Vektorraum/Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
Es seien [mm] f_{1},f_{2},f_{3} [/mm] die Funktionen [mm] f_{1}= [/mm] sin x, [mm] f_{2}= [/mm] cos x und [mm] f_{3}= [/mm] 1 auf [mm] \IR.
[/mm]
A sei von [mm] f_{1},f_{2},f_{3} [/mm] aufgespannte Teilraum, des Vektorraumes aller stetiger Funktionen [mm] C^{1}(\IR)
[/mm]
Also bei a) muss ich zeigen, dass [mm] V:=f_{1},f_{2},f_{3} [/mm] eine Basis von A ist.
[mm] V:=\vektor{sin x \\ cos x \\ 1} [/mm]
Hierfür muss es linear Unabhängig sein und ein Erzeugendensystem bilden.
Aber wie mache ich das, wenn ich nur einen Vektor habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm]f_{1},f_{2},f_{3}[/mm] die Funktionen [mm]f_{1}=[/mm] sin x,
> [mm]f_{2}=[/mm] cos x und [mm]f_{3}=[/mm] 1 auf [mm]\IR.[/mm]
> A sei von [mm]f_{1},f_{2},f_{3}[/mm] aufgespannte Teilraum, des
> Vektorraumes aller stetiger Funktionen [mm]C^{1}(\IR)[/mm]
>
> Also bei a) muss ich zeigen, dass [mm]V:=f_{1},f_{2},f_{3}[/mm] eine
> Basis von A ist.
>
> [mm]V:=\vektor{sin x \\
cos x \\
1}[/mm]
> Hierfür muss es linear Unabhängig sein und ein
> Erzeugendensystem bilden.
>
> Aber wie mache ich das, wenn ich nur einen Vektor habe?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast hier keinen (Spalten)Vektor.
Der Vektorraum, in dem wir gerade Leben, ist der VR der stetigen Funktionen.
Betrachtet wird nun [mm] A:=, [/mm] der Unterraum, der von den Funktionen [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] erzeugt wird.
A enthält alle Linearkombinationen der Funktionen [mm] f_1, f_2, f_3.
[/mm]
(Nur zur Sicherheit: unsere Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier Funktionen - nicht etwa irgendwelche Spaltenvektoren.)
Du sollst nun zeigen, daß die drei Vektoren [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] eine Basis von A sind. Ein Erzeugendensystem von A sind sie ja nach Definition von A, also ist die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] zu prüfen.
Was mußt Du hierfür untersuchen?
Gruß v. Angela
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich stelle eine Linearkombination auf.
[mm] \lambda_{1}f_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}f_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}f_{3} [/mm] = 0
damit muss folgen, dass $ [mm] f_{1}=f_{2}=f_{3} [/mm] $=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich stelle eine Linearkombination auf.
> [mm]\lambda_{1}f_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}f_{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}f_{3}[/mm] =
> 0
>
> damit muss folgen, dass [mm]f_{1}=f_{2}=f_{3} [/mm]=0
Unsinn ! Du mußt zeigen, dass [mm] $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ [/mm] ist.
Also sei
$ [mm] \lambda_1*sin(x)+\lambda_2*cos(x)+\lambda_3=0$ [/mm] für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Jetzt setze mal für x "geeignete" Werte ein: x=0, x= [mm] \pi, [/mm] x= .....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
Wenn x=0
[mm] \Rightarrow [/mm] sinx = 0 und cos= 1
Wenn x= [mm] \pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] sinx = 0 und cos= -1
Wenn x= [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] sinx = 1 und cosx= 0
So und wenn ich das nun in meine Gleichung einsetze
x=0
$ [mm] \lambda_2+\lambda_3=0 [/mm] $
[mm] \Rightarrow \lambda_2= [/mm] - [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] x=\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_2= \lambda_3
[/mm]
[mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1= [/mm] - [mm] \lambda_3
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wenn x=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] sinx = 0 und cos= 1
>
> Wenn x= [mm]\pi[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] sinx = 0 und cos= -1
>
> Wenn x= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] sinx = 1 und cosx= 0
>
>
> So und wenn ich das nun in meine Gleichung einsetze
> x=0
>
> [mm]\lambda_2+\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_2=[/mm] - [mm]\lambda_3[/mm]
>
>
> [mm]x=\pi[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_2= \lambda_3[/mm]
>
>
> [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=[/mm] - [mm]\lambda_3[/mm]
Warum machst Du nicht weiter ????
Was folgt aus [mm] \lambda_2= \lambda_3 [/mm] und [mm] \lambda_2=- \lambda_3 [/mm] ??
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
$ [mm] \lambda_2= \lambda_3 [/mm] $
$ [mm] \lambda_2= -\lambda_3 [/mm] $
[mm] \Rightarrow$ \lambda_3= -\lambda_3 [/mm] $
und somit ist [mm] \lambda_3 [/mm] =0
Eingesetzt in die Gleichung ergibt
[mm] \lambda_1= \lambda_2= \lambda_3= [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Bingo !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
Danke!
Aber leider wars das noch nicht :(
Ich muss beweisen, dass die Abbildung [mm] \delta [/mm] : [mm] A\to [/mm] A mit [mm] \delta [/mm] (f) = f' linear ist.
Dafür muss ich zeigen
(L1) f(u+v) = f(u) + f(v)
und
(L2) [mm] f(\lambda [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] f(u)
gilt.
