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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Di 04.01.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Sei [mm] P_{2} [/mm] der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens 2 und sei B:={ [mm] 1,1+x,1+x+x^{2} [/mm] } eine Basis von [mm] P_{2}. [/mm] Weiter sei
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
die Abbildungsmatrix einer Abbildung f : [mm] P_{2} \to P_{2} [/mm] bezüglich der Basis B.
Berechnen Sie f(1+x) und f(2+x) |
Brauche Hilfe beim Verständnis dieser Aufgabe.
Der Vektorraum wird durch die Basis bestimmt. Da die Basis drei Vektoren hat, ist der Vektorraum dreidimensional.
Ich fage mich, wie man die Matrix A aufgestellt hat.
Bei Wikipedia habe ich folgendes gefunden:
Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren als Spalten einer Matrix auffasst.
Die Basisvektoren sind: 1 , 1+x , [mm] 1+x+x^{2}.
[/mm]
Ein Bild ist ja der Wertebereich. Aber wie komme ich von diesen drei Basisvektoren auf die Matrix A?
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> Sei [mm]P_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad
> höchstens 2 und sei B:={ [mm]1,1+x,1+x+x^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis von
> [mm]P_{2}.[/mm] Weiter sei
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> die
> Abbildungsmatrix einer Abbildung f : [mm]P_{2} \to P_{2}[/mm]
> bezüglich der Basis B.
>
> Berechnen Sie f(1+x) und f(2+x)
> Brauche Hilfe beim Verständnis dieser Aufgabe.
>
> Der Vektorraum wird durch die Basis bestimmt. Da die Basis
> drei Vektoren hat, ist der Vektorraum dreidimensional.
>
> Ich fage mich, wie man die Matrix A aufgestellt hat.
So, wie man das bei so vielen Aufgaben macht - man gibt einfach irgendeine Funktion an, die man ein wenig untersucht haben will. Die hat erstmal nichts mit der Basis zu tun (also kann nicht daraus ermittelt werden oder so).
> Bei Wikipedia habe ich folgendes gefunden:
> Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der
> Basisvektoren als Spalten einer Matrix auffasst.
>
> Die Basisvektoren sind: 1 , 1+x , [mm]1+x+x^{2}.[/mm]
> Ein Bild ist ja der Wertebereich. Aber wie komme ich von
> diesen drei Basisvektoren auf die Matrix A?
Der Zusammenhang ist eher folgender:
Die Funktion f, dargestellt durch die Matrix A bildet ein quadratisches Polynom auf ein anderes quadratisches Polynom ab.
"Standardbasis" für Polynome würden z.B. zur Darstellung:
$ p(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] + b*x + c $
führen (Basis ist dann $1, x, [mm] x^{2}$).
[/mm]
Jetzt hat jedes Polynom eben die Darstellung
$ p(x) = [mm] a*(1+x+x^{2}) [/mm] + b*(1+x) + c $
oder besser noch in der richtigen Reihenfolge:
$ p(x) = a + b*(1+x) + [mm] c*(1+x+x^{2}) [/mm] $
Bezüglich dieser Basis kannst du also jetzt für dein Polynom $p$ auch [mm] $\vektor{a\\ b\\c}$ [/mm] schreiben.
Die durch A definierte Abbildung wirkt jetzt auf diese Darstellung deines Polynoms und macht daraus ein neues Polynom, wiederum in "Vektorschreibweise".
Beispiel (extra ein anderes als du machen musst):
$p(x) = [mm] x^{2} [/mm] + 2x + 2= 0 + 1*(x+1) + [mm] 1*(x^{2} [/mm] + x + 1)$
[mm] $\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }*\vektor{0\\ 1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\1 \\1}$
[/mm]
Das ist dann wiederum ein neues Polynom:
[mm] $p_2(x) [/mm] = 2*1 + 1*(x+1) + [mm] 1*(x^{2} [/mm] + x +1)$
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mi 05.01.2011 | | Autor: | zoj |
>"Die Funktion f, dargestellt durch die Matrix A bildet ein quadratisches >Polynom auf ein anderes quadratisches Polynom ab. "
Aha. Das heißt die Matrix A macht aus einem Standartpolynom zweiten grades ein Polynom mit speziellen Eigenschaften.
Der eine Teil der Aufgabe ist: Berechnen Sie f(1+x).
