Vektorraum lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Mi 01.12.2004 | | Autor: | Nadja |
hi
Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Die Aufgabe lautet:
Es seinen V und W Vektorräume über K und A: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Für eine Teilmenge R [mm] \subset [/mm] V sei A(R) := {Av / v [mm] \in [/mm] R} und für eine Teilmenge S [mm] \subset [/mm] W sei A^-1(S):={v [mm] \in [/mm] V / Av [mm] \in [/mm] S}.
Zeigen Sie: Sind R [mm] \subset [/mm] V und S [mm] \subset [/mm] W lineare Teilräume, so sind auch A(R) und A^-1(S) lineare Teilräume.
Sind R und S affine Teilräume, so auch A(R) und A^-1(S).
Danke im voraus
Nadja
Ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.
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Hallo Nadja!
Wo genau liegt Dein Problem bei der Aufgabe...? Man setzt die Definitionen ein und ist im Grunde fertig.
Ich rechne Dir mal einen Teil vor - den Rest kannst Du dann selbst versuchen.  Solltest Du dabei Probleme haben, frag einfach nach.
Also, $R$ ist ein Unterraum von $V$ und wir betrachten $A(R)$. Wir müssen 3 Dinge zeigen:
i) $0 [mm] \in [/mm] A(R)$
ii) Falls $w,w' [mm] \in [/mm] A(R)$, dann folgt: $w + w' [mm] \in [/mm] A(R)$
iii) Für $w [mm] \in [/mm] A(R)$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gilt: [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] A(R)$
Denn dies sind die charakterisierenden Eigenschaften eines Unterraumes.
Also los:
i) Da $R$ ein Unterraum ist, gilt: $0 [mm] \in [/mm] R$. Also ist auch $0 = A(0) [mm] \in [/mm] A(R)$. (Beachte hierbei: einmal handelt es sich um den Nullvektor in $V$, das andere Mal um den Nullvektor in $W$!)
ii) Seien $w, w' [mm] \in [/mm] A(R)$, d.h. es gibt Vektoren $v,v' [mm] \in [/mm] R$ mit $A(v) = w$ und $A(v') = w'$. Es gilt: $w + w' = A(v) + A(v') = A(v + v')$. Da $R$ ein Unterraum ist, gilt $v+v' [mm] \in [/mm] R$ und also $A(v+v') [mm] \in [/mm] A(R)$.
iii) Sei $w [mm] \in [/mm] A(R)$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Dann gibt es wieder ein $v [mm] \in [/mm] R$ mit $A(v) = w$. Es folgt: [mm] $\lambda [/mm] w = [mm] \lambda [/mm] A(v) = A( [mm] \lambda [/mm] v)$. Da $R$ ein Unterraum ist, gilt [mm] $\lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] R$ und das zeigt das Gewünschte.
War doch ganz leicht, oder?
Viel Glück!
Lars
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Stimmt! mir der Def gehts leicht aber beim zweiten Teil der Aufgabe....der affinen Abbildung: wo kriegt man den den zweiten Untervektorraum von V her. R = v + ?
Ein kleiner Tip für den Ansatz wäre Toll
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Hallo!
Das ist auch nciht schwer: man verwendet, was man hat.
Falls $R$ ein affiner Teilraum von $V$ ist, dann gibt es einen Unterraum $U [mm] \subseteq [/mm] V$ und einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ mit $R = U + v$.
Definiere nun: $U' := A(U)$. Nach Teil 1 ist $U'$ ein Unterraum von $W$.
Ich behaupte: $A(R) = U' + A(v)$ und damit waere $A(R)$ affin.
Sei $w [mm] \in [/mm] A(R)$ beliebig, dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] R$ mit $A(x) = w$. Zu dem $x$ wiederum gibt es ein $u [mm] \in [/mm] U$ mit $x = u + v$ nach Definition von $R$. Es folgt:
$w = A(x) = A(u + v) = A(u) + A(v) [mm] \in [/mm] U' + A(v)$
Umgekehrt genauso... also die andere Inklusion. Und damit ist man schon fertig.
Lars
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