Vektorraum über Matrizen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | rainman |
| Aufgabe | | Sind die Matrizen [mm]
A_1 = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix},
A_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
A_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
A_4 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm] linear abhängig? |
Mir ist (meine ich ;)) klar, dass ich nachweisen muss, dass es nur die triviale Lösung für [mm]a_1A_1 + a_2A2 + a_3A_3 + a4_A4 = 0[/mm] gibt, also muss ich Lösungen ermitteln für
[mm]
\begin{pmatrix} A_1 \\A_2\\A_3\\A_4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\a_3\\a_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}
[/mm]
Leider habe ich so meine liebe Not mit dem Vektorraum aus Matrizen, den ich mir irgendwie nicht so recht vorstellen kann. Bei Vektorräumen über skalaren Typen (wie [mm]\mathbb{K}^n[/mm]) oder Vektorräumen über Polynomen ist in jedem Element des Vektorraumes ja immer nur ein "eindimensionaler" (mir ist klar, dass das Wort nicht ganz korrekt ist) Vektor enthalten. Bei den Matrizen aber ein "zweidimensionaler". Irgendwie bleibe ich da immer hängen.
Die zu lösende Gleichung sieht doch eigentlich (immer noch verkürzt) so aus:
[mm]
\begin{pmatrix} A_1 \\A_2\\A_3\\A_4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\a_3\\a_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 &0 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 &0 \end{pmatrix} \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Liege ich da richtig?
Aufgrund meiner Probleme komme ich auch nicht auf die Lösung zu obiger Gleichung, vermutlich weil mir hier das Grundverständnis fehlt. Ich bitte auch die unmathematische Beschreibung zu entschuldigen, die ist ein Resultat genau der vorliegenden Probleme ;) Für Hinweise wäre ich überaus dankbar.
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mi 12.11.2008 | | Autor: | rainman |
Ich habe mich bei der unteren Matrix leider vertippt, kann jetzt aber keine Bearbeitung mehr durchführen da schon jemand reserviert hat. Daher jetzt als Mitteilung, da der Vertipper u.U. zentral ist:
[mm]
\begin{pmatrix} A_1 \\A_2\\A_3\\A_4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\a_3\\a_4 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Sorry... dabei bin ich ein paar mal durch die Vorschau gegangen... :(
Rainer
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> Sind die Matrizen [mm]
A_1 = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix},
A_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
A_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
A_4 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
> linear abhängig?
> Mir ist (meine ich ;)) klar, dass ich nachweisen muss,
> dass es nur die triviale Lösung für [mm]a_1A_1 + a_2A2 + a_3A_3 + a4_A4 = 0[/mm]
> gibt, also muss ich Lösungen ermitteln für
Hallo,
Du mußt Lösungen ermitteln für
[mm] a_1*\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_2* \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}+ a_3* \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} +a_4*\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}=\pmat{0&0\\0&0}
[/mm]
Überzeuge Dich, daß ich hier nichts anders getan habe, als die Linearkombination, von der in der Def. der linearen Unabhängigkeit die Rede ist, aufzustellen.
Nun rechne die linke Seite aus : [mm] \pmat{...&...\\...&...}=\pmat{0&0\\0&0}.
[/mm]
Durch Gleichsetzen der vier Einträge rechts und links bekommst Du ein homogenes linearens Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit 4 Variablen, welches Du dann lösen mußt, sollst und kannst.
Gruß v. Angela
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