Vektorraum und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 So 11.12.2005 | | Autor: | Elbi |
Hallo
ich bin's wieder mit eienr neue afgabe an die ich am verzweifeln bin. Also eigentlcih ist mir der Satz der da bewiesen werden soll klar, aber ich weiß nicht wie man den beweisen soll. HILFE!!!
Die Aufgabe:
Es sei K ein Körper und V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum. Weiter seien U und W Untervektorräume von V. Zeigen SIe:
Es gilt [mm]U \cap W = \{ 0 \}[/mm] und U+W=V genau dann, wenn für jede geordnete Basis [mm](u_1, ..., u_k)[/mm] von U und jede geordnete Basis [mm](w_1, ... ,w_m)[/mm] von W das Tupel [mm](u_1, ... ,u_k,w_1, ... ,w_m)[/mm] eine geordnete Basis von V ist.
Ja, das ist die Aufgabe. Habt ihr einen Lösungsansatz für mich?
LG
Elbi
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> Die Aufgabe:
> Es sei K ein Körper und V ein endlich-erzeugter
> K-Vektorraum. Weiter seien U und W Untervektorräume von V.
> Zeigen SIe:
> Es gilt [mm]U \cap W = \{ 0 \}[/mm] und U+W=V genau dann, wenn
> für jede geordnete Basis [mm](u_1, ..., u_k)[/mm] von U und jede
> geordnete Basis [mm](w_1, ... ,w_m)[/mm] von W das Tupel [mm](u_1, ... ,u_k,w_1, ... ,w_m)[/mm]
> eine geordnete Basis von V ist.
>
> Ja, das ist die Aufgabe. Habt ihr einen Lösungsansatz für
Hallo,
laß uns sammeln, was wir zur Vefügung haben:
Gegeben ist ein VR V mit Unterräumen U,W .
Diese Untervektorräume haben irgendwelche Basen [mm] (u_1,..., [/mm] u-k) und [mm] (w_1,...., w_m).
[/mm]
Gezeigt werdensoll zweierlei:
1) U [mm] \cap [/mm] W = { 0 } und U+W=V ==> [mm] (u_1,...,u_k,w_1,...,w_m) [/mm] ist Basis von V
2) [mm] (u_1,...,u_k,w_1,...,w_m) [/mm] ist Basis von V ==> U [mm] \cap [/mm] W = { 0 } und U+W=V
zu1) Du mußt also zeigen, daß [mm] (u_1,...,u_k,w_1,...,w_m) [/mm] a) Erzeugendensystem ist und b) linear unabhängig.
zu 2) U+W=V ist nahezu sonnenklar. Für U [mm] \cap [/mm] W = { 0 } nimm an, daß es ein Element gibt, welches in U und in W liegt.
Gruß v. Angela
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