Vektorraum der Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \mathbb{R}[T] [/mm] soll der Vektorraum der Polynome in der Variablen T mit Koeffizienten in [mm] \mathbb{R} [/mm] sein.
[mm] L:\mathbb{R}[T] \rightarrow \mathbb{R}[T] [/mm] ist die Abbildung [mm] f\rightarrow L(f)=T\cdot f' [/mm].
Man soll zeigen, dass L ein Endomorphismus ist und die Polynome [mm] T^n [/mm] mit [mm] n\in \mathbb{N}_0 [/mm] Eigenvektoren sind. Außerdem folgere man, dass jeder Eigenvektor für L ein skalares Vielfaches eines Monoms [mm] T^n [/mm] ist. |
Hallo,
um nachzusweisen, dass L ein Endomorphismus ist, muss ich zeigen, dass L eine lineare Abbildung ist also allgemein gesprochen:
[mm] f:V \rightarrow V [/mm] ist ein Endom. falls [mm] f(\lambda v+\mu u)=\lambda f(v)+\mu f(u) [/mm].
Wie wende ich das konkret auf meine Abbildung L an, also wie notiere ich dass da genau?
Muss ich mir quasi erst zwei Polynome mit Koeffizienten in [mm] \mathbb{R} [/mm] definieren, also etwa [mm] \varphi(T)=\overset{m}{\underset{i=0}{\sum}}a_{i}T^{i} [/mm] und [mm] \rho(T)=\overset{m}{\underset{i=0}{\sum}}b_{i}T^{i} [/mm] nehmen, und dann zeigen: [mm] L(\lambda \varphi (T)+\mu \rho (T))=\lambda L(\varphi(T))+\mu L(\rho(T)) [/mm].
Ich hab so meine Probleme mit dem T. Könnte mir jemand vielleicht mal den Anfang der Gleichungskette aufschreiben, damit ich mit der Notation nicht durcheinander komme?
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Dein Ansatz ist nicht ganz so verkehrt. Du solltest aber bei der 2. Summe nicht m als "Ende" nehmen, da der Grad des Polynoms ja auch höher sein kann. Der Trick bei verschiedenem Grad ist es, das eine Polynom aufzufüllen mit 0T^(n+1) + 0T^(n+2) + ... + [mm] 0T^m. [/mm] Naja und dann eben die lineare Abbildung zeigen.
f(x+y) = [mm] f(\summe_{i=0}^{n}a_iT^i [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{m}b_iT^i) [/mm] = [mm] f(\summe_{i=0}^{N}(a_i+b_i)T^i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N}(a_i+b_i)*i*T^{i-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n-1}a_i*i*T^{i-1} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{m-1}b_i*i*T^{i-1} [/mm] =
f(x) + f(y)
und das noch für das Skalarprodukt zeigen.
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Habe jetzt mal Addition und Multiplikation zusammengefasst. Sieht dann so aus bei mir:
[mm]
f(\lambda x+\mu y)&=&f(\lambda\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}a_{i}T^{i}+\mu\overset{m}{\underset{i=0}{\sum}}b_{i}T^{i})\\&
=&f(\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda a_{i}T^{i}+\overset{m}{\underset{i=0}{\sum}}\mu b_{i}T^{i})\\
=f(\overset{N}{\underset{i=0}{\sum}}(\lambda a_{i}+\mu b_{i})T^{i}\\&
=&\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}(\lambda a_{i}+\mu b_{i})\cdot i\cdot T^{i-1}\\&
=&\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda a_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}+\overset{m-1}{\underset{i=1}{\sum}}\mu b_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}\\&
=&\lambda\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}+\mu\overset{m-1}{\underset{i=1}{\sum}}b_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}\\&
=&\lambda f(x)+\mu f(y) [/mm]
Iwelche Fehler drin?