D.h ich muss aus f(1+x) einen Vektor erstellen und diesen dann von rechts mit der Matrix malnehmen.
Aber wie erstelle ich diesen Vektor? In deinem Beispiel ist das der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = $ p $ auch $ [mm] \vektor{a\\ b\\c} [/mm] $
Das hängt doch irgendwie mit der Basis zusammen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1+x ist doch dein zweiter Eigenvektor also einfach in der Basis B geschrieben [mm]\vektor{0 \\
1\\
0}[/mm]
sein Bid ist damit die zweite spalte deiner Matrix. die muss du dann wieder als Polynom hinschreiben.
entsprechend ist 2+x=1+1+x=b1+b2 das Bild davon also die summe der ersten und zweiten spalte, Ergebnis wieder als Polynom schreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mi 05.01.2011 | | Autor: | zoj |
Ich verstehe nicht, wie man von dem zweiten Eigenvektor 1+x auf $ [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0} [/mm] $ kommt.
Angenommen der zweite Eigenvektor wäre 2+x hätte ich dann trotzdem den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0} [/mm] rausbekommen?
Wie rechnet man das um?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie gehst du denn mit der Darstellung eines Vektors [mm]\vektor{x \\
y\\
z}[/mm] um?
das ist doch ne Kurzschreibweise für x*b1+y*b2+z*b3 wenn b1,b2,b3 die Basis bilden?
und wenn der zweite basisvektor 2+x wäre, dann ja zu deiner Frage.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 05.01.2011 | | Autor: | zoj |
Das heißt für x*b1+y*b2+z*b3 wenn b1,b2,b3 die Basis bilden kann ich [mm] \vektor{b1 \\ b2 \\ b3} [/mm] schreiben. Stimmt das?
Der zweite Basisvektor 2+x, hat nur die x Koordinate.
In die obige Gleichung eingesetzt.
(2 + x)*b1+0*b2+0*b3 => [mm] \vektor{2+ b1 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Das ergibt irgendwie kein Sinn, denn in der Basis habe ich nur x als Variable.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das heißt für x*b1+y*b2+z*b3 wenn b1,b2,b3 die Basis
> bilden kann ich [mm]\vektor{b1 \\ b2 \\ b3}[/mm] schreiben. Stimmt
> das?
>
> Der zweite Basisvektor 2+x, hat nur die x Koordinate.
> In die obige Gleichung eingesetzt.
> (2 + x)*b1+0*b2+0*b3 => [mm]\vektor{2+ b1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Das ergibt irgendwie kein Sinn, denn in der Basis habe ich
> nur x als Variable.
hier herrscht großes Wirrwarr. An einer Stelle habe ich schon den Begriff des Eigenvektors gelesen - ohne dass ich einen Zusammenhang feststellen konnte, warum dieser benutzt worden ist. Das ist ein mathematischer Begriff, der eine richtige Bedeutung hat (Stichworte: Eigenwert, Eigenraum, charakteristisches Polynom...)
Der ganze HUDDEL oben scheint mir schon entstanden zu sein, weil Dir einfach nicht klar ist, was denn eine Koordinatenabbildung ist und was sie tut. Wenn man das nicht versteht, versteht man hier auch bei der Aufgabe nichts (und erst recht nicht Dinge wie Koordinatentransformationen).
Generell ist es halt so:
Ein [mm] $n\,$-dimensionaler [/mm] Vektorraum hat eine Basis bestehend aus [mm] $n\,$ [/mm] linear unabhängigen Elementen. Insbesondere spannen diese diesen Raum auf. Wichtig ist aber:
I.a. gibt es nicht nur eine, sondern halt sehr viele Basen.
Für Dich nun wichtig:
Ist die Familie [mm] $\mathcal{B}=(b_1,\ldots,b_n)$ [/mm] eine Basis des Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] (beachte dort: die "Komponenten" in der Klammer [mm] $(\ldots)$ [/mm] sind die Basisvektoren; das macht man deshalb, weil damit auch eine Reihenfolge festgelegt wird - wenn's Dich irritiert: Manchmal schreibt man auch, dass die Menge [mm] $\left\{b_1,\ldots,b_n\right\}$ [/mm] eine Basis bilde; nur bei konkreten [mm] $b_i$'s [/mm] müsste man dann eigentlich auch die Indizes mit dranschreiben, damit die Reihenfolge klar bleibt), so hat jedes $v [mm] \in [/mm] V$ eine und nur eine Darstellung der Art
[mm] $$(\star)\;\;\;v=\sum_{k=1}^n v_k b_k\,,$$
[/mm]
wobei hier [mm] $v_k\,$ [/mm] entsprechende Skalare sind. Umgekehrt legt jede solche Darstellung rechterhand des Gleichheitszeichens natürlich in eindeutiger Weise einen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ fest.
