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| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{P}3 [/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3 und für p,q [mm] \in \mathcal{P}3 [/mm] de nieren wir
<p,q> := [mm] \integral_{1}^{-1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
a.) Überprüfen Sie, dass < , >ein Skalarprodukt auf P3 ist.
b.) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Basis { 1, x, x², x³} an, um eine Orthonormalbasis von [mm] \mathcal{P}3 [/mm] zu bestimmen.
(Hinweis: Bestimmen Sie zunächst allgemein [mm] [/mm] für k,l [mm] \in [/mm] {0,....,3} Unterscheiden Sie dabei die Fälle k + l gerade und k + l ungerade.) |
Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Nach Recherche fand ich nur diesen Satz der mir aber auch nciht wirklich weiter hilft:
"Der Raum aller Polynome n-ten Grades auf [mm] \IR [/mm] ist ein Unterraum von [mm] C(\IR), [/mm] da Addition und Skalaremultiplikation nicht aus den Polynomen hinausführt."
Bei Aufgabe b ist es ähnlich. Ich kann zwar das Gram-Schmidt verfahren, aber habe keine Ahnung ahnung ob das bei Polynomen genauso verläuft. Ganz zu schweigen das mich die Aufgabenstellung allgemein verwirrt.
Grüße
margorion
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]\mathcal{P}3[/mm] der Vektorraum der reellen Polynome vom
> Grad [mm]\le[/mm] 3 und für p,q [mm]\in \mathcal{P}3[/mm] de nieren wir
>
> [mm]\langle p,q \rangle := \integral_{1}^{-1}{p(x)q(x) dx}[/mm]
>
> a.) Überprüfen Sie, dass < , >ein Skalarprodukt auf P3
> ist.
>
>
> b.) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Basis {
> 1, x, x², x³} an, um eine Orthonormalbasis von
> [mm]\mathcal{P}3[/mm] zu bestimmen.
>
zur a)
Formal hast du Eigenschaften eines Skalarprodukts, die musst du abklappern und einzeln zeigen.
Beispielrechnung konkret:
[mm]f(x)=x^2+4[/mm] und [mm]g(x)=x^3+x[/mm]. Dann ist das Skalarprodukt
[mm]\langle f,g \rangle := \integral_{1}^{-1}{f(x)g(x) dx}=\integral_{1}^{-1}{(x^2+4)(x^3+x) dx}=\left(1/6\,{x}^{6}+5/4\,{x}^{4}+2\,{x}^{2} \right)_{-1}^1=0[/mm]
Allgemein:
Probier doch erst einmal zu zeigen, dass für beliebige Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm] gilt
- [mm]\langle f,g \rangle=\langle g,f \rangle[/mm]
- [mm]\langle f+g,h \rangle=\langle f,h \rangle+\langle g,h \rangle[/mm]
....
- [mm]\langle f,f \rangle\geq 0[/mm] (Hier muss ein bisschen Analysis bemüht werden)
und
- [mm]\langle f,f \rangle = 0 \gdw f=0[/mm]
Aber alles mit der obigen Definition vom Skalarprodukt.
Falls es wirklich nicht weitergeht, dann findest du weitere Ideen hier:
https://matheraum.de/read?t=830782
https://matheraum.de/forum/Skalarprodukt_Gram-Schmidt/t792003
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