Vektorraum 2 x 2 Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 So 09.07.2017 | | Autor: | kntr91 |
| Aufgabe | f: [mm] \IR\ [/mm] 2 x 2 [mm] \to \IR [/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }| [/mm] a + d [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \{\pmat{ a & b \\ c & d }|a , b, c , d \in \IR \}
[/mm]
a) Ist das eine Lineare Abbildung ?
b) Berechnen Sie das Bild (f)
c) Berechnen Sie den Kern (f). |
Könnte mir jemand einen Tipp geben , wie ich an diese Aufgaben herangehe ?
a) Für eine Lineare abbildung gilt : Additiv und Homogen ,aber wie zeige ich es bei dem Beispiel mit einer 2 x 2 Matrix ?
Zur b) Mein Bild bildet auf die Einheitsbasis [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 } [/mm] ab ,aber wie berechne ich das Bild ?
Zur c) Mein Kern berechnet sich ja aus a = -d aber ich weiss icht wie ich bei der Aufgabe anwenden soll ?
Für jede Hilfe bin ich dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f: [mm]\IR\[/mm] 2 x 2 [mm]\to \IR[/mm]
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }|[/mm] a + d [mm]\in \IR[/mm]
>
> [mm]\{\pmat{ a & b \\ c & d }|a , b, c , d \in \IR \}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst sollten wir mal klären, um welche Abbildung es geht.
Ist es so gedacht:
f: [mm] \IR^{2 x 2}\to \IR
[/mm]
mit
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto [/mm] a + d
>
> a) Ist das eine Lineare Abbildung ?
Auf jeden Fall es es eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen,
nämlich dem Raun der [mm] 2\times2-Matrizen [/mm] über [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR, [/mm] betrachtet als Vektorraum über [mm] \IR,
[/mm]
und Du sagst richtig, daß man die Additivität und die Homogenität prüfen muß.
Additivität:
Hier ist zu prüfen, ob der Funktionswert der Summe gleich der Summe der Funktionswerte ist,
ob also
[mm] f(\pmat{ a & b \\ c & d }+\pmat{ a' & b' \\ c' & d' })=f(\pmat{ a & b \\ c & d })+f(\pmat{ a' & b' \\ c' & d' }).
[/mm]
Bei der Homogenität prüfe, ob
[mm] f(r*\pmat{ a & b \\ c & d })=r*f(\pmat{ a & b \\ c & d }).
[/mm]
> b) Berechnen Sie das Bild (f)
Bild(f) ist in der Tat der Raum, der von den Bildern einer Basis aufgespannt wird.
Eine Basis ist [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 }.
[/mm]
Wir berechnen die Bilder:
[mm] f(\pmat{ \red{1} & 0 \\ 0 &\red{0} })=1+0=1 [/mm] ,
[mm] f(\pmat{ \red{0} & 1 \\ 0 & \red{0}})=0+0=0, [/mm]
[mm] f(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 })=0+0=0 [/mm] ,
[mm] f(\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 })=0+1=1.
[/mm]
[mm] Bild(f)=<1,0,0,1>=\{a*1+b*0+c*0+d*1| a,b,c,d\in\IR\}=\IR
[/mm]
Man hätte hier auch anders argumentieren können, z.B. über die Dimension.
> c) Berechnen Sie den Kern (f).
Hier mußt Du herausfinden, wie die Matrizen gemacht sind, die vermöge f auf die Null (in [mm] \IR) [/mm] abgebildet werden, für welche Matrizen [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] also gilt: [mm] f(\pmat{ a & b \\ c & d })=0.
[/mm]
[mm] f(\pmat{ a & b \\ c & d })=0
[/mm]
<==> a+d=0
<==> a=-d (<==> -a=d)
Das hattest Du auch schon herausgefunden.
Die Matrizen, die auf die 0 abgebildet werden, haben also diese Gestalt:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & -a }.
[/mm]
Also ist
[mm] kern(f)=\{\pmat{ a & b \\ c & -a }|a,b,c\in \IR\},
[/mm]
oder mitilfe einer Basis des Kerns geschrieben:
[mm] kern(f)=<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }>
[/mm]
LG Angela
> Könnte mir jemand einen Tipp geben , wie ich an diese
> Aufgaben herangehe ?
> a) Für eine Lineare abbildung gilt : Additiv und Homogen
> ,aber wie zeige ich es bei dem Beispiel mit einer 2 x 2
> Matrix ?
> Zur b) Mein Bild bildet auf die Einheitsbasis [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } ,\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 1 }[/mm]
> ab ,aber wie berechne ich das Bild ?
> Zur c) Mein Kern berechnet sich ja aus a = -d aber ich
> weiss icht wie ich bei der Aufgabe anwenden soll ?
> Für jede Hilfe bin ich dankbar :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mo 10.07.2017 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung:
ist V ein K-Vektorraum und $f:V [mm] \to [/mm] K$ linear und ist f nicht die Nullabbildung, so ist Bild(f)=K.
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