Vektorraum/Basiswechselmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
| Aufgabe | gegeben ist der Vektorraum [mm] \produkt_{2}={ax^{2}+bx+c} [/mm] der Polynome vom Höchstgrad 2 und die lineare Abbildung
[mm] f:ax^{2}+bx+c \mapsto [/mm] 2ax+b
Fern sei [mm] \varepsilon=(1,x,x^{2}) [/mm] die kanonische Basis und [mm] V=(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x,x^{2}-1,\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x) [/mm] eine weitere Basis. |
So nun muss ich die zu f zugehörige Matrix [mm] A^{\varepsilon}_{\varepsilon} [/mm] bzgl Basis [mm] \varepsilon [/mm] sowie die beiden Basiswechselmatrizen [mm] B^{V}_{\varepsilon} [/mm] und [mm] B^{\varepsilon}_{V}
[/mm]
Ich weiß, dass der Koordinatenvektor bzgl. der Basis [mm] \varepsilon [/mm] zu [mm] ax^{2}+bx+c \to (c,b,a)^{T} [/mm] ist.
Ich müsste ja zuerst [mm] A^{\varepsilon}_{\varepsilon} [/mm] bestimmen aber wie gehe ich da ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> gegeben ist der Vektorraum [mm]\produkt_{2}={ax^{2}+bx+c}[/mm] der
> Polynome vom Höchstgrad 2 und die lineare Abbildung
> [mm]f:ax^{2}+bx+c \mapsto[/mm] 2ax+b
>
> Fern sei [mm]\varepsilon=(1,x,x^{2})[/mm] die kanonische Basis und
> [mm]V=(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x,x^{2}-1,\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x)[/mm]
> eine weitere Basis.
> So nun muss ich die zu f zugehörige Matrix
> [mm]A^{\varepsilon}_{\varepsilon}[/mm] bzgl Basis [mm]\varepsilon[/mm] sowie
> die beiden Basiswechselmatrizen [mm]B^{V}_{\varepsilon}[/mm] und
> [mm]B^{\varepsilon}_{V}[/mm]
>
> Ich weiß, dass der Koordinatenvektor bzgl. der Basis
> [mm]\varepsilon[/mm] zu [mm]ax^{2}+bx+c \to (c,b,a)^{T}[/mm] ist.
>
> Ich müsste ja zuerst [mm]A^{\varepsilon}_{\varepsilon}[/mm]
> bestimmen aber wie gehe ich da ran?
Setze [mm] b_1:=1, b_2:=x, b_3:=x^2
[/mm]
Für i=1,2,3 stelle [mm] f(b_i) [/mm] als LK von [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] dar:
[mm] f(b_i)= t_1b_1+t_2b_2+t_3b_3.
[/mm]
Dann ist
[mm] t_1
[/mm]
[mm] t_2
[/mm]
[mm] t_3
[/mm]
die i-te Spalte der gesuchten Matrix.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich habe es mal versucht und bekomme dieses raus
$ [mm] A^{\varepsilon}_{\varepsilon} $=\pmat{ 1 \\ x \\ x^{2} }
[/mm]
$ [mm] B^{V}_{\varepsilon} $=\pmat{ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1 & 1/2 }^T
[/mm]
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Hallo leye88,
> Ich habe es mal versucht und bekomme dieses raus
>
> [mm]A^{\varepsilon}_{\varepsilon}[/mm][mm] =\pmat{ 1 \\
x \\
x^{2} }[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie das?
Die Abbildungsmatrix muss doch eine [mm]3\times 3[/mm] - Matrix sein.
Fred hat doch gesagt, wie du es ausrechnen musst.
Es ist [mm]f(b_1)=0=\red{0}\cdot{}1+\blue{0}\cdot{}x+\green{0}\cdot{}x^2[/mm]
Also lautet die erste Spalte der Abbildungmatrix von [mm]f[/mm] bzgl. der Basis [mm] $\varepsilon$ [/mm]
[mm]\vektor{\red{0}\\
\blue{0}\\
\green{0}}[/mm]
Wie sehen entsprechend die anderen beiden Spalten aus?
>
>
> [mm]B^{V}_{\varepsilon}[/mm][mm] =\pmat{ 1/2 & 0 & 1/2 \\
1/2 & 1 & 1/2 }^T[/mm]
Was ist das? Rechnung?
Es ist immer hilfreich, deine Rechnung zu posten, anstatt Ergebnisse "hinzuklatschen".
Wie sollen wir sonst nachvollziehen, wo es evtl. hakt?!
Es kann ja nicht Sinn der Sache sein, dass die Antwortgeber alles selber nachrechnen müssen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Habe mal eine Nachfrage
Woher weiß man, dass man für [mm] t_{1},t_{2} [/mm] und [mm] t_{3} [/mm] Nullen einsetzen muss?
$ [mm] f(b_1)=0=\red{0}\cdot{}1+\blue{0}\cdot{}x+\green{0}\cdot{}x^2 [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Habe mal eine Nachfrage
>
> Woher weiß man, dass man für [mm]t_{1},t_{2}[/mm] und [mm]t_{3}[/mm] Nullen
> einsetzen muss?
>
> [mm]f(b_1)=0=\red{0}\cdot{}1+\blue{0}\cdot{}x+\green{0}\cdot{}x^2[/mm]
Es ist doch [mm] f(b_1)=0. [/mm] Ist das klar ?
