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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mo 30.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei K ein Körper mit q Elementen und n [mm] \in\IN.
[/mm]
a) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Wie viele Elemente hat V?
b) Wie viele Elemente hat [mm] K^{2x2}und [/mm] wie viele davon sind invertierbar?
c) Bestimmen Sie für r [mm] \in [/mm] {0,1,2} die Anzahl der Matrizen vom Rang r in [mm] K^{2x3}
[/mm]
d) Bestimmen Sie die Anzahl der ein-dimensionalen Unterräume von [mm] K^{n}. [/mm] |
Hallo.
Kann mir hier jemand helfen?
Bei der a) habe ich folgendes gemacht. Da die Dimension n ist, gibt es eine Basis [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] Es gilt (a [mm] \in [/mm] V)
a= [mm] \summe_{i=1}^{n}r_{i}v_{i} [/mm] für geeignete [mm] r_{i} \in [/mm] K
Aber diese [mm] r_{i} [/mm] sind ja gerade die q.
Jetzt kam ich darauf, dass V [mm] q^{n} [/mm] Elemente hat.
b) Es dürfte [mm] q^{4} [/mm] Möglichkeiten geben. Denn bei Zeile 1/Spalte 1 kann ich zwischen q Einträgen wählen. Das selbe gilt auch bei den anderen drei Einträgen, also q*q*q*q. Bei der Invertierbarkeit müsste der Rang "voll" sein. Das müsste bei [mm] q^{3} [/mm] der Matrizen der Fall sein, da ein Eintrag 0 sein muss.
Stimmt das bisher?
Bei der c) und d) hab ich aber irgendwie Probleme. Kann mir da jemand einen Ansatz oder Tipps geben?
Danke vielmals. Gruß SolRakt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Di 31.05.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei K ein Körper mit q Elementen und n [mm]\in\IN.[/mm]
>
> a) Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Wie viele
> Elemente hat V?
>
> b) Wie viele Elemente hat [mm]K^{2x2}und[/mm] wie viele davon sind
> invertierbar?
>
> c) Bestimmen Sie für r [mm]\in[/mm] {0,1,2} die Anzahl der Matrizen
> vom Rang r in [mm]K^{2x3}[/mm]
>
> d) Bestimmen Sie die Anzahl der ein-dimensionalen
> Unterräume von [mm]K^{n}.[/mm]
> Hallo.
>
> Kann mir hier jemand helfen?
>
> Bei der a) habe ich folgendes gemacht. Da die Dimension n
> ist, gibt es eine Basis [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] Es gilt (a [mm]\in[/mm]
> V)
>
> a= [mm]\summe_{i=1}^{n}r_{i}v_{i}[/mm] für geeignete [mm]r_{i} \in[/mm] K
>
> Aber diese [mm]r_{i}[/mm] sind ja gerade die q.
So kann man das nicht formulieren! Für jedes [mm] r_i [/mm] gibt es q Möglichkeiten.
> Jetzt kam ich darauf, dass V [mm]q^{n}[/mm] Elemente hat.
Das stimmt.
> b) Es dürfte [mm]q^{4}[/mm] Möglichkeiten geben. Denn bei Zeile
> 1/Spalte 1 kann ich zwischen q Einträgen wählen. Das
> selbe gilt auch bei den anderen drei Einträgen, also
> q*q*q*q.
Das stimmt auch.
> Bei der Invertierbarkeit müsste der Rang "voll"
> sein. Das müsste bei [mm]q^{3}[/mm] der Matrizen der Fall sein, da
> ein Eintrag 0 sein muss.
Das stimmt jetzt ganz sicher nicht mehr, weil du z. B. auch die Nullmatrix mitgezählt hast. Eine Matrix hat vollen Rang, wenn die Spaltenvektoren lin. unabh. sind. Dann kannst du für die 1. Spalte jeden Vektor außer dem Nullvektor nehmen. Welche Vektoren kannst du jetzt noch für die 2. Spalte nehmen, und wieviele gibt es davon?
Nach dem Prinzip könntest du dann auch mal c) und d) angreifen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 31.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, danke sehr für die Antwort.
Zur b): Für die erste Spalte hätte ich dann doch q*q-1 Möglichkeiten? Das Eine muss ich da abziehen, also den Nullvektor, oder?
Hmm, wie sieht das jetzt in der zweiten Spalte aus. Schwierig :( Das hängt ja jetzt davon ab, ob ich in meinem vorherigen eine 0 hatte. Nur wie kann man das zusammenfassen? Wie zählt man da jetzt?
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Mi 01.06.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Zur b): Für die erste Spalte hätte ich dann doch q*q-1
> Möglichkeiten? Das Eine muss ich da abziehen, also den
> Nullvektor, oder?
>
> Hmm, wie sieht das jetzt in der zweiten Spalte aus.
> Schwierig :(
Überhaupt nicht!
> Das hängt ja jetzt davon ab, ob ich in meinem
> vorherigen eine 0 hatte.
Aber in der 1. Spalte hast du keinen Nullvektor, den haste ja gerade weggelassen.
> Nur wie kann man das
> zusammenfassen? Wie zählt man da jetzt?
Wieviele Vektoren sind von der 1. Spalte lin. abhängig? Genau die Vielfachen, und davon gibt es in diesem Fall q Stück. (Der Nullvektor ist übrigens automatisch dabei.) Die darf ich also nicht nehmen für die 2. Spalte, alle anderen schon.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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