Daher kann man jedes $v [mm] \in V\,,$ [/mm] bzgl. der festzuhaltenen Basis, schreiben als
[mm] $$v=\vektor{v_1\\.\\.\\.\\v_n}\,,$$
[/mm]
(manchmal schreibt man das auch als Zeilenvektor), und jede solche Koordinatendarstellung rechterhand beschreibt genau einen Vektor $v [mm] \in V\,.$
[/mm]
(Strenggenommen müßte man eigentlich sagen, dass man eine Bijektion zwischen [mm] $V\,$ [/mm] und dem [mm] $K^n$ [/mm] herstellt, wenn die Skalare aus [mm] $K\,$ [/mm] sind und dann danach auch wegen der "Vektorraumisomorphie" mithilfe der obigen Gleichheit diese Bijektion identifiziert.)
Wichtig ist aber:
Diese Koordinatendarstellung ist von der BASIS, die man für den Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] festhält, abhängig.
Besser wäre es daher, diese "mitzuindizieren", und genauer zu formulieren:
Ist [mm] $V\,$ [/mm] ein [mm] $n\,$-dimensionaler [/mm] Vektorraum mit Basis [mm] $\mathcal{B}=(b_1,\ldots,b_n)\,,$ [/mm] so können wir jedes $v [mm] \in [/mm] V$ (bzgl. der Basis [mm] $\mathcal{B}$) [/mm] in Koordinatendarstellung in folgender Form
[mm] $$v=\vektor{v_1\\.\\.\\.\\v_n}_\mathcal{B}$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$alternative [/mm] Schreibweise:
[mm] $$v=\vektor{v_1^\mathcal{B}\\.\\.\\.\\v_n^\mathcal{B}}$\text{)}$$
[/mm]
schreiben. (Die erste Notation, wo [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] unten am Vektor indiziert ist, soll dabei heißen: Wenn man [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] verändert bzw. eine andere Basis [mm] $\tilde{\mathcal{B}}$ [/mm] hernimmt, dann können sich alle skalaren Einträge verändern.Bei der zweiten soll es heißen, dass jeder skalare Eintrag von der Wahl der Basis abhängt. Das ist natürlich gleichbedeutend, es ist aber ein wenig Geschmackssache, was man lieber schreiben will.)
Damit Du das auch mal konkreter siehst, drei (einfache) Beispiele::
1.)
Sei
[mm] $$\mathcal{B}_1=(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1})\,,$$
[/mm]
dann hat jedes [mm] $\vektor{r\\s\\t} \in \IR^3$ [/mm] einfach die Darstellung
[mm] $$\vektor{r\\s\\t}=\vektor{r\\s\\t}_{\mathcal{B}_1}\,.$$
[/mm]
Wir sind es halt gewohnt, Elemente des [mm] $\IR^3$ [/mm] bzgl. eben dieser "Standardbasis" anzugeben.
2.)
Sei
[mm] $$\mathcal{B}_2=(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1}, \vektor{0\\1\\0})\,,$$
[/mm]
dann hat jedes [mm] $\vektor{r\\s\\t} \in \IR^3$ [/mm] die Darstellung
[mm] $$\vektor{r\\s\\t}=\vektor{r\\t\\s}_{\mathcal{B}_2}\,.$$
[/mm]
Naja, hier tut sich auch nicht viel, wir haben ja nur die Reihenfolge der Basisvektoren vertauscht.
3.)
Sei
[mm] $$\mathcal{B}_3=(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\1\\1})\,.$$
[/mm]
Hier wird's minimal interessanter: Das ist mal eine "wirklich neue Basis des [mm] $\IR^3\,.$" [/mm] Rechne mal nach, dass diese 3 Vektoren linear unabhängig sind (Einzeiler!).