Dann muss ich auch noch den zweiten Teil lösen: die Polynome [mm] T^{n} mit n\in\mathbb{N}_{0} [/mm] sind Eigenvektoren. Da fällt mir aber spontan garnichts zu ein. Wie sollte ich am besten ansetzen? Ich denke, wenn ich das habe, kann ich auch schnell folgern, dass jeder Eigenvektor für L ein skalares Vielfaches eines Monoms [mm] T^n [/mm] ist.
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Hallo,
Achtung, hier ist Wirrnis im Anzug: erstens heißt die Funktion, die Du bearbeiten sollst, L, Du nennst sie f. Das wäre kein beinbruch, jedoch ist die Funktion L auch anders definiert. Das ist nicht einfach die Ableitung.
Aber ich gehe hier jetzt einfach mal davon aus, daß Du die Linearität für [mm] f:\IR[x]\to \IR[x] [/mm] mit f(p)= p' zeigen sollst.
Das tust Du ja, und Du tust es in weiten Teilen auch richtig.
Aber wenn Du dieses N einführst, mußt Du auch erklären, was das N sein soll. So weiß man das doch nicht.
Man kann nehmen [mm] N:=\max\{m,n\}, [/mm] so macht man das normalerweise.
Wenn Du das getan hast, stellt sich eine weitere Frage, die im Vorfeld beantwortet werden muß: es kann nun, wenn n und m nicht gleich sind, Indizes i geben, für welche [mm] a_i [/mm] oder [mm] b_i [/mm] bisher undefiniert sind. Der Versager hat Dir schon gesagt, daß die gleich 0 gesetzt werden, also [mm] a_i=0 [/mm] für i>n, [mm] b_i=0 [/mm] für i>m, und Du müßtest das wirklich mit aufschreiben.
Falsch sind die oberen Grenzen auf den rotmarkierten Summenzeichen.
> Habe jetzt mal Addition und Multiplikation zusammengefasst.
> Sieht dann so aus bei mir:
> [mm]
f(\lambda x+\mu y)&=&f(\lambda\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}a_{i}T^{i}+\mu\overset{m}{\underset{i=0}{\sum}}b_{i}T^{i})\\&
=&f(\overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}\lambda a_{i}T^{i}+\overset{m}{\underset{i=0}{\sum}}\mu b_{i}T^{i})\\
=f(\overset{N}{\underset{i=0}{\sum}}(\lambda a_{i}+\mu b_{i})T^{i}\\&
=&\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}(\lambda a_{i}+\mu b_{i})\cdot i\cdot T^{i-1}\\&
=&\red{\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}}\lambda a_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}+\red{\overset{m-1}{\underset{i=1}{\sum}}}\mu b_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}\\&
=&\lambda\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}+\mu\overset{m-1}{\underset{i=1}{\sum}}b_{i}\cdot i\cdot T^{i-1}\\&
=&\lambda f(x)+\mu f(y)[/mm]
>
> Iwelche Fehler drin?
>
> Dann muss ich auch noch den zweiten Teil lösen: die
> Polynome [mm]T^{n} mit n\in\mathbb{N}_{0}[/mm] sind Eigenvektoren.
> Da fällt mir aber spontan garnichts zu ein. Wie sollte ich
> am besten ansetzen? Ich denke, wenn ich das habe, kann ich
> auch schnell folgern, dass jeder Eigenvektor für L ein
> skalares Vielfaches eines Monoms [mm]T^n[/mm] ist.
S. die andere Antwort.
Gruß v. Angela
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> Dein Ansatz ist nicht ganz so verkehrt. Du solltest aber
> bei der 2. Summe nicht m als "Ende" nehmen, da der Grad des
> Polynoms ja auch höher sein kann.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Genau. Man schreibt dann
"Sei [mm] N:=max\{m,n\}".
[/mm]
Dann erklärt man, daß die bisher undefinierten Koeffizienten =0 sein sollen.
