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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Wiesen sie nach, dass die Mengen
[mm] c_{0}={(x_{n})_{n\inN} : x_{n} \in R, \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}
[/mm]
bezüglich der Addition und Multiplikation reelle Vektorräume sind. |
ich habe jetzt mal nur eine Menge angegeben.
Und zwar muss ich ja jetzt nachweisen, dass in der Menge
Assoziativität, Distributivität, neutrales Element, Kommutativität, inverses Element existieren. Soweit richtig??
Allerdings weiß ich nicht so recht wie ich das jetzt in der Menge nachweisen kann??
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> Wiesen sie nach, dass die Mengen
> [mm]c_{0}=\{(x_{n})_{n\in N} : x_{n} \in R, \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0\}[/mm]
Hallo,
ist Dir klar, welches die Elemente dieser Menge sind?
Es sind Folgen reeller Zahlen, welche gegen 0 konvergieren.
>
> bezüglich der Addition und Multiplikation reelle
> Vektorräume sind.
Welche Addition und Multiplikation ist hier gemeint?
Du solltest die Def. mal aufschreiben.
> Und zwar muss ich ja jetzt nachweisen, dass in der Menge
> Assoziativität, Distributivität, neutrales Element,
> Kommutativität, inverses Element existieren. Soweit
> richtig??
Soweit ja.
Aber für VR ist mehr zu zeigen: zweitens die Gesetze, die sich mit der Multiplikation befassen, und erstens noch, daß sowohl die Addition als auch die Multiplikation abgeschlossen sind, es sich also wieder Folgen aus [mm] S_0 [/mm] ergeben.
Aber: vielleicht habt Ihr in der Vorlesung schon gezeigt, daß die reellen Folgen zusammen mit den einschlägigen Verknüpfungen einen Vektorraum bilden. (?)
Wenn dies der Fall wäre, hättest Du viel Arbeit gespart, denn Du müßtest nur nachweisen, daß [mm] S_0 [/mm] ein Untervektorraum davon ist, also die drei Unterraumkriterien. Welche sind das?
>
> Allerdings weiß ich nicht so recht wie ich das jetzt in
> der Menge nachweisen kann??
Nun, für die Assoziativität müßtest Du vorrechnen, daß für [mm] (x_n)_{n\in \IN}, (y_n)_{n\in \IN}, (z_n)_{n\in \IN} (y_n)_{n\in \IN}, (z_n)_{n\in \IN} [/mm] gilt:
[mm] [(x_n)_{n\in\IN} [/mm] + [mm] (y_n)_{n\in \IN}] [/mm] + [mm] (z_n)_{n\in \IN}=(x_n)_{n\in \IN} [/mm] + [mm] [(y_n)_{n\in \IN} [/mm] + [mm] (z_n)_{n\in \IN}].
[/mm]
Das wird gelingen, wenn Du Dir die Def. erstmal klargemacht hast.
Vergiß nicht, zu jedem Schritt eine Begründung anzugeben.
Noch zum neutralen Element: welche Folge kannst Du zu einer beliebigen Folge addieren, ohne daß sich die Folge verändert?
Nun mußt Du prüfen, ob diese auch wirklich in [mm] S_0 [/mm] liegt.
Was mußt Du dafür nachschauen?
Soweit erstmal. Jetzt bist Du dran.
Gruß v. Angela
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