matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeVektorraum + Skalarmultiplik.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorraum + Skalarmultiplik.
Vektorraum + Skalarmultiplik. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorraum + Skalarmultiplik.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 So 27.06.2010
Autor: Franziska.Sun

Aufgabe
Gegeben ist folgendes:
[mm] \bar{V} [/mm] ist ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] mit gleicher abelscher Gruppe wie V, aber mit der Skalarmultiplikation [mm] (\alpha,v) \mapsto \bar{\alpha} [/mm] * v (Skalarmultiplikation in V).

Was ist richtig?
1.) V und [mm] \bar{V} [/mm] sind isomorph
2.) V und [mm] \bar{V} [/mm] haben die gleiche Dimension, sind aber wegen unterschiedlicher Skalarmultiplikation nicht isomorph
3.) Die Identität auf V ist ein Isomorphismus V [mm] \to \bar{V} [/mm]
4.) Die Identität auf V ist kein Isomorphismus, aber wenn X eine Basis von V ist, dann ist X auch eine Basis von [mm] \bar{V} [/mm] und die Identität auf X definiert einen Isomorphismus V [mm] \to \bar{V} [/mm]

Hallo,

ich bin mir bei der Aufgabe leider nicht schlüssig. Ich weiß, dass dim(V) = [mm] dim(\bar{V}) [/mm] gilt und die Endomorphismen von V und [mm] \bar{V} [/mm] übereinstimmen. Es kann ja von den Fragen her entweder 1.) oder 2.) bzw. 3.) oder 4.) richtig sein, ich brauche aber dazu Hilfe!

Dankeschön!

Liebe Grüße
Franziska

        
Bezug
Vektorraum + Skalarmultiplik.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 So 27.06.2010
Autor: felixf

Moin Franziska!

> Gegeben ist folgendes:
>  [mm]\bar{V}[/mm] ist ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] mit gleicher
> abelscher Gruppe wie V, aber mit der Skalarmultiplikation
> [mm](\alpha,v) \mapsto \bar{\alpha}[/mm] * v (Skalarmultiplikation
> in V).
>  
> Was ist richtig?
>  1.) V und [mm]\bar{V}[/mm] sind isomorph
>  2.) V und [mm]\bar{V}[/mm] haben die gleiche Dimension, sind aber
> wegen unterschiedlicher Skalarmultiplikation nicht
> isomorph
>  3.) Die Identität auf V ist ein Isomorphismus V [mm]\to \bar{V}[/mm]
>  
> 4.) Die Identität auf V ist kein Isomorphismus, aber wenn
> X eine Basis von V ist, dann ist X auch eine Basis von
> [mm]\bar{V}[/mm] und die Identität auf X definiert einen
> Isomorphismus V [mm]\to \bar{V}[/mm]
>  
> ich bin mir bei der Aufgabe leider nicht schlüssig. Ich
> weiß, dass dim(V) = [mm]dim(\bar{V})[/mm] gilt und die
> Endomorphismen von V und [mm]\bar{V}[/mm] übereinstimmen.

Zwei Vektorraeume ueber dem gleichen Koerper sind genau dann isomorph, wenn ihre Dimensionen uebereinstimmen. Das sollte etwas ueber 1. und 2. aussagen.

> Es kann
> ja von den Fragen her entweder 1.) oder 2.) bzw. 3.) oder
> 4.) richtig sein, ich brauche aber dazu Hilfe!

Zu 3. und 4. musst du unterscheiden, ob $K = [mm] \IR$ [/mm] oder $K = [mm] \IC$ [/mm] ist. Wenn $K = [mm] \IR$ [/mm] ist, dann gilt [mm] $\overline{x} [/mm] = x$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] K$.

Wenn $K = [mm] \IC$ [/mm] ist, gebe ich dir als Tipp, dass 4. richtig ist. Versuche mal zu beweisen, warum dies der Fall ist. Nimm dir so eine Basis $X$ von $V$ und zeige, dass es auch eine Basis von [mm] $\bar{V}$ [/mm] ist. Und dann ueberlege, was der mysterioese letzte Satz mit der Identitaet auf $X$ bedeutet.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Vektorraum + Skalarmultiplik.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 So 27.06.2010
Autor: Franziska.Sun

Hallo,

danke Felix für die Tipps...
Wenn ich das kurz zusammenfassen darf:

1.) Richtig, das hatte ich mir anhand der Dimension ebenfalls schon gedacht.
2.) Falsch, da 1.) richtig. Die unterschiedliche Skalarmultiplikation ist irrelevant.
3.) Falsch, das gilt nur für den Körper der reellen Zahlen
4.) Richtig, das werde ich mir anhand deiner Hinweise morgen noch einmal klar machen...

Vielen lieben Dank für die Hilfe!

Herzliche Grüße
Franziska

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum + Skalarmultiplik.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 So 27.06.2010
Autor: felixf

Moin Franziska!

> danke Felix für die Tipps...
>  Wenn ich das kurz zusammenfassen darf:
>  
> 1.) Richtig, das hatte ich mir anhand der Dimension
> ebenfalls schon gedacht.
>  2.) Falsch, da 1.) richtig. Die unterschiedliche
> Skalarmultiplikation ist irrelevant.

Genau.

>  3.) Falsch, das gilt nur für den Körper der reellen
> Zahlen

Ja.

>  4.) Richtig, das werde ich mir anhand deiner Hinweise
> morgen noch einmal klar machen...

Genau.

> Vielen lieben Dank für die Hilfe!

Bitte!

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]