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| Aufgabe | Sei K ein Körper
(i) Sei [mm] B=(b_1,...,b_n) [/mm] eine beliebige Basis des Vektorraums V über K und [mm] f:=id_V [/mm] die Identität auf V. Bestimmen sie [mm] A_{f,B,B}.
[/mm]
(ii) Sei B die kanonische Basis von [mm] K^n [/mm] und [mm] p_j:K^n \to [/mm] K die Projektion auf die j-te Komponente. Bestimmen Sie [mm] A_{pj,B,B}.
[/mm]
(iii) Sei A [mm] \in K^{m \times n} [/mm] beliebige. Zeigen sie, dass durch x [mm] \mapsto [/mm] A*x eine lineare Abbildung [mm] f_A [/mm] von [mm] K^n [/mm] nach [mm] K^m [/mm] definiert wird und finden sie Basen X von [mm] K^n [/mm] und Y von [mm] K^m [/mm] mit [mm] A=A_{f_A,X,Y}. [/mm] |
Hallo,
ich arbeite momentan an der oben stehenden Aufgabe, aber komme leider nicht besonders gut voran. Kann mir jemand helfen?? Also soweit mein Verständnis:
(i)
B ist eine Basis von V und f ist eine Abbildung von V nach V, also die id-Abbildung.
Aber bei [mm] A_{f,B,B} [/mm] bin ich mir nicht ganz sicher, ist A eine Matrix, welche die Abbildung f von B nach B (also von Basis zu Basis --> es reicht ja bei der Abbildung die Basen zu betrachten, da diese ja quasi V "erzeugen"", ja??). aber was hat es mit dieser Matrix auf sich?? Ich kan mir das nicht wirklich vorstellen und weiß nicht, ob das stimmt, was ich geschrieben habe..
(ii)
Hier ist es das gleiche Problem, nur mit [mm] A_{pj,B,B}. [/mm] Kann mir das jemand erklären??
(iii)
Dazu habe ich momentan gar keine Idee, aber vielleicht kommt das noch, wenn ich erstmal i und ii verstanden / gemacht habe..
Kann mir jemand helfen???
Vielen Dank schon mal.
LG
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Du solltest Dich so umgehend wie geschwind schlau machen, was eine Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung (bezgl. gegebener Basen ) ist.
Schau mal in DEinen Unterlagen oder hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatrix
FRED
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Hallo,
danke für den Link und die schnelle Antwort,
in meinem Skript un in der Lesung haben wir dazu eigentlich nur die Funktionsweise des ganzen besprochen und nicht wirklich geklärt, die die Matrix aussieht. Also, das was ich weiß/was wir gelernt haben:
Ich habe zwei VR: V und W. X ist eine Basis von V und Y eine Basis von W. f: V-->W.
Worüber wir besonders gesprochen haben in der Lesung: Wenn ich in V ein Element a habe, dann kann ich dieses durch die basis X darstellen: a= [mm] \alpha*x [/mm] und wenn ich das nun mit f abbilde, dann auf ein [mm] f(a)=f(\alpha*x)=b [/mm] in W. und das Kann ich dann widerum duch die Basis Y darstellen.und durch diese Abbildung erhalkte ich eine Matrix von [mm] b_{1Y}...b_{nY}. [/mm]
Ist das vielleicht die Matrix [mm] A_{f,X,Y}, [/mm] also die Martix, die eine Abbildung (f) von der Basis X zur Basis Y beinhaltet?? Die matrix zeigt also, wie ich alle Elemente von V auf W under der Fkrn f abgebildet werden Es gilt also [mm] f(x_1)_Y,...,f(x_n)_Y=b_{1Y},...,b_{nY}, [/mm] simmt das??
LG und danke für deine Hilfe
pythagora
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Hallo,
ja, was Du da schreibst stimmt.
Die Matrix - ich schreibe sie mit Grund etwas anders als Ihr - [mm] _YM(f)_X [/mm] liefert Dir die Bilder von Vektoren aus V, die in Koordinaten bzgl der Basis X gegeben sind, in Koordinaten bzgl Y.
