Vektorraum < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Mi 14.10.2009 | | Autor: | mooo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension des Vektorraumes V.
[mm] V=\left\{\vektor{a \\ 0}| a \in \IR\right\} [/mm] |
Hallo,
ich verstehe den Zusammenhang zwischen Vektoren, Verktorräumen und Basis noch nicht so richtig. Was ist der Unterschied zwischen einem Vektorraum un einer basis. Es wäre nett, wenn mir das jemand anhand der Aufgabe erklären könnte.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Marius und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension des Vektorraumes
> V.
Ich nehme an, dass $V$ als VR über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] aufgefasst werden soll?
>
> [mm]V=\left\{\vektor{a \\ 0}| a \in \IR\right\}[/mm]
> Hallo,
>
> ich verstehe den Zusammenhang zwischen Vektoren,
> Verktorräumen und Basis noch nicht so richtig. Was ist der
> Unterschied zwischen einem Vektorraum un einer basis.
Nun, ein Vektorraum (über einem Körper [mm] $\IK$) [/mm] ist einfach eine Menge von Elementen, Vektoren genannt, die gewisse Eigenschaften erfüllen.
Diese sind in den ganzen Vektorraumaxiomen zusammengefasst.
Eine Basis eines Vektorraums $V$ (über einem Körper [mm] $\IK$) [/mm] ist eine Teilmenge [mm] $\mathbb{B}\subset [/mm] V$, derart, dass [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] zum einen ein Erzeugendensystem ist, du also einen beliebigen Vektor aus $V$ als Linearkombination der Vektoren aus [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] darstellen kannst, wobei die Koeffizienten in der LK aus dem Körper [mm] $\IK$ [/mm] sind.
Zum anderen müssen die Basisvektoren linear unabhängig sein.
Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
Und die Dimension eines Vektorraumes ist nichts anderes als die Anzahl der Vektoren, die eine Basis bilden.
> Es
> wäre nett, wenn mir das jemand anhand der Aufgabe
> erklären könnte.
Mache dir am besten erstmal klar, welches geometrische Gebilde denn $V$ überhaupt darstellt.
Es ist ja offensichtlich eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$, [/mm] und zwar derart, dass für einen Vektor [mm] $\vektor{x\\y}\in [/mm] V$ die erste Komponente $x$ alle reellen Zahlen durchläuft und die zweite Komponente $y$ stets 0 ist.
Welches geometrische Objekt ist also $V$ ?
Wenn du dir das mal beantwortest, hast du schon einen guten Hinweis, was die Dimension von $V$ angeht.
In der Definition von $V$ steht ja, dass jeder Vektor aus $V$ die Gestalt [mm] $\vektor{a\\0}$ [/mm] mit einem reellen a hat.
Da [mm] $V\subset\IR^2$ [/mm] und [mm] $dim(\IR^2)=2$, [/mm] ist also auf jeden Fall schonmal [mm] $dim(V)\le [/mm] 2$
$V$ ist offensichtlich nicht der ganze [mm] $\IR^2$ [/mm] (wieso nicht?).
Von daher ist schonmal $dim(V)<2$, also $dim(V)=0$ oder $dim(V)=1$
Kann $dim(V)=0$ sein? Nein! Warum nicht?
Es ergibt sich also allein aus diesen Überlegungen und ohne Betrachtung einer möglichen Basis schonmal, dass $dim(V)=1$ sein muss.
Eine Basis von $V$ enthält also nur einen einzigen Vektor.
Nun schaue dir nochmal genau die Gestalt der Vektoren aus $V$ an und versuche mal einen Vektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] aus $V$ anzugeben, so dass du einen beliebigen Vektor [mm] $\vektor{x\\0}$ [/mm] aus $V$ als reelles Vielfaches von [mm] $\vec{b}$ [/mm] darstellen kannst.
Nun habe ich eigentlich schon viel zu viel gesagt, es ist eigentlich direkt aus der Definition von $V$ ersichtlich 
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 14.10.2009 | | Autor: | mooo |
Sieht ein möglicher basisvektor von V so aus:
[mm] b1=a\*\vektor{1\\ 0}
[/mm]
also [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
Hallo mooo,
> Sieht ein möglicher basisvektor von V so aus:
>
> [mm]b1=a\*\vektor{1\\ 0}[/mm]
>
> also [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> ?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
