Vektorraum der rellen Polynome < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Di 12.08.2008 | | Autor: | simon23 |
| Aufgabe | Für jedes $ n [mm] \in \IN [/mm] $ bezeichne [mm] P_n [/mm] den Vektorraum der reellen Polynome
vom Grad [mm] \le [/mm] n. Eine Basis für [mm] P_n [/mm] ist [mm] B_n [/mm] = [mm] \{P_0 , P_1, ... Pn\} [/mm] , mit [mm] P_k(x) [/mm] := [mm] x^k [/mm] für k [mm] \le [/mm] n.
a) Bestimmen sie die Abbildungsmatrix [mm] M_T^{B_4,B_2} [/mm] der linearen Abbildung
$ T : [mm] P_2 \to P_4 [/mm] : P [mm] \mapsto \integral_{0}^{x}{P(t) dt} [/mm] $
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Hallo!
Also nun eine Basis von [mm] P_2 [/mm] ist ja wohl [mm] B_2 [/mm] = [mm] \{1, x, x^2\} [/mm] und von [mm] P_4: B_4 [/mm] = [mm] \{1, x, x^2, x^3, x^4\} [/mm] oder habe ich da schon etwas falsch verstanden?
Wie komme ich nun auf die Abbildungsmatrix?
Sind es die Basisvektoren von [mm] B_2 [/mm] aufgeleitet?
Und wieviele Spaltenvektoren enthält die Abbildungsmatrix, da sich die Anzahl an vektoren der 2 Basen ja unterscheiden...
Komme hier echt nicht weiter :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gruß simon
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> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] bezeichne [mm]P_n[/mm] den Vektorraum der
> reellen Polynome
> vom Grad [mm]\le[/mm] n. Eine Basis für [mm]P_n[/mm] ist [mm]B_n[/mm] = [mm]\{P_0 , P_1, ... Pn\}[/mm]
> , mit [mm]P_k(x)[/mm] := [mm]x^k[/mm] für k [mm]\le[/mm] n.
>
> a) Bestimmen sie die Abbildungsmatrix [mm]M_T^{B_4,B_2}[/mm] der
> linearen Abbildung
>
> [mm]T : P_2 \to P_4 : P \mapsto \integral_{0}^{x}{P(t) dt}[/mm]
>
>
> Hallo!
>
> Also nun eine Basis von [mm]P_2[/mm] ist ja wohl [mm]B_2[/mm] = [mm]\{1, x, x^2\}[/mm]
> und von [mm]P_4: B_4[/mm] = [mm]\{1, x, x^2, x^3, x^4\}[/mm] oder habe ich da
> schon etwas falsch verstanden?
Hallo,
das hast du richtig verstanden, und es deckt sich doch auch mit der "Lebenserfahrung", oder?
>
> Wie komme ich nun auf die Abbildungsmatrix?
> Sind es die Basisvektoren von [mm]B_2[/mm] aufgeleitet?
Ogottogott, paß auf, daß Du keine Haue bekommst...
Wir leiten nicht auf, sondern wir suchen Stammfunktionen.
Ja. In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren von [mm] P_2 [/mm] in Koordinaten bzgl der Basis [mm] B_4.
[/mm]
Der zweite Basisvektor von [mm] B_2 [/mm] ist x, sein Bild T(x) ist [mm] T(x)=\bruch{1}{2}x^2=0*1+0*x+\bruch{1}{2}x^2+0*x^3+0*x^4=\vektor{0\\0\\\bruch{1}{2}\\0\\0}_{(B_4)}, [/mm] und dies wäre die zweite Spalte der gesuchten Matrix.
Da der Startraum die Dimension 3 hat, hat man 3 Spalten, und weil der Zielraum die Dimension 5 hat, hat man 5 Zeilen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 12.08.2008 | | Autor: | simon23 |
erstmal danke für deine 2 schnellen Antworten
>Ogottogott, paß auf, daß Du keine Haue bekommst...
>Wir leiten nicht auf, sondern wir suchen Stammfunktionen.
Du hast recht...
Das mit dem Aufleiten hab ich mir vor langer Zeit in der Schule angewöhnt... ;)
Also währe die Matrix
[mm] M_T^{B_4,B_2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3}\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Jetzt würde ich gerne noch die Begriffe Bild und Kern bezüglich dieser Aufgabe klären.
Ist das Bild von [mm] T(B_2) [/mm] = [mm] M_T^{B_4,B_2} [/mm] * [mm] \overrightarrow{x} [/mm] ?
Wie berechne ich den Kern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Di 12.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> erstmal danke für deine 2 schnellen Antworten
>
> >Ogottogott, paß auf, daß Du keine Haue bekommst...
> >Wir leiten nicht auf, sondern wir suchen Stammfunktionen.
>
> Du hast recht...
> Das mit dem Aufleiten hab ich mir vor langer Zeit in der
> Schule angewöhnt... ;)
Sofort abgewöhnen (sonst gibts Haue, wie Angela schon sagte !)
>
> Also währe die Matrix
>
> [mm]M_T^{B_4,B_2}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{3}\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Jetzt würde ich gerne noch die Begriffe Bild und Kern
> bezüglich dieser Aufgabe klären.
>
> Ist das Bild von [mm]T(B_2)[/mm] = [mm]M_T^{B_4,B_2}[/mm] *
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] ?
?????
Schau Dir doch die Abbildungsmatrix an, dann siehst Du:
p liegt genau dann im Bildraum von T, wenn es a, b und c in [mm] \IR [/mm] gibt mit:
p(x) = [mm] ax+bx^2+cx^3
[/mm]
> Wie berechne ich den Kern?
Nimm ein q [mm] \in P_2 [/mm] ( es hat die Gestalt [mm] a+bx+c^2), [/mm] berechne T(q).
Überlege jetzt,dass gilt : T(q) = 0 [mm] \gdw [/mm] a = b = c = 0.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 12.08.2008 | | Autor: | simon23 |
ich nehm mal an, dass das [mm] cx^2 [/mm] heißen soll....
hm wenn ich das richtig verstanden habe hat ja das Bild dann die Dimension 3 oder?
Die 0 ergibt sich doch nur wenn ich eine Konstante Ableite. das Polynom [mm] P_0 [/mm] = [mm] x^0 [/mm] = 1 ist aber nicht im Bild von T enthalten. Kann ich daraus schließen das der Kern(T) = [mm] \emptyset [/mm] ist?
Somit ergibt sich:
[mm] dim(P_2) [/mm] = dim Bild(T) + dim Kern (T) = 3 + 0 = 3
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 12.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> ich nehm mal an, dass das [mm]cx^2[/mm] heißen soll....
Klar, habe mich vertippt
>
> hm wenn ich das richtig verstanden habe hat ja das Bild
> dann die Dimension 3 oder?
Ja
>
> Die 0 ergibt sich doch nur wenn ich eine Konstante Ableite.
> das Polynom [mm]P_0[/mm] = [mm]x^0[/mm] = 1 ist aber nicht im Bild von T
> enthalten. Kann ich daraus schließen das der Kern(T) =
> [mm]\emptyset[/mm] ist?
Nein: Kern(T) = {0}
>
> Somit ergibt sich:
>
> [mm]dim(P_2)[/mm] = dim Bild(T) + dim Kern (T) = 3 + 0 = 3
>
> stimmt das?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Di 12.08.2008 | | Autor: | simon23 |
Danke für die Antworten....
Hat mir auf jeden fall weitergeholfen....
Gruß Simon
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