Das, was Du schreibst, beinhaltest auch eine Gebrauchsanweisung dafür, wie man diese darstellende Matrix aufstellt:
in den Spalten von [mm] _YM(f)_X [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von X unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. der Basis Y.
Hiermit kannst Du dann i) und ii) auf jeden Fall erledigen, wobei ich denke, daß in ii) ein Druckfehler ist, denn die Basis B ist ja keine von K ( als VR über K)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Do 21.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Ok, ich mache mich nachher mal dran und versuche was.. Hab jetzt gleich Lesung
LG
pythagora
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Hi,
ich hab i und ii mittlerweile gemacht (brauchte gedanklich einfach mal ne Abwechslung)
Aber bei iii hab ich irgendwie das gefühl dass das eine Fangfrage ist, denn die Basis hängt ja von der Matrix A ab, welche ja wiederum für das bild von f zuständig ist... Also könnte es sich doch um irgendeine Matrix handeln....
Ich komme da nicht wirklich zurecht, kann mir jemand mit iii helfen??
LG und vielen Dank
pythagora
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| Aufgabe |
(iii) Sei A $ [mm] \in K^{m \times n} [/mm] $ beliebige. Zeigen sie, dass durch x $ [mm] \mapsto [/mm] $ A*x eine lineare Abbildung $ [mm] f_A [/mm] $ von $ [mm] K^n [/mm] $ nach $ [mm] K^m [/mm] $ definiert wird und finden sie Basen X von $ [mm] K^n [/mm] $ und Y von $ [mm] K^m [/mm] $ mit $ [mm] A=A_{f_A,X,Y}. [/mm] $ |
> Aber bei iii hab ich irgendwie das gefühl dass das eine
> Fangfrage ist, denn die Basis hängt ja von der Matrix A
> ab, welche ja wiederum für das bild von f zuständig
> ist... Also könnte es sich doch um irgendeine Matrix
> handeln....
hallo,
um "irgendeine" Matrix kann es sich hier nicht handeln, denn die Matrix ist ist ja fest vorgegeben.
Wir konkretisieren die Aufgabe - ziemlich sinnvoll, sowas selbst zu tun, wenn man mal eine Aufgabenstellung nicht versteht.
Sei [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\5&6. }
[/mm]
Behauptung (zu beweisen):
Die Abbildung
[mm] f_A:\IR^2\to \IR^3 [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2}):=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\5&6 }*\vektor{x_1\\x_2}
[/mm]
ist linear.
Frage (zu beantworten): Welche Basen des [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3 [/mm] muß man wählen, damit die Matrix A die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] bzgl. dieser Basen ist?
Um eine Antwort auf diese Frage zu finden, muß man erstmal wissen, wie Darstellungsmatrizen aufgestellt werden.
Griuß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:15 So 24.01.2010 | | Autor: | pythagora |
> Wir konkretisieren die Aufgabe - ziemlich sinnvoll, sowas
> selbst zu tun, wenn man mal eine Aufgabenstellung nicht
> versteht.
>
> Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\5&6. }[/mm]
>
> Behauptung (zu beweisen):
>
> Die Abbildung
> [mm]f_A:\IR^2\to \IR^3[/mm] mit
> [mm]f(\vektor{x_1\\x_2}):=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\5&6 }*\vektor{x_1\\x_2}[/mm]
>
> ist linear.
>
> Frage (zu beantworten): Welche Basen des [mm]\IR^2[/mm] bzw. [mm]\IR^3[/mm]
> muß man wählen, damit die Matrix A die Darstellungsmatrix
> von [mm]f_A[/mm] bzgl. dieser Basen ist?
>
> Um eine Antwort auf diese Frage zu finden, muß man erstmal
> wissen, wie Darstellungsmatrizen aufgestellt werden.
Ok, ich habe mich bisher nur mit dem umgekehrten Fall (aber auch nur 1mal) beschäftigt; ich hatte die Basen und die lin vorgegeben und sollte A bestimmen...
Also die Basis X bestheht ja aus 2 komponenten x1 und x2 und Y aus IR3 besteht aus 3 komponenten y1,y2 und y3.