Dann hat jedes [mm] $\vektor{r\\s\\t} \in \IR^3$ [/mm] bzgl. [mm] $\mathcal{B}_3$ [/mm] nun... äh, okay: welche Darstellung?
Naja, wir schauen in [mm] $(\star)$ [/mm] und sehen, dass wir, wenn wir mit [mm] $r':=r^\mathcal{B}\,,$ $s':=r^\mathcal{B}$ [/mm] und [mm] $t'=t^\mathcal{B}$ [/mm] die gesuchten Komponenten bzgl. der neuen Basis bezeichnen, zu lösen haben:
[mm] $$\vektor{r\\s\\t}=r'\vektor{1\\0\\0}+s'\vektor{0\\1\\0}+t'\vektor{1\\1\\1}\,.$$
[/mm]
Also (kurz nachrechnen!)
[mm] $$\vektor{r\\s\\t}=\vektor{r'\\s'\\t'}_{{\mathcal{B}_3}}=\vektor{r-t\\s-t\\t}_{{\mathcal{B}_3}}\,.$$
[/mm]
Test:
[mm] $$\vektor{r-t\\s-t\\t}_{{\mathcal{B}_3}}\underset{(\star)}{=}(r-t)\vektor{1\\0\\0}+(r-t)\vektor{1\\t\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{r-t+t\\s-t+t\\t}=\vektor{r\\s\\t} \in \IR^3\,.$$
[/mm]
Soweit zu den ganzen "Koordinatendarstellungen" (kauf' Dir übrigens ruhig mal das Buch von Gawronski, ![[]](/images/popup.gif) Grundlagen der linearen Algebra - für 3 Euro macht man da nix falsch, und da steht noch viel mehr zu diesen Sachen hier drin).
Bei Deiner Aufgabe ist es nun halt ähnlich. Die "Standardbasis" für den Raum der (reellen) Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ ist mit den Funktionen [mm] $p_k: \IR \to \IR,\; p_k(x):=x^k$ [/mm] für [mm] $k=0,1,\ldots,n$ [/mm] die Familie
[mm] $$(p_0,\ldots,p_n)\,.$$
[/mm]
(Das ist deshalb die Standardbasis, weil es zum einen natürlich eine Basis ist, und zum anderen sind wir es gewohnt, "Polynome entsprechend der auftauchenden Exponenten zu sortieren" - etwa, um Koeffizientenvergleich durchzuführen.)
Hast Du also etwa den Vektor [mm] $v=f\,,$ [/mm] wobei mit festen reellen [mm] $a,b,c\,$ [/mm] nun $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] das Polynom [mm] $f(x)=a+bx+cx^2=ax^0+bx^1+cx^2\,$ [/mm] sei - d.h. [mm] $v=f=ap_0+bp_1+cp_2$, [/mm] gegeben, so kannst Du [mm] $v=f\,$ [/mm] bzgl. der obigen Standardbasis schreiben als
[mm] $$v=f=\vektor{a\\b\\c}\,.$$
[/mm]
Jetzt kannst Du alles genauso analog weiter überlegen:
Wäre die Basis nun
[mm] $$\mathcal{B}=(p_0,p_1,p_0+p_1+p_2)\,,$$
[/mm]
so wäre die entsprechende Darstellung von obigem [mm] $v=f\,$ [/mm] dann
[mm] $$v=f=\vektor{a-c\\b-c\\c}_\mathcal{B}\,.$$
[/mm]
(Es ist sofort aus 3.) ersichtlich, Du kannst es aber auch gerne nochmal nachprüfen!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Do 06.01.2011 | | Autor: | zoj |
Hi, danke für die Unterstützung!
Das Buch habe ich bestellt, sollte bald ankommen.
So langsamm fange ich an die Sache zu verstehen.
Zu deinem Beispiel: [mm] $\mathcal{B}= [/mm] ( [mm] p_0,p_1,p_0+p_1+p_2 [/mm] ) $
Habe ich mir folgendes überlegt:
$ f(x)= [mm] ap_{0}+bp_{1}+cp_{0}+cp_{1}+cp_{2} [/mm] $
$ [mm] v=f=\vektor{a-c\\b-c\\c}_\mathcal{B}\ [/mm] $
Jetzt verstehe ich, warum a - c gerechnet wird. Dadurch wird erreicht, dass z.B. in der ersten Koordinate nur a stehen bleibt und in der zweiten nur b.