Aber ich kann (L1) und (L2) in einer Bedinung zusammenfassen:
[mm] f(\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] f(u)+ [mm] \muf(v)
[/mm]
So nun habe ich [mm] f_{1},f_{2},f_{3} [/mm] wie setze ich dies nun um?
Und ist [mm] \delta [/mm] injektiv?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
> Aber leider wars das noch nicht :(
>
> Ich muss beweisen, dass die Abbildung [mm]\delta[/mm] : [mm]A\to[/mm] A mit
> [mm]\delta[/mm] (f) = f' linear ist.
>
> Dafür muss ich zeigen
> (L1) f(u+v) = f(u) + f(v)
> und
> (L2) [mm]f(\lambda[/mm] u) = [mm]\lambda[/mm] f(u)
> gilt.
>
> Aber ich kann (L1) und (L2) in einer Bedinung
> zusammenfassen:
> [mm]f(\lambda[/mm] u + [mm]\mu[/mm] v) = [mm]\lambda[/mm] f(u)+ [mm]\muf(v)[/mm]
Die Bezeichnung f ist hier schlecht. Die Abb. , die Du auf Linearität untersuchen sollst ist doch [mm] \delta [/mm] !!
>
> So nun habe ich [mm]f_{1},f_{2},f_{3}[/mm] wie setze ich dies nun
> um?
Du weißt doch sicher, dass für differenziebbare Funktionen [mm] $f,g:\IR \to \IR$ [/mm] gilt:
$ (f+g)'=f'+g'$ und [mm] $(\lambda [/mm] f)'= [mm] \lambda [/mm] f'$ [mm] (\lambda \in \IR)
[/mm]
Übersetzte das mal mit Hilfe von [mm] \delta.
[/mm]
>
> Und ist [mm]\delta[/mm] injektiv?
Ist [mm] \delta(f)=0, [/mm] folgt dann, dass f [mm] \equiv [/mm] 0 ist ? Nein ! Beispiel ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
Ich versuche es mal zu übersetzen:
$ (f+g)'=f'+g' $
wäre dann $ [mm] (\delta(f)+\delta(g))'=\delta(f)'+\delta(g)' [/mm] $
und
$ [mm] (\lambda [/mm] f)'= [mm] \lambda [/mm] f' $
$ [mm] (\lambda \delta(f))'= \lambda \delta(f)' [/mm] $
so?
$ [mm] \delta(f)=0, [/mm] $, $ f [mm] \equiv [/mm] $ 0
Beispiel?
würde es mit f= sin(x) gehen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich versuche es mal zu übersetzen:
>
> [mm](f+g)'=f'+g'[/mm]
> wäre dann [mm](\delta(f)+\delta(g))'=\delta(f)'+\delta(g)'[/mm]
>
> und
>
> [mm](\lambda f)'= \lambda f'[/mm]
> [mm](\lambda \delta(f))'= \lambda \delta(f)'[/mm]
>
> so?
Quatsch !!!! So:
$ [mm] \delta (f+g)=\delta (f)+\delta [/mm] (g)$ und [mm] $\delta (\lambda [/mm] f)= [mm] \lambda \delta [/mm] (f)$
>
>
>
> [mm]\delta(f)=0, [/mm], [mm]f \equiv[/mm] 0
> Beispiel?
> würde es mit f= sin(x) gehen ?
Hirn einschalten ! Was macht denn [mm] \delta [/mm] ? [mm] \delta [/mm] ordnet einer Funktion f die Ableitung f' zu.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 31.05.2011 | | Autor: | leye88 |
Ahh ok...
$ [mm] \delta (f+g)=\delta (f)+\delta [/mm] (g) $
$ [mm] \delta (\lambda [/mm] f)= [mm] \lambda \delta [/mm] (f) $
muss ich das allgemein zeigen oder mit bestimmten Funktionen?
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> Ahh ok...
>
> [mm]\delta (f+g)=\delta (f)+\delta (g)[/mm]
> [mm]\delta (\lambda f)= \lambda \delta (f)[/mm]
>
> muss ich das allgemein zeigen oder mit bestimmten
> Funktionen?
Hallo,
allgemein zeigen würde man es im Rahmen der Vorlesung "Lineare Algebra" eher nicht.
Du kannst Dich hier aber auf die Analysis-Vorlesung berufen, wenn Du möchtest.
Zu Übungszwecken würde ich aber diesen Weg bevorzugen:
Seien [mm] f,g\in [/mm] A und [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Dann ist f= ... und g=... (Stichwort: Linearkombination)
Es ist [mm] \delta(f+g)=... =\delta(f)+\delta(g),
[/mm]
die andere Bedingung entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ahh ok...
>
> [mm]\delta (f+g)=\delta (f)+\delta (g)[/mm]
> [mm]\delta (\lambda f)= \lambda \delta (f)[/mm]
>
> muss ich das allgemein zeigen oder mit bestimmten
> Funktionen?
Das gibts doch nicht ! Was habe ich Dir oben geschrieben:
"Du weißt doch sicher, dass für differenziebbare Funktionen $ [mm] f,g:\IR \to \IR [/mm] $ gilt:
$ (f+g)'=f'+g' $ und $ [mm] (\lambda [/mm] f)'= [mm] \lambda [/mm] f' $ $ [mm] (\lambda \in \IR) [/mm] $
Übersetzte das mal mit Hilfe von $ [mm] \delta. [/mm] $"
Mein Gott !
FRED
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