Also müsste doch
[mm] x_1=y_1+3y_2+5y_3
[/mm]
[mm] x_2=2y_1+4y_2+6y_3
[/mm]
sein, oder? Wenn ich mit den beiden Gleichungen rumrechne komme ich auf [mm] x_2=2x_1 [/mm] aber wie ich damit jetzt auf die basen komme, weiß ich nicht...; die waren bei uns bisher wie gesagt immer vorgegeben-.....
kannst du mir an dieser stelle weiterhelfen??
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> > Wir konkretisieren die Aufgabe - ziemlich sinnvoll, sowas
> > selbst zu tun, wenn man mal eine Aufgabenstellung nicht
> > versteht.
> >
> > Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\5&6. }[/mm]
> >
> > Behauptung (zu beweisen):
> >
> > Die Abbildung
> > [mm]f_A:\IR^2\to \IR^3[/mm] mit
> > [mm]f(\vektor{x_1\\x_2}):=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\5&6 }*\vektor{x_1\\x_2}[/mm]
>
> >
> > ist linear.
> >
> > Frage (zu beantworten): Welche Basen des [mm]\IR^2[/mm] bzw. [mm]\IR^3[/mm]
> > muß man wählen, damit die Matrix A die Darstellungsmatrix
> > von [mm]f_A[/mm] bzgl. dieser Basen ist?
> >
> > Um eine Antwort auf diese Frage zu finden, muß man erstmal
> > wissen, wie Darstellungsmatrizen aufgestellt werden.
> Ok, ich habe mich bisher nur mit dem umgekehrten Fall
> (aber auch nur 1mal) beschäftigt; ich hatte die Basen und
> die lin vorgegeben und sollte A bestimmen...
> Also die Basis X bestheht ja aus 2 komponenten x1 und x2
> und Y aus IR3 besteht aus 3 komponenten y1,y2 und y3.
Hallo,
mit Komponenten meinst Du Vektoren?
>
> Also müsste doch
> [mm]x_1=y_1+3y_2+5y_3[/mm]
> [mm]x_2=2y_1+4y_2+6y_3[/mm]
???
Das kann ja schon deshalb nicht sein, weil die einen Vektoren dem [mm] \IR^2 [/mm] entstammen und die anderen dem [mm] \IR^3. [/mm]
Aber ich glaube, ich verstehe gerade gar nicht, was Du machst.
Gruß v. Angela
> sein, oder? Wenn ich mit den beiden Gleichungen rumrechne
> komme ich auf [mm]x_2=2x_1[/mm] aber wie ich damit jetzt auf die
> basen komme, weiß ich nicht...; die waren bei uns bisher
> wie gesagt immer vorgegeben-.....
> kannst du mir an dieser stelle weiterhelfen??
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Hallo,
wäre die Basis aus [mm] \IR^2 [/mm] nicht von der Machart [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0}???
[/mm]
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> Hallo,
> wäre die Basis aus [mm]\IR^2[/mm] nicht von der Machart [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\ 0}???[/mm]
Hallo,
zunächst mal ist das natürlich eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Und wenn Du das, was Du schreibst, richtig meinst, dann hast Du ins Schwarze getroffen.
Beurteilen könnte ich es besser, wenn Du auch Argumente liefern wurdest.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich habe mal den Beweis für die Linearität versucht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ich weiß aber nicht ob das so geht, mag mal jemand schauen?
Und mit den Basen (bzw. dem herausfinden der Basen) komme ich leider auch nicht weiter...
Kann mir bitte jemand helfen?? Danke..
LG
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
das ist richtig so.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich hänge noch mal was dran^^
ich habe jetzt in der zwischenzeit noch mal was gemacht, so sieht meine Lösung jetzt aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich wüsste gerne, ob das so geht, und wo ich evt. noch was ändern/ergänzen müsste..
Tut mir leid, dass ich es nicht tippe, aber es ich jetzt einfach zu spät...
Gute Nacht liebes Forum
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
> ich hänge noch mal was dran^^
> ich habe jetzt in der zwischenzeit noch mal was gemacht,
> so sieht meine Lösung jetzt aus:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo,
da stehen jetzt lauter richtige Sachen.