Test:
= [mm] (a-c)p_{0}+(b-c)(p_{1})+(c)(p_{0}+p_{1}+p_{2})
[/mm]
= [mm] ap_{0}+bp_{1}+cp_{2}
[/mm]
= [mm] \vektor{a \\b \\c}
[/mm]
Durch den Test bin ich auf den Vektor [mm] \vektor{a \\b \\c} [/mm] gekommen,
so wie ich das sehe, ist das ein Zeichen, dass der Vektor [mm] \vektor{a-c\\b-c\\c}
[/mm]
bezüglich der Basis richtig afgestellt wurden ist.
Jetzt habe ich das Ganze auf meine Aufgabe bezogen:
Die gegebene Basis ist: $ [mm] B:={1,1+x,1+x+x^{2}} [/mm] $
f(x)= a + bx + [mm] cx^{2} [/mm] = [mm] ax^{0} [/mm] + [mm] bx^{1} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] //Als Polynom
$ v = f = [mm] ap_{0} [/mm] + [mm] bp_{1} [/mm] + [mm] cp_{2} [/mm] $ v = f = [mm] \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
$ B = [mm] {p_{0}, 1+p_{1}, 1 +p_{1}+p_{2} } [/mm] $
= [mm] ap_{0},1+bp_{1},1+cp_{1}+cp_{2}
[/mm]
v = f = [mm] \vektor{a \\ b-c \\ c}_{B}
[/mm]
Durch den Test komme ich wieder auf die Ursprungsbasis zurück.
Also sollte der aufgestellte Vektor stimmen.
Die Konstanten wie die Einsen, habe ich weggelassen, da diese mit den Vorfaktoren(a,b,c) und den Polynomen(p0,p1,p2) nicht multipliziert werden.
Kann ich daraus folgern, dass die Konstanten immer wegfallen? Wie in diesem Fall bei der zweiten und der dritten Komponente der Basis? Bei der ersten Komponente muss die Eins stehen bleiben, da diese [mm] p_{0} [/mm] darstellt.
So wie ich das sehe, habe ich die Basis in die Koordinatenform überführt.
Wie mache ich nun weiter? Ich muss f(1+x) berechnen. Zudem habe ich noch eine Abbildungsmatrix A.
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Hier nochmal die:
Aufgabe
Sei [mm] P_2 [/mm] der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens 2 und sei [mm] $B:=\{ 1, 1+x, 1+x+x^{2} \}$ [/mm] eine Basis von [mm] P_2 [/mm] Weiter sei
$ [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] $
die Abbildungsmatrix einer Abbildung f : [mm] P_2 \to P_2 [/mm] bezüglich der Basis B.
Berechnen Sie f(1+x) und f(2+x)
Lösung:
[mm] $p_1(x) [/mm] = 1+x$ ist ein Polynom aus [mm] $P_2$, [/mm] geschrieben mit der Standardbasis.
Das schreibe ich um in die gegebene Basis (Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3) [/mm] :
[mm] $p_1(x) [/mm] = [mm] b_2$
[/mm]
Ach, das war ja einfach (ganz ohne Rechnung).
Jetzt dieses Polynom mit f abbilden - gut, dass die Abbildungsmatrix dabei steht:
[mm] $f(p_1) [/mm] = [mm] A*p_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] 2*b_1 [/mm] + [mm] 1*b_2 [/mm] + [mm] 1*b_3 [/mm] = 2 + 1+x + 1+ x + [mm] x^{2} [/mm] = 4 + 2x + [mm] x^{2}$
[/mm]
Das Ergebnis ganz am Ende ist das Bildpolynom zu [mm] $p_1$, [/mm] wieder geschrieben in unserer Standardbasis.
Die andere Funktion kannst du aber jetzt bestimmt selbst abbilden!!!
lg weighgainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 06.01.2011 | | Autor: | zoj |
Habe eine Frage bezüglich der Basis.
Diese lautet: $ [mm] B:=\{ 1, 1+x, 1+x+x^{2} \} [/mm] $
$ [mm] B:=\{ ap_{0}, bp_{0}+bp_{1}, cp_{0}+cp_{1}+cp_{2} \} [/mm] $
$ v= [mm] \vektor{a - b- c \\ b - c \\ c}_{B} [/mm] $
Jetzt habe ich die Basis in Vektorform hingeschrieben. Ist das soweit richtig?