Wenn Du jetzt [mm] f(b_1) [/mm] als LK der Basisvektoren [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] darstellen willst, so gibt es doch genau eine Möglichkeit:
[mm]f(b_1)=0=\red{0}\cdot{}b_1+\blue{0}\cdot{}b_2+\green{0}\cdot{}b_3[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
wieso muss denn $ [mm] f(b_1)=0. [/mm] $ sein?
und was setzte ich dan für $ [mm] f(b_2). [/mm] $ ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> wieso muss denn [mm]f(b_1)=0.[/mm] sein?
Nein !!, doch ?, Ohh !
Die Abbildungsvorschrift lautet doch
$ [mm] f(ax^{2}+bx+c) [/mm] = 2ax+b $
[mm] b_1 [/mm] ist die Funktion mit a=b=0 und c=1
> und was setzte ich dan für [mm]f(b_2).[/mm] ein?
Es ist [mm] b_2=x, [/mm] also a=0, b=1 und c=0. Damit ist [mm] $f(b_2)=1=b_1=1*b_1+0*b_2+0*b_3$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Die Spalte lautet dann [mm] (1,0,0)^{T}
[/mm]
Dann ist $ [mm] b_3=x^{2}, [/mm] $
a=1 b=c=0
und somit für die 3.Spalte [mm] (2,0,0)^{T}
[/mm]
oder habe ich einen Denkfehler?
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> Die Spalte lautet dann [mm](1,0,0)^{T}[/mm]
>
Hallo,
> Dann ist [mm]b_3=x^{2},[/mm]
> a=1 b=c=0
Ja.
> und somit für die 3.Spalte [mm](2,0,0)^{T}[/mm]
> oder habe ich einen Denkfehler?
Hallo,
falsch ist es jedenfalls, ob aufgrund eines Fehlers beim Denken passiert ist, weiß ich nicht, denn Du sagst ja gar nicht, was Du Dir denkst.
Was ist denn [mm] f(x^2)? f(x^2)= [/mm] ???
Schreib es nun als Linearkombination von [mm] 1,x,x^2 [/mm] und stell dann den Koordinatenvektor bzgl. dieser Basis auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Ok also ich versuche es mal
[mm] f(b_3)=0*1+0*x+2*x^{2}
[/mm]
so richtig?
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> Ok also ich versuche es mal
>
> [mm]f(b_3)=0*1+0*x+2*x^{2}[/mm]
>
> so richtig?
Hallo,
möglicherweise habe ich aufgrund der Länge des Threads etwas verpaßt.
Schreib nochmal die Funktionsvorschrift hin:
[mm] f(ax^2+bx+c):= [/mm] ???
So, es ist doch [mm] b_3= x^2, [/mm] oder geht's nicht mehr um die kanonische Basis?
Was ist nun [mm] f(x^2)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
$ [mm] f(ax^2+bx+c):= [/mm] $ 2ax+b
$ [mm] f(x^2) [/mm] $ wäre a=1 und b=c=0
also setze ich ein:
[mm] 0*1+0*x+2x^{2}*1
[/mm]
ich glaube da mache ich immernoch etwas falsch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(ax^2+bx+c):=[/mm] 2ax+b
>
> [mm]f(x^2)[/mm] wäre a=1 und b=c=0
> also setze ich ein:
> [mm]0*1+0*x+2x^{2}*1[/mm]
>
> ich glaube da mache ich immernoch etwas falsch...
Da liegst Du richtig !
Es ist $ [mm] f(x^2)=2x= 0*1+2*x+0*x^2$
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Somit lautet meine Matrix
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2x \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich versuche nun [mm] B^{V}_{E} [/mm] zu bestimmen
mit $ [mm] V=(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x,x^{2}-1,\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x) [/mm] $
stimmt dieses so?
[mm] \pmat{ 0 & -1/2 & 1/2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/2 }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Somit lautet meine Matrix
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2x \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Nein. Sondern
[mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ich versuche nun [mm]B^{V}_{E}[/mm] zu bestimmen
> mit
> [mm]V=(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x,x^{2}-1,\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x)[/mm]
>
> stimmt dieses so?
Rechne hier vor. Ich habe keine Lust, das jetzt auch noch selbst zu rechnen.
FRED
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1/2 & 1/2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/2 }[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:19 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich habe es lediglich abgelesen, jeweils die 1,x und [mm] x^{2}
[/mm]
$ [mm] V=(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x,x^{2}-1,\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x) [/mm] $
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> Somit lautet meine Matrix
> [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2x \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Ich versuche nun [mm]B^{V}_{E}[/mm] zu bestimmen
Hallo,
[mm] $B^{V}_{E}$ [/mm] steht für die Basiswechselmatrix von V nach E?
> mit
> [mm]V=(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x,x^{2}-1,\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{2}x)[/mm]
>
> stimmt dieses so?
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1/2 & 1/2 \\
-1 & 0 & 1 \\
0 & 1/2 & 1/2 }[/mm]
Wenn ja, dann ist das falsch.
In den Spalten von [mm] B_E^V [/mm] stehen die Basisvektoren von V in Koordinaten bzgl E.
EDIT:
Ich sehe was Du gemacht hast: Du hast in Zeilen eingetragen, was in Spalten gehört.
Wenn Du die Matrix transponierst, dann ist sie richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mi 20.07.2011 | | Autor: | leye88 |
Super!
Ich bedanke mich bei allen, die mir geholfen haben :)
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