Du mußt nun nur noch sagen, welches die Basen X und Y hier sind.
Du hast doch selbst geschrieben - vielleicht ohne es zu merken- daß in den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] _YM(f)_X [/mm] die Bilder der Basisvektoren von X in Koordinaten bzg. Y stehen.
Nun überleg' mal, die Bilder welcher Vektoren in den Spalten von A stehen.
Nehmen wir ruhig wieder das Beispiel, welches ich eingangs brachte:
steht da in der ersten Spalte das Bild von [mm] \vektor{47\\11}? [/mm] Nein. Sondern...
Gruß v. Angela
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Moin, wären es dann die Vektoren:
(1,0,0,0,0,0,....,0) (0.1.0.0,0...,,0,0,) ... (0,0,0,...,0,1) und davon n verschiedene unnd jeweils der länge m????
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> Moin, wären es dann die Vektoren:
> (1,0,0,0,0,0,....,0) (0.1.0.0,0...,,0,0,) ...
> (0,0,0,...,0,1) und davon n verschiedene unnd jeweils der
> länge m????
Hallo,
ich mag diese Ja-Nein-Spiele nicht so.
Was spricht dafür, daß es dieses Basen sind, was spricht dagegen?
Gruß v. Angela
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Nun ja ich brauche ja pro Zeile des Basen-Vektors eine 1, damit ich auch alle möglichen Vekktoren mit der Basis ( also den Vektroren mit lauter nullen und einer eins ) darstellen kann. Ich hab mir das so gedacht die auch im R2 mit 01 und 10 oder im R3 mit der Basis 100 010 001 oder auch andere kombinationen; z.B. für R2 geht ja auch 11 und 10, weil ich duch diese beiden auch 01 bekomme....
Und so stelle ich mir das auch für X und Y vor:
(1,0,0,0,0,0,....,0) (0.1.0.0,0...,,0,0,) ... (0,0,0,...,0,1) und davon n (Anzahl der Spalten) verschiedene unnd jeweils der länge m (anzahl der Zeilen/Länge der Spalten).
So mein Gedankengang, ich hoffe das ist verständlich....
Habe ich das so richtig gedacht^^??
LG
pythagora
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> Nun ja ich brauche ja pro Zeile des Basen-Vektors eine 1,
> damit ich auch alle möglichen Vekktoren mit der Basis (
> also den Vektroren mit lauter nullen und einer eins )
> darstellen kann. Ich hab mir das so gedacht die auch im R2
> mit 01 und 10 oder im R3 mit der Basis 100 010 001 oder
> auch andere kombinationen; z.B. für R2 geht ja auch 11 und
> 10, weil ich duch diese beiden auch 01 bekomme....
> Und so stelle ich mir das auch für X und Y vor:
> (1,0,0,0,0,0,....,0) (0.1.0.0,0...,,0,0,) ...
> (0,0,0,...,0,1) und davon n (Anzahl der Spalten)
> verschiedene unnd jeweils der länge m (anzahl der
> Zeilen/Länge der Spalten).
> So mein Gedankengang, ich hoffe das ist verständlich....
> Habe ich das so richtig gedacht^^??
> LG
> pythagora
Moment mal!
Nein, verständlich ist das nicht...
Könnte es sein, daß Du mir da oben gerade wortreich erklärst, daß die Einheitsbasis des [mm] K^n [/mm] - eine Basis ist, oder worum geht's Dir gerade?
Du hattest doch hier recht Sinnvolles geschrieben - und falls das wirklich aus Deiner Feder stammte, bringe ich das echt nicht zusammen mit der Qualität dessen, was hier jetzt zu lesen ist.
Es geht doch darum, bzgl welcher Basen X und Y die Matrix A die Darstellungsmatrix von [mm] f_A [/mm] ist, und in Deinem Anhang stand eigentlich alles Vorbereitende drin.
Vielleicht schaust Du nochmal das konkrete Beispiel an - empfahl ich das nicht bereits?
Das Bild eines welchen Vektors steht in der ersten Spalte, das Bild eines welchen in der zweiten?
