektorraumhomomorphismus mit f(x)=Ax für alle x [mm] \in K^n, [/mm] wobei A [mm] \in K^{m x n}. [/mm]
(a) Beweisen Sie für y [mm] \in K^m [/mm] , dass [mm] f^{-1}(y) [/mm] entweder die leere Menge ist oder ein x [mm] \in K^n [/mm] existiert mit [mm] f^{-1}(y) [/mm] = x + Kern(f).
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Hi!
Meine (Teil-)Lösung:
f(x) = A*x = y [mm] \Rightarrow f^{-1}(y) [/mm] = [mm] y*A^{-1} [/mm] = x
Wenn [mm] A^{-1} [/mm] nicht existiert, also A nicht invertierbar ist, dann ist [mm] f^{-1}(y) [/mm] die leere Menge.
Wenn [mm] A^{-1} [/mm] existiert: [mm] f^{-1}(y) [/mm] = [mm] y*A^{-1} [/mm] = x = x + Kern(f)
Was muss ich hier nun genau zeigen? Das [mm] y*A^{-1} [/mm] = x gilt oder x = x + Kern(f) oder [mm] y*A^{-1} [/mm] = x + Kern(f) oder alle drei Sachen?
Bzw. Wie sieht allgemein das Inverse einer m x n Matrix aus? Ich kann zu einer gegebenen Matrix das Inverse (sofern vorhanden) berechnen, kann aber keine Aussage darüber machen wie das Inverse einer m x n Matrix aussehen kann.
Desweiteren weiß ich nicht genau wie der Ausdruck x+Kern(f) aussieht. x [mm] \in K^n [/mm] und für a [mm] \in [/mm] Kern(f) gilt a [mm] \in K^n. [/mm] Also soweit ist die Addition definiert, nur was ist wenn Kern(f) mehrere Elemente enthält. z.b. 2?
Gruß
Pille
P.S.: Das könnte auch ins Lineare Algebra Forum passen, war mir aber nicht sicher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Fr 10.07.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo 
Ich würde anders an die Sache herangehen:
Ich gehe mal davon aus, dass f nicht surjektiv ist. Dann gilt doch für y [mm] \in \IR^m [/mm] entweder
[mm] f^{-1}(y) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
oder
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] f^{-1}(y) [/mm] = x
Sei nun z [mm] \in [/mm] ker(f), d.h. f(z)=0.
Dann gilt (da f Hom.)
f(x+z) = f(x) + f(z) = y + 0 = y
Mit x wird also auch x+z auf y abgebildet, wenn z [mm] \in [/mm] ker(f) ist.
Somit gilt
(*) [mm] f^{-1}(y) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
oder
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] f^{-1}(y) [/mm] = [mm] \{ x+z | z \in ker(f) \} [/mm] = x + ker(f)
Für den Fall, dass f surjektiv ist, fällt (*) natürlich weg.
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ah interessant, so herum hatte ich gar nicht gedacht!
Danke :)
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