Wenn ich jetzt f(1+x) habe. Dann kann ich doch sagen es ist das selbe wie: [mm] f(ax_{0}+bx_{1}) [/mm] mit a =1 und b=1 c=0.
Das in den Basisvektor eingesetzt:
[mm] \vektor{1 - 1 - 0 \\ 1 - 0 \\ 0}_{B} [/mm] => [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}_{B}
[/mm]
Das ist doch der Vektor mit dem ich A von rechts malnehmen muss.
Das selbe mit f(2+x): a=2, b=1, c=0
Einsetzen in den Basisvektor:
[mm] \vektor{2 - 1 - 0 \\ 1 - 0 \\ 0}_{B} [/mm] => [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}_{B}
[/mm]
$ [mm] f(p_2) [/mm] = [mm] A\cdot{}p_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm]
= [mm] 3b_{1} [/mm] + [mm] 3b_{2} [/mm] + [mm] 1b_{3}
[/mm]
= 7 + 4x + [mm] x^{2}
[/mm]
Das komische ist: für f(2+x) bekommt man wiederum eine Funktion 7 + 4x + [mm] x^{2}. [/mm] Warum macht man das und was hat man davon?
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> Habe eine Frage bezüglich der Basis.
> Diese lautet: [mm]B:=\{ 1, 1+x, 1+x+x^{2} \}[/mm]
>
> [mm]B:=\{ ap_{0}, bp_{0}+bp_{1}, cp_{0}+cp_{1}+cp_{2} \}[/mm]
>
> [mm]v= \vektor{a - b- c \\ b - c \\ c}_{B}[/mm]
>
> Jetzt habe ich die Basis in Vektorform hingeschrieben. Ist
> das soweit richtig?
Soweit ich beurteilen kann: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich jetzt f(1+x) habe. Dann kann ich doch sagen es ist
> das selbe wie: [mm]f(ax_{0}+bx_{1})[/mm] mit a =1 und b=1 c=0.
>
> Das in den Basisvektor eingesetzt:
> [mm]\vektor{1 - 1 - 0 \\ 1 - 0 \\ 0}_{B}[/mm] => [mm]\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}_{B}[/mm]
>
> Das ist doch der Vektor mit dem ich A von rechts malnehmen
> muss.
Genau. Und das hab ich ja gemacht. Ergebnis ist dann wieder eine Funktion.
>
> Das selbe mit f(2+x): a=2, b=1, c=0
> Einsetzen in den Basisvektor:
> [mm]\vektor{2 - 1 - 0 \\ 1 - 0 \\ 0}_{B}[/mm] => [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}_{B}[/mm]
>
>
>
> $ [mm]f(p_2)[/mm] = [mm]A\cdot{}p_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 1}[/mm]
> = [mm]3b_{1}[/mm] + [mm]3b_{2}[/mm] + [mm]1b_{3}[/mm]
> = 7 + 4x + [mm]x^{2}[/mm]
>
> Das komische ist: für f(2+x) bekommt man wiederum eine
> Funktion 7 + 4x + [mm]x^{2}.[/mm]
Das ist erstmal richtig, aber überhaupt nicht komisch, weil dein f doch eine Abbildung von [mm] P_2 [/mm] nach [mm] P_2 [/mm] ist. Also MUSS das Ergebnis notwendigerweise wieder eine Funktion sein.
> Warum macht man das und was hat
> man davon?
Warum untersucht man Funktionen auf ihre Extrema? Warum rechnet man aus, wie wahrscheinlich es ist, einen Baum zu sehen, wenn man schon weiß, dass man eine Pflanze gesehen hat? Diese Frage kannst du so nicht stellen bzw. wenn es einer wissen müsste, dann DU, weil DU nämlich diese Aufgabe lösen willst. Und wenn DU es nicht weißt, dann sollte es derjenige wissen, der dir diese Aufgabe gestellt hat.
Grundsätzlich lassen sich viele Vorgänge durch Abbildungen beschreiben. Du bist Informationstechniker, vielleicht ist das Thema Verschlüsselung für dich von Interesse. Dort hast du einen Klartext und dann bildest du den auf einen verschlüsselten Text ab.