Gruß v. Angela
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Hi, du ich sitze gerde in der Lesung, aknn daher nicht sosoo supi erklären... Sorry
Nun ja die Spalten sind ja die Bilder der Basis von X also. Wenn ich jezt dein bsp anschaue im R2 sind es ja 2 basen 01 und 10
> Könnte es sein, daß Du mir da oben gerade wortreich
> erklärst, daß die Einheitsbasis des [mm]K^n[/mm] - eine Basis ist,
> oder worum geht's Dir gerade?
Einheitsbasis?? (weiß nicht so recht, was das ist...--> werde das später mal nachschlagen)ich dachte an die kanonische BAssi.... Das sollte durch meine kruddeligen erklärungen zum ausdruck gebracht werden...
> Du hattest doch hier recht Sinnvolles
> geschrieben - und falls das wirklich aus Deiner Feder
> stammte, bringe ich das echt nicht zusammen mit der
> Qualität dessen, was hier jetzt zu lesen ist.
meinst du mit hier das von gestern?? wenn ich das klicke kommt irgendwie die anfangsseite bei mir... Das von gestern (das bild) und alles andere ist natürlich von mir (nur die defs sind halt ausm skript...) ... Ich möchte ja vertshen und lernen und das geht nunmal nur, wenn man es selber macht...
> Das Bild eines welchen Vektors steht in der ersten Spalte,
das bild von x1
> das Bild eines welchen in der zweiten?
das bild von x2
...
Aber gefrgt ist ja wie X und Y selbst ausschauen und nicht A, und X und Y (also die Form) habe ich ja schon und desweiteren dachte ich dann dsass sie die kanonische basis sind...
Ich hoffe, dass es jetzt ein wenig verständlicher ist...
LG
ypthagora
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> Nun ja die Spalten sind ja die Bilder der Basis von X
Hallo,
es sind die Bilder der Basisvektoren der Basis X.
> also. Wenn ich jezt dein bsp anschaue im R2 sind es ja 2
> basen 01 und 10
Autsch. Es sind nicht zwei Basen. Sondern zwei Basisvektoren.
Basen des [mm] \IR^2 [/mm] gibt's viel, alle bestehen aus zwei Basisvektoren.
Achte auf Deine Sprache: wenn Du diese Dinge nicht immer klar formulierst, machst Du Dich selbst huschig.
> Einheitsbasis?? (weiß nicht so recht, was das ist...-->
> werde das später mal nachschlagen)ich dachte an die
> kanonische BAssi.... Das sollte durch meine kruddeligen
> erklärungen zum ausdruck gebracht werden...
Ah.
Kanonische Basis ist das, was ich mit Standardbasis oder Einheitsbasis meinte.
> > Das Bild eines welchen Vektors steht in der ersten Spalte,
> das bild von x1
Was meinst Du mit [mm] x_1? [/mm] Diesen: [mm] \vektor{1\\0} [/mm] ?
> > das Bild eines welchen in der zweiten?
> das bild von x2
> ...
>
> Aber gefrgt ist ja wie X und Y selbst ausschauen und nicht
> A, und X und Y (also die Form) habe ich ja schon und
> desweiteren dachte ich dann dsass sie die kanonische basis
> sind...
> Ich hoffe, dass es jetzt ein wenig verständlicher ist.
Gefragt ist, welches X und Y sein müssen, damit die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] f_A [/mm] gerade die Matrix A ist.
"Kanonische Basis" ist schon richtig - ich denke, die Zeit bis zur Abgabe ist streng am Laufen, wenn Du sogar in der Vorlesung die HÜ bearbeitest...
Gruß v. Angela
>
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Ja, die Zeit läuft, gut bemerkt; ist momentan ein bisschen viel zu gleich zu machen...
Also reicht kanonische Basis als angabe für die Basen X und Y, ja??
LG
pythagora
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> Ja, die Zeit läuft, gut bemerkt; ist momentan ein bisschen
> viel zu gleich zu machen...
> Also reicht kanonische Basis als angabe für die Basen X
> und Y, ja??
Hallo,
richtig ist es jedenfalls.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Ok, danke für deine Hilfe...
Bin mal gespannt^^
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