> Der Trick bei
> verschiedenem Grad ist es, das eine Polynom aufzufüllen mit
> 0T^(n+1) + 0T^(n+2) + ... + [mm]0T^m.[/mm] Naja und dann eben die
> lineare Abbildung zeigen.
>
> f(x+y) = [mm]f(\summe_{i=0}^{n}a_iT^i[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{m}b_iT^i)[/mm]
> = [mm]f(\summe_{i=0}^{N}(a_i+b_i)T^i)[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{N}(a_i+b_i)*i*T^{i-1}[/mm] =
> [mm]\red{\summe_{i=1}^{n-1}}a_i*i*T^{i-1}[/mm] +
> [mm]\red{\summe_{i=1}^{m-1}}b_i*i*T^{i-1}[/mm] =
> f(x) + f(y)
>
> und das noch für das Skalarprodukt zeigen.
Nein, nicht das Skalarprodukt, sondern das Produkt mit Skalaren.
Es stimmen die oberen Grenzen der rotmarkierten Summen nicht, was das eigentliche Anliegen dieser Mitteilung ist.
(Du arbeitest auch mit der falschen Abbildung, es soll ja für L gezeigt werden. Aber das, was Du T_sleeper zeigen möchtest, kann er natürlich ebensogut an der Abbildung f lernen.)
Gruß v. Angela
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> [mm]\mathbb{R}[T][/mm] soll der Vektorraum der Polynome in der
> Variablen T mit Koeffizienten in [mm]\mathbb{R}[/mm] sein.
> [mm]L:\mathbb{R}[T] \rightarrow \mathbb{R}[T][/mm] ist die
> Abbildung [mm]f\rightarrow L(f)=T\cdot f' [/mm].
> Man soll zeigen,
> dass L ein Endomorphismus ist und die Polynome [mm]T^n[/mm] mit [mm]n\in \mathbb{N}_0[/mm]
> Eigenvektoren sind. Außerdem folgere man, dass jeder
> Eigenvektor für L ein skalares Vielfaches eines Monoms [mm]T^n[/mm]
> ist.
> Hallo,
>
> um nachzusweisen, dass L ein Endomorphismus ist, muss ich
> zeigen, dass L eine lineare Abbildung ist
Hallo,
ja.
Ich würde sogar noch ein Wortchen drüber verlieren, daß die Bilder tatsächlich immer Polynome sind - ob man es hier wirklich muß, sein dahingstellt, aber schaden tut es keinesfalls.
> Wie wende ich das konkret auf meine Abbildung L an, also
> wie notiere ich dass da genau?
Ich würde es mir hier sehr bequem machen, und das ganze Indexgewese umgehen:
Seine [mm] f,g\in \IR[x], [/mm]
[mm] \lambda, \mu \in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] L(\lambda [/mm] f+ [mm] \mu [/mm] g)= [mm] T(\lambda [/mm] f+ [mm] \mu [/mm] g)' [mm] \qquad [/mm] nach Def. von L
=T[ [mm] (\lambda [/mm] f)'+ [mm] (\mu [/mm] g)' ] [mm] \qquad [/mm] nach der Summenregel f. Ableitungen
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] =\lambda L(f)+\mu [/mm] L(g)
Zu der Frage nach den Eigenvektoren:
um zu zeigen, daß für jedes [mm] k\in \IN_0 [/mm] der Vektor [mm] T^k [/mm] ein Eigenvektor ist, rechne das einfach vor.
Berechne also [mm] L(T^k).
[/mm]
Woran merkst Du denn, daß es ein Eigenvektor ist? Wie lautet die Definition?
Dann sollst Du noch zeigen, daß jeder Eigenvektor Vielfaches eines Monoms ist.
Nimm hierfür an, es wäre [mm] \summe_{i=0}^{k}a_iT^i [/mm] ein Eigenvektor, und ziehe daraus Schlüsse.
Gruß v. Angela
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