Oder stört es dich, dass hier Funktionen auf andere Funktionen abgebildet werden? Naja, Funktionen sind auch nichts anderes als Texte oder Zahlen - zumindest in gewissem Kontext, es gibt dazu diverse mathematische Strukturen.
Was DU jetzt davon hast, kann ich dir auch nicht sagen.... vielleicht Punkte für einen Übungszettel.
lg weightgainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 06.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ichhab was gegen deine Darstellung
1. warum sollte man auf die sog. Standardbasis [mm] S={1,x,x^2}überhaupt [/mm] zurückgreifen? du kannst doch alle polynome direkt in deiner Basis angeben, als [mm] p=a+b(1+x)+c*(1+x+x^2) [/mm] und damit als vektor
[mm] v={a\\b\\c}_B
[/mm]
es ist nicht sehr nützlich das Polynom erst umzuschreiben in
[mm] p=a+b+c+(b+c)*x*c*x^2
[/mm]
und damit als [mm] v=\vektor{a+b+c\\b+c\\c}_S
[/mm]
ich versteh aber nicht, warum man das tun sollte.
umgekehrt, wenn das Polynom als [mm] q=a+bx+cx^2 [/mm] gegeben ist ist es leicht in der basis S zu schreiben als [mm] q=\vektor{a\\b\\c}_S
[/mm]
und man muss erst umformen, um es in B zu schreiben als
[mm] q=(a-b)+(b-c)*(1+x)+c(1+x+x^2)
[/mm]
also in [mm] q=\vektor{a-b\\b-c\\c}_B
[/mm]
jetzt zu deiner Schreibweise.
> Diese lautet: [mm]B:=\{ 1, 1+x, 1+x+x^{2} \}[/mm]
>
> [mm]B:=\{ ap_{0}, bp_{0}+bp_{1}, cp_{0}+cp_{1}+cp_{2} \}[/mm]
Das ist schon falsch, mit den Basisvektoren aus S, die du offensichtlich
[mm] s:={p_o,p_1,p_2} [/mm] nennst
kannst du B schreiben als [mm] B:={p_0,P_0+p_1,P_0+p_1+p_2}
[/mm]
a,b,c haben in deinem B nichts zu suchen.
> [mm]v= \vektor{a - b- c \\
b - c \\
c}_{B}[/mm]
dieses ist einfach falsch. wenn v in S [mm] v=\vektor{a\\b\\c}_S
[/mm]
dann ist [mm] v=\vektor{a-b\\b-c\\c}_B
[/mm]
> Jetzt habe ich die Basis in Vektorform hingeschrieben. Ist
> das soweit richtig?
Das ist nicht die Basis, sondern der versuch einen vektor, der in s durch a,b,c gegeben ist in B umzuschreiben (aber falsch)
> Wenn ich jetzt f(1+x) habe. Dann kann ich doch sagen es ist
> das selbe wie: [mm]f(ax_{0}+bx_{1})[/mm] mit a =1 und b=1 c=0.
einfacher ist doch, es ist [mm] b_1=1+x [/mm] also direkt [mm] $\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}_{B}$
[/mm]
> Das in den Basisvektor eingesetzt:
> [mm]\vektor{1 - 1 - 0 \\
1 - 0 \\
0}_{B}[/mm] => [mm]\vektor{ 0 \\
1 \\
0}_{B}[/mm]
richtig, weil c=0
> Das ist doch der Vektor mit dem ich A von rechts malnehmen
> muss.
>
> Das selbe mit f(2+x): a=2, b=1, c=0
> Einsetzen in den Basisvektor:
> [mm]\vektor{2 - 1 - 0 \\
1 - 0 \\
0}_{B}[/mm] => [mm]\vektor{ 1 \\
1 \\
0}_{B}[/mm]
wieder wegen c=0 richtig
die eigentlichen Rechnungen sind richtig.
Gruss leduart
>
>
> $ [mm]f(p_2)[/mm] = [mm]A\cdot{}p_1[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0\\
2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 }\cdot{}\vektor{1 \\
1 \\
0}[/mm]
> = [mm]\vektor{3 \\
3 \\
1}[/mm]
> = [mm]3b_{1}[/mm] + [mm]3b_{2}[/mm] + [mm]1b_{3}[/mm]
> = 7 + 4x + [mm]x^{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 06.01.2011 | | Autor: | zoj |
Das mit richtig hinschreiben muss ich noch üben.
