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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 So 04.12.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem Internetforum gestellt.
Hallo!
Ich hab hier folgende Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiter komme:
Es sei M eine Menge und ( [mm] \mathcal{P} [/mm] (m) , [mm] \oplus [/mm] ) die abelsche Gruppe aller Teilmengen von M. Ferner sei [mm] \IZ_{2} [/mm] = {1,0} der Körper mit 2 Elementen (Weil es so umständlich ist, hab ich die eckigen Klammern jetzt mal weggelassen) Ich soll zeigen: Durch die Definition 0 * X = [mm] \emptyset [/mm] und 1 * X = X für alle X [mm] \subseteq [/mm] M wird ( [mm] \mathcal{P} [/mm] (m) , [mm] \oplus [/mm] ) zu einem Vekotrraum über [mm] \IZ_{2}
[/mm]
Ich muss doch hier zeigen
1) 0* (X [mm] \oplus [/mm] Y) = 0*X [mm] \oplus [/mm] 0 * Y
1 * (X [mm] \oplus [/mm] Y) = 1*X [mm] \oplus [/mm] 1 * Y
2) (0+1) * X = 0*X [mm] \oplus [/mm] 1* Y
3) (0 * 1) * X = 0 * ( 1 * X )
4) 1 * X = X
also die 4) ist ja schon durch die Def. gegeben
zur 1) erste Zeile: ist ja auch durch die Def. gegeben denn man hat dann [mm] \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
so bei den restlichen Punkten weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Ich weiß net so recht, wie ich mit einer Äquivalenzklasse und Mengen oder auch mit 2 Äquivalenzklassen umgehen soll.
Ich habe ja noch folgendes zu beweisen
1) zweite Aussage: 1 * [mm] ((X\Y) \cup (Y\X)) [/mm] = [mm] ((1*X)\(1*Y)) \cup (1*Y\1*X)
[/mm]
2)(0+1) * X = 0*X [mm] \oplus [/mm] 1* Y
3) (0 * 1) * X = 0 * ( 1 * X )
Gruß Katrin
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> Es sei M eine Menge und ( [mm]\mathcal{P}[/mm] (m) , [mm]\oplus[/mm] ) die
> abelsche Gruppe aller Teilmengen von M.
Hallo,
da fehlt eine brandheiße Information: was soll denn hier [mm] \oplus [/mm] bedeuten?
Das kann ja nicht die Vereinigung sein. Die symmetrische Differenz wahrscheinlich...
>Ferner sei [mm]\IZ_{2}[/mm]
> = {1,0} der Körper mit 2 Elementen (Weil es so umständlich
> ist, hab ich die eckigen Klammern jetzt mal weggelassen)
> Ich soll zeigen: Durch die Definition 0 * X = [mm]\emptyset[/mm] und
> 1 * X = X für alle X [mm]\subseteq[/mm] M wird ( [mm]\mathcal{P}[/mm] (m) ,
> [mm]\oplus[/mm] ) zu einem Vekotrraum über [mm]\IZ_{2}[/mm]
>
> Ich muss doch hier zeigen
> 1) 0* (X [mm]\oplus[/mm] Y) = 0*X [mm]\oplus[/mm] 0 * Y
> 1 * (X [mm]\oplus[/mm] Y) = 1*X [mm]\oplus[/mm] 1 * Y
> 2) (0+1) * X = 0*X [mm]\oplus[/mm] 1* Y
Daß da hinten Y steht, ist wohl nur ein Schreibfehler.
Aber Du mußt doch auch (0+0)X, (0+1)X, (1+0)X, (1+1)X zeigen, sofern Du nicht triftige Gründe dafür ins Feld führen kannst, daß irgendetwas davon wegfällt.
> 3) (0 * 1) * X = 0 * ( 1 * X )
Hier genauso.
> 4) 1 * X = X
>
> also die 4) ist ja schon durch die Def. gegeben
> zur 1) erste Zeile: ist ja auch durch die Def. gegeben
> denn man hat dann [mm]\emptyset[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> Ich habe ja noch folgendes zu beweisen
>
> 1) zweite Aussage: 1 * [mm]((X\Y) \cup (Y\X))[/mm] = [mm]((1*X)\(1*Y)) \cup (1*Y\1*X)[/mm]
1*( X [mm] \oplus [/mm] Y)= X [mm] \oplus [/mm] Y (denn X [mm] \oplus [/mm] Y [mm] \in [/mm] P(M) )
=1*X [mm] \oplus [/mm] 1*Y nach Def. v. *
>
> 2)(0+1) * X = 0*X [mm]\oplus[/mm] 1* X
Was ist den 0+1 in den Restklassen modulo 2? 0+1=1
Also hat man (0+1)*X=1*X=X=X [mm] \oplus [/mm] ... (wie's jetzt weitergeht, hängt von der Def. v. [mm] \oplus [/mm] ab. Ich nehme mal an, daß [mm] \emptyset [/mm] das neutrale Element in Deiner abelschen Gruppe ist, bei [mm] \oplus [/mm] = symmetrische Differenz z.B. wäre das so.)
Dann hast Du X=X [mm] \oplus \emptyset=1*X \oplus [/mm] 0*X
> 3) (0 * 1) * X = 0 * ( 1 * X )
Was 0 * ( 1 * X ) ist, kannst du sofort ausrechnen, da werden ja gar keine Restklassen verknüpft.
Für den vorderen Teil der Gleichung mußt Du wissen, daß 0*1=0 ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Kati |
Dankeschön!
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