Meine Basis ist: $ [mm] B:=\{ 1, 1+x, 1+x+x^{2} \} [/mm] $
Diese Basis beinhaltet alle Polynome von Grad höhstens 2,
da alle Kombinationen drinnen sind.
Durch die Funktion f(2+x) und die Basis B muss ich doch auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] kommen, den ich rechts mit der Matrix A multiplizieren muss.
Nun versuche ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] anders zu bestimmen.
Das ist nun die Bezeichnung für alle Polynome von Grad höhstens 2.
$ [mm] p=a+b(1+x)+c\cdot{}(1+x+x^2) [/mm] $
Nun muss ich mein f(2+x) in diese Gleichung einsetzen um auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
zu kommen.
Bevor ich das machen kann muss ich mich mit f(2+x) auseinander setzen.
Der Ausdruck 2+x ist eine Funktion von Grad 1:
$ p = [mm] ax^{0} [/mm] + [mm] bx^{1} [/mm] $ //allgemein
$ p = a + [mm] b(1+x^{1}) [/mm] $ //in meiner Basis B
Wie soll ich denn weitermachen? Ich muss doch irgendwie auf [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] kommen. 2+x kann ich doch schlecht einsetzen.
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Ist dir schon aufgefallen, dass im Vektor genau die Faktoren VOR den Basisvektoren stehen? Wenn nein, dann ist das vielleicht die Lösung deines Problems. Wenn ja, dann verstehe ich deine Frage nicht.
Also: [mm] $B_1 [/mm] = (1, x, [mm] x^{2})$, [/mm] nennen wir die mal [mm] $(b_{11}, b_{12}, b_{13})$.
[/mm]
Mit dieser Basis ist die Aufgabenstellung verfasst, nämlich:
$2+x = [mm] $[red]2[/red]$*b_{11} [/mm] + [mm] $[red]1[/red]$*b_{12} [/mm] + [mm] $[red]0[/red]$*b_{13}$
[/mm]
Daraus ergibt sich die vektorielle Darstellung für x+2 bzgl. dieser Basis: [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Du hast jetzt eine andere Basis.
[mm] $B_2=(1, [/mm] 1+x, [mm] 1+x+x^{2}) [/mm] = [mm] (b_{21}, b_{22}, b_{23})$
[/mm]
$2+x = [mm] $[red]1[/red]$*b_{21} [/mm] + [mm] $[red]1[/red]$*b_{22} [/mm] + [mm] $[red]0[/red]$*b_{23}$
[/mm]
Daraus ergibt sich bzgl. der anderen Basis die vektorielle Darstellung [mm] \vektor{1\\1\\0}.
[/mm]
Dann wird abgebildet, es kommt der Bildvektor raus und in dem stehen wieder die Faktoren vor den drei Basisvektoren drin und damit kann man das Bildpolynom auch wieder in die "Standardbasis" umschreiben.
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 06.01.2011 | | Autor: | zoj |
Ok, habs verstanden!
Kannst du noch ein Blick hierdrauf werfen, dann hör ich auf :)
Funktion [mm] f(9+3x+4x^{2})
[/mm]
Daraus ergibt sich die vektorielle Darstellung für [mm] 9+3x+4x^{2} [/mm] bzgl. der Basis: $ [mm] \vektor{9 \\ 3 \\ 4} [/mm] $
Das ist klar.
$ [mm] B_2=(1, [/mm] 1+x, [mm] 1+x+x^{2}) [/mm] = [mm] (b_{21}, b_{22}, b_{23}) [/mm] $
[mm] 9+3x+4x^{2} [/mm] =9 $ [mm] \cdot{}b_{21} [/mm] + $ 3 $ [mm] \cdot{}b_{22} [/mm] + $ 4 $ [mm] \cdot{}b_{23} [/mm] $
Daraus ergibt sich bzgl. der anderen Basis die vektorielle Darstellung $ [mm] \vektor{6\\-1\\4}. [/mm] $
Hoffe es ist richtig :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 06.01.2011 | | Autor: | zoj |
Vielen Dank für die Unterstützung!
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. Wenn die Fragen ordentlich sind, bekommt man hier wirklich gute Antworten (also nicht von mir, hier gibt es ja viele echte Top-Leute) 
